Giáo án Dạy thêm Toán Lớp 7 - Buổi 13: Ôn tập quan hệ giữa 3 cạnh trong tam giác bất đẳng thức tam giác - Năm học 2019-2020

Ngày soạn: .. Ngày dạy: . Lớp: ..
BUỔI 13: ÔN TẬP QUAN HỆ GIỮA 3 CẠNH TRONG TAM GIÁC
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
Mục tiêu.
Kiến thức.
Nắm vững quan hệ giữa độ dài các cạnh của một tam giác, biết được ba đoạn thẳng có độ dài như thế nào thì không thể là ba cạnh của một tam giác (điều kiện cần để ba đoạn thẳng là ba cạnh của một tam giác)
Kĩ năng.
Có kĩ năng vận dụng tính chất về quan hệ cạnh và góc trong tam giác, về đường vuông góc vói đường xiên.
Học sinh biết vận dụng bất đẳng thức tam giác để kiểm tra khả năng ghép thành tam giác của 3 đoạn thẳng bất kỳ
Học sinh biết sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm độ dài cạnh của tam giác
Thái độ. Học sinh thích học hình.
Chuẩn bị của GV và HS.
Chuẩn bị của GV.
Giáo án, tài liệu tham khảo, đồ dùng dạy học.
Chuẩn bị của HS.
Đồ dùng học tập, học bài cũ.
Tiến trình bài dạy.
Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số lớp.
Nội dung dạy:
Tiết 1: Bất đẳng thức trong tam giác
 Mục tiêu: Học sinh hiểu được bất đẳng thức trong tam giác
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Gv: Cho học sinh chép lý thuyết bất đẳng thức trong tam giác: 
Hs chép lý thuyết vào tập
Gv giải thích cho học sinh những từ học sinh không hiểu (nếu có): “đẳng” – bằng; “bất đẳng” – không bằng (lớn hơn hoặc bé hơn)
Gv vẽ và cho học sinh đọc lại lý thuyết vài lần. Căn cứ theo lý thuyết gv hướng dẫn học sinh chọn ra 1 trong ba cạnh của tam giác và lập bất đẳng thức tam giác:
Hs chọn cạnh BC
Gv vậy các cạnh còn lại cũng tương tự cạnh BC
Lưu ý: trong bất đẳng thức tam giác luôn lấy cạnh dài trừ cạnh ngắn (kết quả dương) nên để trong trị.
Gv đặt câu hỏi: “tại sao không có đẳng thức trong tam giác, nghĩa là BC = AC 
+ AB”. 
Gv hướng dẫn học sinh nhận ra được: có phép “+” đoạn thẳng thì có điểm nằm giữa, tức: không có tam giác.
 muốn có tam giác thì phải có bất đẳng thức, và có bất đẳng thức thì có tam giác tạo thành.
Lý Thuyết:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và bé hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
(độ dài 1 cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ 
Bài tập 1: (làm miệng): Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong những trường hợp còn lại hãy dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế: (kiểm tra bằng bất đẳng thức tam giác)
2cm; 3cm; 4cm.
2cm; 4cm; 6cm.
3cm; 4cm; 6cm.
Bài 1:
2cm; 3cm; 4cm.
Ta có:
 (vì 2cm<3cm<6cm)
 bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2cm; 3cm; 4cm có thể là ba cạnh của tam giác.
2cm; 4cm; 6cm.
Ta có:
 (vì 4cm=4cm<8cm)
 bộ ba đoạn thẳng có độ dài 2cm; 4cm; 6cm không thể là ba cạnh của tam giác.
3cm; 4cm; 6cm.
Ta có:
 (vì 3cm<4cm<6cm)
 bộ ba đoạn thẳng có độ dài 3cm; 4cm; 6cm có thể là ba cạnh của tam giác.
Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 1cm; AC = 7cm. Hãy tìm độ dài AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên. Tam giác ABC là tam giác gì?
Gv: làm sao để tính được độ dài AB. 
Hs: sử dụng định ký py-ta-go
Gv: muốn sử dụng định lý py-ta-go thì tam giác ABC phải là tam giác gì?
HS: tam giác ABC phải là tam giác vuông.
Gv: vậy ta có sử dụng định lý py-ta-go được không? Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức trong tam giác. 
Hs tự nhận ra là tam giác cân tại A.
Bài 2: 
Tìm AB? Tam giác ABC là tam giác gì?
Xét ta có:
 (Bất đẳng thức trong tam giác)
Vì độ dài AB là số nguyên nên AB=7cm.
Xét ta có:
 (=7cm)
 cân tại A
Bài 3: Cho cân có AB = 3,9cm; BC = 7,9cm
Tìm AC?
Tam giác cân tại đỉnh nào?
Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 3:
Tìm AC?
Xét ta có:
 (Bất đẳng thức trong tam giác)
Mà cân (gt)
Nên AC = 7,9cm.
Tam giác cân tại đỉnh nào?
Xét ta có:
BC = AC (=7,9cm)
 cân tại C
Tính chu vi ?
Chu vi là:
AB + AC + BC = 3,9 + 7,9 + 7,9 = 19,7(cm)
Bài 4: Tính chu vi của tam giác cân ABC, biết: AB = 5cm; AC = 12cm.
Gv: nhắc để học sinh nhớ cách tính chu vi tam giác: Chu vi tam giác bằng tổng độ dài ba cạnh của tam giác, nên phải tính độ dài BC trước.
Bài 4:
Xét ta có:
 (Bất đẳng thức trong tam giác)
Mà cân (gt)
Nên BC = 12cm.
Chu vi là: 
AB + AC + BC = 5 + 12 + 12 = 29(cm)
Bài tập về nhà: Tính chu vi của tam giác cân ABC, biết: AB = 7cm; AC = 13cm.
Tiết 2 + Tiết 3: Vận dụng bất đẳng thức trong tam giác làm bài tập.
Mục tiêu: Học sinh biết sử dụng bất đẳng thức trong tam giác để chứng minh các bất đẳng thức.
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Nhắc lại kiến thức lý thuyết bất đẳng thức trong tam giác.
Hs: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và bé hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Chứng minh 2AH + BC > AB + AC.
Gv: cho học sinh chép các bước lập sơ đồ (có thể không chép)
B1: Viết lại biểu thức cần chứng minh ở nháp.
B2: Viết mũi tên hướng lên. Biến đổi bằng cách tách đoạn, thay thế đoạn cho đến khi gặp biểu thức đúng.
B3: Trình bày từ dưới lên.
Nháp: 
2AH+BC>AB+AC
 HB+HC=BC
AH+AH+HB+HC>AB+AC
AH+HB>AB (Bất đẳng thức trong )
AH+HC>AC (Bất đẳng thức trong )
Gv: gợi ý cho học sinh sử dụng kỹ thuật cộng vế theo vế.
Bài 1:
Chứng minh 2AH+BC>AB+AC.
Ta có: 
AH+HB>AB (Bất đẳng thức trong)
AH+HC>AC (Bất đẳng thức trong)
 AH+AH+HB+HC>AB+AC
2AH+HB+HC>AB+AC
Mà HB+HC=BC
Nên 2AH+BC>AB+AC
Bài 2: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A. Chứng minh AB > AC.
Nháp:
AB > AC
 AO – OC = AC
AB > AO – OC 
 OB = OC
AB > AO – OB( Bất đẳng thức trong )
Bài 2:
Chứng minh AB > AC.
Xét ta có:
AB > AO – OB(Bất đẳng thức trong )
Mà OB = OC ( cân tại O)
Nên AB > AO – OC 
Mặt khác: AO – OC = AC ()
 AB > AC
Bài 3: Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia OC lấy điểm A. Chứng minh AB < AC.
Nháp:
AB < AC
 AO + OC = AC
AB < AO + OC 
 OB = OC
AB < AO + OB( Bất đẳng thức trong )
Bài 3: 
Chứng minh AB < AC.
Xét ta có:
AB < AO + OB(Bất đẳng thức trong )
Mà OB = OC ( cân tại O)
Nên AB < AO + OC 
Mặt khác: AO + OC = AC ()
 AB < AC
Bài 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy MD = MA. 
Chứng minh 
Chứng minh AB + AC > 2AM
Chứng minh (c–g–c)
Chứng minh AB + AC > 2AM
Nháp: 
AB + AC > 2AM
 AB = DC 
DC + AC > AM + AM
 AM = MD
DC + AC > AM + MD
 AM + MD = AD
DC + AC > AD(Bất đẳng thức trong )
Bài 4: 
Chứng minh 
Xét và ta có:
 AM = MD (gt)
 MB = MC ( M là trung điểm của BC)
 (2 góc đối đỉnh)
(c – g – c)
Chứng minh AB + AC > 2AM.
Xét ta có:
DC + AC > AD(Bất đẳng thức trong )
Mà AM + MD = AD ()
Nên DC + AC > AM + MD
Mặt khác: MD = AM (gt)
DC + AC > AM + AM
DC + AC > 2AM
Ta có:
DC + AC > 2AM (cmt)
AB = DC ()
AB + AC > 2AM
Bài 5: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên AB lấy điểm F sao cho AC = AF. Gọi AD là phân giác của . Trên AD lấy điểm E tùy ý.
Chứng minh .
Chứng minh AB – AC = BF.
Chứng minh BE – EC < BF.
Chứng minh (c-g-c)
Chứng minh dựa vào phép cộng đoạn thẳng.
Chứng minh dựa vào bất đẳng thức
Nháp:
BE – EC < BF
 EF = EC
BE – EF < BF(Bất đẳng thức trong )
Bài 5: 
Chứng minh 
Xét và ta có:
 AC = AF (gt)
 AE = AE (cạnh chung)
 (AD là tia phân giác )
 (c-g-c)
Chứng minh AB – AC = BF
Ta có: 
 AF + BF = AB ()
AB – AF = BF
Mà AF = AC (gt) 
Nên AB – AC = BF
Chứng minh BE – EC < BF
Xét ta có:
BE – EF < BF (Bất đẳng thức trong )
Mà EF = EC ()
Nên BE – EC < BF
Bài 6: Cho tam giác ABC có Cx là tia đối của tia CB. Gọi Cy là tia phân giác .
Lấy M bất kỳ trên Cy. Trên Cx lấy N sao cho CN = CA.
Chứng minh .
Chứng minh AC+BC<MA+MB. 
Chứng minh theo trường hợp (c-g-c)
Chứng minh AC+BC<MA+MB.
Gv: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác BMN
Hs: 
Nháp:
AC+BC<MA+MB
 AC = CN
CN + BC < MA + MB
 BC + CN = BN
BN < MA + MB 
 MA = NM
BN < MN + MB (Bất đẳng thức trong )
Bài 6: 
Chứng minh .
Xét và ta có:
 AC = NC (gt)
 CM = CM ( cạnh chung)
 ( Cy là tia phân giác )
 (c-g-c)
Chứng minh AC + BC < MA + MB.
Xét ta có:
 BN < MN + MB (Bất đẳng thức trong )
Mà MN = MA () \
Nên BN < MA + MB
Mặt khác: BN = CN + BC ()
CN + BC < MA + MB
 Ta có:
 CN + BC < MA + MB (cmt)
 CN = AC (gt)
AC + BC < MA + MB
Bài 7: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho D là trung điểm của AI. 
So sánh AB và CI.
Chứng minh AB + AC > 2AD
Chứng minh: AB+AC+BC>AD+BE+CF
So sánh AB và CI
Gv: Chứng minh 
Chứng minh AB + AC > 2AD
Gv: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác ACI
Hs:
Nháp:
AB + AC > 2AD
 AI = 2AD
AB + AC > AI
 AB = IC
IC + AC > AI (Bất đẳng thức trong )
Chứng minh: AB+AC+BC>AD+BE+CF
Gv: Vẽ tia đối của FC lấy H sao cho F là trung điểm của CH.
Vẽ tia đối của EB lấy K sao cho E là trung điểm của BK.
Chứng minh suy ra HB = AC.
Chứng minh suy ra AK = BC.
Sử dụng bất đẳng thức trong và 
Hs: Nháp tạo ra các bất đẳng thức cần giống câu 2.
Bài 7:
So sánh AB và CI
Xét và ta có:
 AD = ID (D là trung điểm của AI)
 BD = CD (D là trung điểm của BC)
 (2 góc đối đỉnh)
 (c-g-c)
AB = IC ( 2 cạnh tương ứng)
Chứng minh AB + AC > 2AD
Xét ta có:
 IC + AC > AI (Bất đẳng thức trong )
 Mà AB = IC (cm câu 1)
 Nên AB + AC > AI
 Mặt khác: AI = 2AD (D là trung điểm AI)
AB + AC > 2AD
Chứng minh AB+AC+BC>AD+BE+CF
Trên tia đối của FC lấy điểm H sao cho F là trung điểm của CH.
 Xét và ta có:
 BF = AF (F là trung điểm của AB)
 HF = CF (cách vẽ)
 (2 góc đối đỉnh)
 (c-g-c)
 HB = AC ( 2 cạnh tương ứng) 
 Xét ta có:
 HB + BC > HC (Bất đẳng thức trong )
 Mà HB = AC (cmt)
 Nên AC + BC > HC
 Mặt khác: HC = 2CF (F là trung điểm HC)
AC + BC > 2CF
Trên tia đối của EB lấy điểm K sao cho E là trung điểm của BK.
 Xét và ta có:
 AE = CE (E là trung điểm của AC)
 EK = EB ( cách vẽ)
 ( 2 góc đối đỉnh)
 (c-g-c)
AK = BC ( 2 cạnh tương ứng)
 Xét ta có:
 AB + AK > BK (Bất đẳng thức trong )
 Mà AK = BC (cmt)
 Nên AB + BC > BK
Mặt khác: BK = 2BE (E là trung điểm BK)
AB + BC > 2BE
 Ta có:
 AB + AC > 2AD (cm câu 2)
 AB + BC > 2BE (cmt) 
 AC + BC > 2CF (cmt)
AB+AC+AB+BC+AC+BC>2AD+2BE+2CF
2AB+2AC+2BC > 2AD+2BE+2CF
2(AB+AC+BC) > 2(AD+BE+CF)
AB + AC + BC > AD + BE + CF
Bài tập về nhà: 
Bài 1: (Tiết 2) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC.
Chứng minh .
Bài 2: (Tiết 3) Cho tam giác ABC cân ở A có . Kẻ DE//BC ()
Tam giác ADE là tam giác gì?
So sánh BE và CD.
BE cắt CD ở O. Chứng minh 
Chứng minh