Giáo án Dạy thêm Toán Lớp 7 - Buổi 14: Luyện tập tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Năm học 2019-2020

Ngày soạn: 
Ngày dạy: 
Lớp: .. 
BUỔI 14. (tiết 1,2)
LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: Hs hiểu được khái niệm đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh hoặc ứng với một cạnh của tam giác và nhận thấy mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
2. Kĩ năng: 
- Luyện kĩ năng vẽ các đường trung tuyến của tam giác, sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến của một tam giác để giải một số bài tập
- Chứng minh tính chất đường trung tuyến của tam giác cân, tam giác đều, dấu hiệu nhận biết tam giác cân
3. Thái độ: Khơi dậy và nuôi dưỡng niềm say mê toán học
4. Định hướng hình thành phẩm chất, năng lực
	- Phẩm chất: Tự chủ, có trách nhiệm
	- Năng lực: Tự học, giải quyết vấn đề, tích cực, giao tiếp, hợp tác
II. CHUẨN BỊ 
1. Giáo viên: Bảng phụ, thước thẳng, compa, thước đo góc
	2. Học sinh: Bảng phụ nhóm, thước thẳng, compa, thước đo góc 
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
	1. Ổn định lớp: kiểm tra sĩ số (1 phút)
	2. Nội dung: Ôn tập
Tóm tắt lý thuyết:
Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến 
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó. 
Vị trí của trọng tâm : 
Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Vì G là trọng tâm của DABC 
Þ
Để chứng minh G là trọng tâm của DABC, ta có thể chứng minh :
Cách 1 : G là giao điểm của hai đường trung tuyến của DABC.
DABC có:
AD là trung tuyến
BE là trung tuyến
AD cắt BE tại G
Þ G là trọng tâm của DABC 
Cách 2 : G thuộc một trung tuyến (ví dụ AD) và thỏa thêm một trong các đẳng thức sau :
 DABC có:
AD là trung tuyến 
Þ G là trọng tâm của DABC 
Tiết 1: 
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Bài 1: Cho hình bên hãy tính 
c) Chứng minh : 
GV: ta có thể dựa vào đâu để có thể tính được các biểu thức trên?
HS: Tính chất trung điểm của đoạn, tính chất trọng tâm của tam giác
GV: khi K là trung điểm của DE thì ta biết được gì ?
HS: DK = EK
GV: Khi đó tỉ số giữa DK và EK là bao nhiêu?
HS: 
GV: Gọi hs lên bảng thực hiện theo hướng dẫn
GV: yêu cầu hs nhận xét
GV: nếu G là trọng tâm của DDEF thì có những tỉ số nào?
HS: nêu các tỉ số
GV: vậy dựa vào đó, một bạn lên bảng thực hiện câu b)
GV: với câu c) chúng ta có thể thực hiện tính từng vế, rồi so sánh kết quả, sau đó kết luận yêu cầu chứng minh
(GV cho hs làm theo nhóm, và chọn 2 nhóm làm nhanh nhất để chấm và sửa cho toàn lớp)
G
G
G
Bài 1:
a)Theo hình vẽ : Ba đường trung tuyến DH, EI, FK cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của tam giác DEF.
Ta có:
(K là trung điểm đoạn DE)
 (H là trung điểm đoạn EF)
(G là trọng tâm tam giác DEF)
Do đó:
b) Vì G là trọng tâm tam giác DEF nên:
 ; ; 
Lại có I là trung điểm của FD nên:
Do đó: 
c) Vì G là trọng tâm tam giác DEF nên:
 	(1)
	(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Bài 2: Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.
a) Chứng minh rằng .	
b) Tính độ dài AM.
a)
GV: để AM^BC ta cần điểu gì
HS: (có thể đưa ra nhiều cách nghĩ, gv nghe và chọn ra cách đúng để gợi mở tiếp, nếu ko có phương án, GV gợi ý)
GV: trong trường hợp này chúng ta không đủ điều kiện để dùng Pytago đảo, chúng ta có thể chứng minh 
GV: ở đây có 2 dấu bằng, vậy dấu bằng thứ nhất có thể cm thế nào?
HS: Cm cặp tam giác bằng nhau 
	( = )
GV: 2 góc AMB và góc AMC ngoài bằng nhau chúng còn có quan hệ gì không?
HS: 2 góc kề bù
GV: vậy nếu vừa bù vừa bằng thì ta có gì?
b)
GV: Tính AM bằng cách nào?
HS: định lí Pytago thuận cho DAMB
GV: còn thiếu gì không?
HS: thiếu MB
GV: Vậy MB = ?
HS: 
Bài 2:
a/ Xét và 
AB = AB (tam giác ABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến tam giác ABC)
AM = AM (cạnh chung)
Do đó = (C-C-C)
 (2 góc tương ứng)
Mà (2 góc kề bù)
Nên 
Þ
b/ Vì M là trung điểm BC nên 
(cm)
 Xét tam giác AMB vuông tại M:
 (định lý Pytago)
...
(cm) 
Bài 3: Cho DABC có hai đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh A, G, D thẳng hàng.
GV: giao điểm 2 đường trung tuyến là gì?
HS: là trọng tâm của tam giác.
GV:Vậy đường thẳng đi qua đỉnh và trọng tâm thì chứa gì của tam giác
HS: chứa đường trung tuyến của tam giác
GV: vậy chúng ta sẽ áp dụng vào giải bài toán này
Bài 3:
có 2 đường trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G
 G là trọng tâm của 
AG chứa đường trung tuyến AG đi qua trung điểm D của BC
A,G,D thẳng hàng
Bài 4: Cho DABC có hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh G là trung diểm của AI.
GV: để G là trung điểm của AI cần gì?
HS: cm GA = GI và G nằm giữa A,I
GV: làm sao để GA = GI? Dựa vào đâu
HS: (suy nghĩ và nêu ý kiến, nếu có hướng đi thì GV hướng theo ý hs)
GV: Theo gt bài toán thì G là gì của tam giác ABC?
HS: G là trọng tâm 
GV: Vậy sẽ có những tỉ số nào?
HS: nêu tỉ số (GV có thể ghi hết lên phần bảng nháp)
GV: vậy khi DI = DG ta có thể có những tỉ số nào giữa 2 trong 3 đoạn DI, DG và IG?
HS: nêu tỉ số (GV ghi lên bảng)
GV: tìm các tỉ số có liên quan đến GD, GI và GA để so sánh.
Sau đó GV cho hs lên bảng làm, và chỉnh sửa cách trình bày.
Bài 4:
 có 2 đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G 
G là trọng tâm 
Ta lại có DI = DG và DÎGI 
Vì G nằm giữa A và I
 AG = IG ( = 2GD)
Nên G là trung điểm của AI
Bài 5: Cho DABC có đường trung tuyến AD. Lấy điểm G trên đoạn AD sao cho AG = 2 GD. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh :
a) 
b) B, G, E thẳng hàng.
a/ 
GV: Muốn tính tỉ số giữa hai đoạn AG và AD chúng ta cần tính AD, dựa vào gt hãy tính AD theo GD
HS: lên bảng thực hiện
GV: đã có AD và AG theo GD, hãy lập tỉ số giữa chúng
HS: lên bảng thực hiện, từ tỉ số suy ra yêu cầu bài toán
b/
GV: Điểm G có gì đặc biệt không?
HS: G cách A một khoảng bằng 2 phần 3 của AD.
GV: mà AD là gì của DABC ?
HS : AD là trung tuyến 
GV : Vậy G có thể là gì DABC ?
HS : G là trọng tâm tam giác ABC
GV : khi G là trọng tâm thì chúng ta cm theo bài tập 3
GV : nhắc lại 2 cách cm trọng tâm D
Bài 5:
a/ Ta có 
AD = AG + GD = 2 GD + GD = 3 GD
Do đó 
b/ DABC có:
AD là trung tuyến 
, G Î AD
Þ G là trọng tâm của DABC 
BG chứa đường trung tuyến DABC
BG đi qua trung điểm E của AC 
B,G,E thẳng hàng
Tiết 2: 
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Bài 6: Cho DABC vuông ở A có AB = 8cm, BC = 10cm. Trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G. 
Tính AC và AE.
Tính BE và BG.
Kéo dài CG cắt AB tại K. Tính CK.
a/ 
GV: AC tính như thế nào?
HS: áp đụng đl Pytago?
GV: Còn AE?
HS: tính chất trung điểm đoạn thẳng
b/
GV: Tính BE cách nào?
HS: áp đụng đl Pytago?
GV: Còn BG?
HS: Tính chất trọng tâm.
c/
GV: Tính CK như thế nào?
HS: đl Pytago, nhưng trước hết phải có AC và AK
GV: AK bao nhiêu? Tính thế nào
HS: cm K là trung điểm của AB
Bài 6: 
a/ Xét DABC vuông tại A
 (định lý Pytago)
Mà E là trung điểm AC (BE là trung tuyến)
b/ Xét DABE vuông tại A
 (định lý Pytago)
DABC có 2 đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G
Þ G là trọng tâm của DABC 
c/ 
Vì G là trọng tâm của DABC 
Þ CG đi qua trung điểm K của AB
DACK vuông tại A
 (định lý Pytago)
Bài 7: Cho DABC có M, G lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kéo dài MG thêm một đoạn GD = 2GM.
a/Điểm G là gì của DABD.
b/BD cắt AC tại O. Chứng minh O là trung điểm của BD và của GC.
a/
GV: G là gì của DABC?
HS: G là trọng tâm DABC
GV: nêu các cách cm trọng tâm D?
HS: 
GV: vậy ở đây chúng ta dùng cách nào?
HS: 
GV: gọi hs lên bảng thực hiện
b/ 
GV:cm O là trung điểm BD như thế nào?
HS: nêu cách cm (theo những bt đã làm trước đó)
GV: Vậy cm O là trung điểm GC bằng cách nào
HS: (nêu cách làm, nếu đúng gv theo hướng đó)
GV: gợi ý hs lập tỉ số GO với GA, so sánh GA với GC, rút ra nhận xét gì?
Bài 7:
a/ DABD có:
DM là trung tuyến (M:trung điểm AB)
G Î MD, 
Þ G là trọng tâm của DABD
b/ Vì G là trọng tâm của DABD
Þ AG chứa đường trung tuyến DABD
Þ AG đi qua trung điểm của BD
Þ O là trung điểm của BD
Ta có 
 (G :trọng tâm của DABD)
 GA = GC (G: trung điểm AC)
Þ
Mà O nằm giữa G và C
Nên O là trung điểm của GC
Bài 8: Cho DABC vuông ở A có AC = 8cm, BC = 10cm. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. Lấy điểm D sao cho A là trung điểm CD.
Tính AB.
Điểm M là gì của DBCD.
Gọi E là trung điểm BC. Chứng minh D, M, E thẳng hàng.
a/
GV: Tính AB như thế nào?
HS: áp dụng đl Pytago
GV: Gọi hs lên bảng thực hiện
b/
GV: M có đặc điểm gì?
HS: M nằm trên đường trung tuyến BA của DBDC
GV: còn gì nữa không?
HS:
GV: hãy lập tỉ số BM và BA
HS: lên bảng thực hiện
GV: sau khi đã có thêm tỉ số, thì giờ M là gì của DDBC?
HS: M là trọng tâm của DBDC.
GV: gọi hs lên bảng thực hiện
c/ 
GV: chia nhóm cho hs thực hiện và chấm, sửa bài
Bài 8:
a/ Xét DABC vuông tại A
 (định lý Pytago)
b/ Ta có 
DBCD có
BA là trung tuyến (A:trung điểm CD)
, M Î AB
Þ M là trọng tâm của DBCD
c/ Vì M là trọng tâm của DBCD
DM chứa đường trung tuyến DBDC
Þ DM đi qua trung điểm E của BC 
D,M,E thẳng hàng
Bài tập về nhà:
Bài 9: Cho tam giác ABC cân ở A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Kéo dài AG cắt BC ở H.
Chứng minh AH ^ BC
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA, GC. Chứng minh AK, BD, CI đồng quy.
Bài 10: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Trên cạnh AB lấy hai điểm M và N sao cho : AM = BN. Gọi F là trung điểm của MN. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.
BUỔI 14. (tiết 3)
LUYỆN TẬP TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức: Hs củng cố hai định lí thuận và đảo về tính chất tia phân giác của một góc và tập hợp các điểm nằm bên trong góc, cách đều hai cạnh của góc.
2. Kĩ năng: 
- Vận dụng các định lí thuận và đảo để tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau và giải bài tập 
3. Thái độ: Khơi dậy và nuôi dưỡng niềm say mê toán học
4. Định hướng hình thành phẩm chất, năng lực
	- Phẩm chất: Tự chủ, có trách nhiệm
	- Năng lực: Tự học, giải quyết vấn đề, tích cực, giao tiếp, hợp tác
II. CHUẨN BỊ 
1. Giáo viên: Bảng phụ, thước thẳng, compa, thước đo góc
	2. Học sinh: Bảng phụ nhóm, thước thẳng, compa, thước đo góc 
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
	1. Ổn định lớp: kiểm tra sĩ số (1 phút)
	2. Nội dung: Ôn tập
Tóm tắt lý thuyết:
Định lí 1 : Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Định lí 2 : Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
OM là tia phân giác của .
Ôn tập :
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
Bài 1: Cho điểm M nằm trên tia phân giác At của góc nhọn. Kẻ MH ^ Ax ở H và MK ^ Ay ở K.
a) So sánh MH và MK
b) Chứng minh tam giác AMH bằng tam giác AKM
a/ 
GV: theo đề bài, MH và MK là gì?
HS: là khoảng cách từ M đến Ax và Ay
GV: M đang ở vị trí nào?
HS: M nằm trên tia phân giác của góc 
GV: yêu cầu hs nhắc lại lần nữa định lí và lên bảng thực hiện
b/ 
GV: chia nhóm cho hs thực hiện
Bài 1
a/ 
b/ Xét DAMH và DAMK
MH = MK (chứng minh trên)
AM = AM (cạnh chung)
Do đó DAMH = DAMK (cạnh huyền –cạnh góc vuông)
Bài 2: Cho DABC cân ở A có AM là đường trung tuyến.
Chứng minh AM ^ BC.
Chứng minh AM là phân giác của góc BAC.
Lấy D thuộc AM. Kẻ DH ^ AB tại H, DK ^ AC ở K. Chứng minh DDHK cân.
a/ 
GV: chia nhóm cho hs thực hiện
b/
GV: để cm AM là phân giác cần những điều kiện nào
HS: trả lời
GV: gọi hs lên bảng thực hiện
c/
GV: có những cách nào cm Dcân
HS: trả lời
GV: riêng bài này chúng ta dùng cách nào?
HS: cm DH = DK
GV: dựa vào cơ sở nào để chọn ?
HS: D nằm trên tia phân giác của góc A và DH, DK là khoảng cách từ D đến 2 cạnh góc A
GV: gọi hs lên bảng thực hiện
Bài 2: 
a/ Xét và 
AB = AB (tam giác ABC cân tại A)
MB = MC (AM là đường trung tuyến tam giác ABC)
AM = AM (cạnh chung)
Do đó = (C-C-C)
 (2 góc tương ứng)
Mà (2 góc kề bù)
Nên 
Þ
b/ Vì = (chứng minh trên)
 (2 góc tương ứng)
Mà tia AM nằm giữa hai tia AB, AC
Nên AM là phân giác của góc BAC
c/ Ta có
Þ D DHK cân tại D
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Bx là tia phân giác của góc ABC, Cy là tia phân giác của góc ACB. Gọi H là giao điểm của Bx và Cy. 
a/ Chứng minh: HB = HC
b/ Chứng minh: AH là tia phân giác của góc BAC
c/ Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: A, H, M thẳng hàng
a/ 
GV: làm sao để HB = HC
HS: cm cặp tam giác bằng nhau hoặc cm tam giác cân.
GV: Nếu cm cặp tam giác đã có đủ các yếu tố bằng nhau?
HS:
GV: vậy nếu cm tam giác cân là D nào? Vì sao cân?
HS: DHBC cân tại H do có 2 góc bằng nhau
GV: (đặt câu hỏi gợi ý)
	BH, CH là gì của góc B, góc C ? 
	Góc B và góc C thế nào?
	Kết luận được điều gì
	(trong khi hs trả lời nên ghi nháp câu trả lời lên bảng để hs quan sát và rút ra kết luận)
GV: gọi hs lên bảng thực hiện rồi gv có thể sửa bài ngắn gọn hơn cho hs
b/ 
GV: làm sao để cm AH là phân giác của góc BAC
HS: cm cặp tam giác bằng nhau để suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau
GV: có thể cho hs làm nhóm nhanh để kiểm tra cách trình bày của hs
c/
GV: chúng ta đã được cm 3 điểm thẳng hàng nhờ vào tính chất trọng tâm , hôm nay chúng ta lại làm quen thêm một cách chứng minh thẳng hàng khác là cm hai đường thẳng trùng nhau vì có cùng tính chất
GV:theo câu b ta đã cm được AH là gì?
HS: AH là phân giác của góc BAC.
GV: Nếu ta cm được AM cũng là tia phân giác của góc BAC thì , khi đó A,M,H thẳng hàng
GV: Làm sao để cm AM là tia phân giác của góc BAC
HS:cm cặp tam giác bằng nhau.
GV: gọi hs cm cặp tam giác, sau đó hướng dẫn hs cách trình bày 
Bài 3:
a/ Ta có
 (Bx là pg )
(Cy là pg )
 (tam giác ABC cân tại A)
Xét tam giác HBC có 
ÞDHBC cân tại H
ÞHB = HC
b/ Xét DAHB và DAHC
AB = AC (DABC cân tại A)
 (chứng minh trên)
HB = HC (chứng minh trên)
Do đó DAHB = DAHC (C-G-C)
 (2 góc tương ứng)
Mà tia AH nằm giữa 2 tia AB, AC
Nên AH là phân giác 
c/ Xét DAMB và DAMC
AB = AC (DABC cân tại A)
AM = AM (cạnh chung)
MB = MC (M: trung điểm BC)
Do đó DAMB = DAMC (C-C-C)
 (2 góc tương ứng)
Mà tia AM nằm giữa 2 tia AB, AC
Nên AM là phân giác 
Lại có AH là phân giác 
Nên 
Suy ra A, H, M thẳng hàng
Bài tập về nhà:
Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, OB = OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh rằng :
a) BC = AD
b) IA = IC, IB = ID
c) Tia OI là tia phân giác của góc xOy.