Giáo án Dạy thêm Toán Lớp 7 - Buổi 15: Tính chất ba đường phân giác. Tính chất ba đường trung trực. Tính chất ba đường cao trong tam giác - Năm học 2019-2020

Ngày soạn:		Ngày dạy:		Lớp :
BUỔI 15: 
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC
I. MỤC TIÊU
Qua bài này giúp học sinh: 
1. Kiến thức: 
- Củng cố tính chất ba đường phân giác, ba đường trung trực, ba đường cao trong tam giác. 
- Củng cố khái niệm đường phân giác, đường cao, đường trung trực trong tam giác.
2. Kỹ năng: -Vận dụng các kiến thức đã học vào từng dạng bài cụ thể như chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh ba điểm thuộc đường tròn, tính toán trên các đối tượng hình học.
3. Thái độ: Giáo dục tính cẩn thận chính xác.
4. Định hướng năng lực, phẩm chất
- Năng lực: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề.
- Phẩm chất: Tự tin, tự chủ, tự lập.
II. CHUẨN BỊ 
1. Giáo viên: Phấn màu, bảng phụ, thước thẳng, SGK, SBT, 
2. Học sinh: Đồ dùng học tập, đọc trước bài.
III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số. (1 phút)
2. Nội dung: 
TIẾT 1. Tính chất ba đường phân giác trong tam giác
Mục tiêu: 
- Ôn tập tính chất ba đường phân giác trong tam giác
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của giáo viên và học sinh
Nội dung
GV yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm tia phân giác của một góc.
HS trả lời.
GV yêu cầu học sinh nêu lại tính chất đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân của tam giác cân.
HS trả lời.
? Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác có gì đặc biệt? 
HS: là tam giác. (nội dung bài 42.SGK-73)
HS chú ý ghi nhớ kết quả này.
GV yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất 3 đường phân giác của tam giác.
HS nhắc lại nội dung định lí SGK.
GV hướng dẫn học sinh tổng hợp lại các nội dung kiến thức trọng tâm của bài.
I/ Lý thuyết
Trong một tam giác cân, đường phân giác, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Nếu tam giác có một đường trung tuyến ứng đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Bài tập 1: Cho , các đường phân giác , cắt nhau tại Chứng minh rằng là góc tù.
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
? Thế nào là một góc tù? Đề chứng minh là góc tù ta phải chứng minh điều gì?
TL:Phải chứng minh 
? Làm sao để chỉ ra 
? Đầu bài đã cho có yếu tố nào liên quan đến số đo của chưa hay có thể biểu diễn mối liên hệ giữa số đo của các góc trong tam giác không?
? Có nội dung kiến thức nào đã học liên quan đến số đo các góc trong một tam giác?
? Hãy trình bày lời giải?
Bài 1: 
Trong , ta có .
Vì là các đường phân giác của nên 
Trong tam giác ta có:
Vậy ta có là góc tù.
Bài tập 2: Cho vuông tại Vẽ vuông cân tại ở phía ngoài tam giác Chứng minh rằng là tia phân giác của góc 
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
? Có những cách nào để chứng minh một tia là tia phân giác cảu một góc?
HS nêu các cách mà các em biết.
? Có thể chứng minh bằng cách chỉ ra khoảng cách từ D đến hai cạnh bằng nhau không?
? Hãy chứng minh bài toán?
Thông qua bài tập, giáo viên lưu ý cho hs một cách khác để chứng minh một tia là tia phân giác.
Bài 2 :
Kẻ 
Xét hai tam giác vuông và ta có:
 (vì cân tại )
Do đó (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra .
Vậy là tia phân giác của góc 
Chú ý : Như vậy để chứng minh là tia phân giác của góc , ngoài cách chứng minh ta còn có thể chứng minh theo cách sau:
Lây trên , kẻ Ta chứng minh 
Bài tập 3: Cho tam giác đường phân giác Đường phân giác góc ngoài tại cắt đường thẳng ở Gọi là giao điểm của và Tính số đo của góc 
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
? Quan sát, so sánh số đo và chỉ ra đặc điểm đặc biệt của các tia 
Nhận thấy: suy ra là tia phân giác 
Suy ra là tia phân giác và là tia phân giác góc 
Từ đó ta có và 
GV yêu cầu hs trình bày lại lời giải theo hướng dẫn.
Bài 3 : 
Vì nên 
 là phân giác của góc (giả thiết) nên 
Vẽ là tia đối của tia ta có (đối đỉnh).
Suy ra Vậy là tia phân giác của góc 
Tam giác có là giao điểm của hai tia phân giác ngoài tại và nên là tia phân giác của góc , ta có 
Do nên là phân giác của góc 
Tam giác có là giao điểm của hai tia phân giác ngoài tại và nên là tia phâm giác của góc ta có 
Do đó, 
Bài 4: Cho vuông tại đường cao Tia phân giác của các góc và cắt lần lượt tại và Gọi là giao điểm các đường phân giác của tam giác 
Chứng minh rằng đường tròn tâm bán kính đi qua ba điểm 
Tính số đo góc 
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
GV gợi ý ycđb 
GV yêu cầu học sinh thảo luận nhóm để tìm ra cách chứng minh 
Các nhóm trình bày ý tưởng, cả lớp cùng tỏng hợp và chọn ra phương án tối ưu.
Gv chữa bài.
Gv gợi ý dựng tia đối của 
Học sinh thảo luận cùng giải bài tập.
Hs tự trình bày, giáo viên chữa lỗi (nếu có).
Bài 4 : 
Ta có: (1)
 	 (2)
Mà (giả thiết), do đó từ (1) và (2) suy ra nên tam giác cân tại 
Vì là giao điểm các đường phân giác của nên là đường phân giác của tam giác cân , do đó là đường trung trực của , suy ra 	(3)
Chứng minh tương tự ta có là đường trung trực của suy r 	(4)
Từ (3) và (4) suy ra Điều này chứng tỏ ba điểm nằm trên đường tròn tâm bán kính hay đường tròn tâm bán kính đi qua ba điểm 
Từ (3) suy ra cân tại nên Vẽ tia là tia đối của tia , ta có 
Tương tự, 
Do đó, 
Vậy 
Bài tập về nhà
Cho tam giác ABC có Ba đường phân giác của tam giác cắt nhau tại O. Tính tổng các khảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác.
Cho tam giác ABC và điểm I là giao của ba đường phân giác của tam giác. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B đến AI. Chứng minh rằng .
Cho tam giác ABC có , đường cao AH. Tia phân giác của góc AHC cắt AC ở D. Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB. Chứng minh rằng điểm D nằm trên tia phân giác của góc ABC.
TIẾT 2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
Mục tiêu: 
- Ôn tập tính chất 3 đường trung trực của tam giác.
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
Gv yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất đường trung trực của cạnh đáy của tam giác cân, tính chất 3 đường trung trực của tam giác.
I. Lý thuyết
- Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
- Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.
- Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Bài tập 1: Cho tam giác vuông tại . Đường trung trực của cắt ở Chứng minh rằng 
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
? Để chứng minh ta cần chứng minh những đẳng thức nào?
 và 
? Hãy tìm cách chứng minh hai đẳng thức trên và trình bày lời giải.
Hs lên bảng làm bài tập
Bài 1:
 nằm trên đường trung trực của nên 	(1)
 cân tại nên . Ta lại có phụ và phụ nên .
Do đó cân tại suy ra 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài tập 2: Cho , điểm nằm trong góc . Lấy điểm sao cho là đường trung trực của Lấy điểm sao cho là đường trung trực của 
Chứng minh thuộc đường trung trực của .
Tính số đo góc .
Bài 2: 
Ta có: 
, vì là đường trung trực của 
, vì là đường trung trực của 
Do đó , suy ra thuộc đường trung trực của .
Ta có:
 cân tại nên .
 cân tại nên .
Khi đó
Vậy 
Bài tập 3: Cho tam giác cân tại , là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm trên cạnh , điểm trên cạnh sao cho . Chứng minh rằng:
 nằm trên đường trung trực của 
GV yêu cầu hs vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
?Để chứng minh ta sử dụng tính chất nào?
Hs: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
? hãy chứng minh dựa vào định lí trên.
? Để chứng minh nằm trên đường trung trực của ta làm thế nào?
Chứng minh 
Thảo luận theo nhóm từ 3-5 người đề tìm cách chứng minh bài toán.
GV chốt kiến thức, hs chữa bài
Bài 3:
 là giao điểm của ba đường trung trực của nên 
 nên 	(1)
Tam giác cân tại , là đường trung trực nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Xét và có:
 (theo a)
 (chứng minh trên)
 (giả thiết)
Do đó, , suy ra 
Vậy nằm trên đường trung trực của 
Bài tập 4: Cho tam giác có , đường cao Trên cạnh lấy điểm sao cho. Vẽ đường phân giác của góc cắt tại . Chứng minh rằng là đường trung trực của đoạn thẳng 
GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết kết luận.
? Để chứng minh là đường trung trực của đoạn thẳng ta cần cm điều gì?
Hs: , 
Hãy chỉ ra hai điều trên và trình bày lời giải.
? Ngoài cách cm như trên còn cách lập luận nào khác để chỉ ra là đường trung trực của đoạn thẳng BD không?
HS: CÓ. Sử dụng tính chất về đường cao đường trung tuyến trong tam giác cân.
? Hãy chứng minh bài toán bằng cách đó.
Bài 4: 
Tam giác có ABC nên 
Lại có nên 
Mặt khác góc ABD là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BCD nên Suy ra do đó cân tại A, ta có 
Xét và có:
 (giả thiết)
 là cạnh chung
Vậy , suy ra 
Ta có nên A thuộc đường trung trực của BD.	(1)
 nên E thuộc đường trung trực của BD.	(2)
Từ (1) và (2) suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
CÁCH KHÁC:
Gọi giao điểm của AE với BD là I. 
Xét và có:
 (giả thiết), cạnh chung
Vậy , suy ra 
Tam giác ABD cân tại A có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Bài tập về nhà: 
Cho tam giác ABC cân tại A có , đường phân giác CD. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của AC tại O. Chứng minh rằng:
O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC.
O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ACD.
Tam giác ABC có . Cac đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I. Tính 
TIẾT 3. Tính chất ba đường cao trong tam giác
Mục tiêu: 
- Ôn tập tính chất ba đường cao trong tam giác.
- Giải được một số bài tập vận dụng
Hoạt động của GV và HS
Nội dung
Gv yêu cầu học sinh nhắc lại tính chất ba đường cao của tam giác; đường cao của tam giác cân; đặc điểm trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 cạnh, 3 đỉnh của ta giác.
Lí thuyết
Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực tâm của tam giác.
Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.
Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân.
Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Bài tập 1: Cho vuông cân tại B.Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho Chứng minh rằng:
HS vẽ hình, ghi GT/KL
? Để cm hai đường thẳng vuông góc ta làm thế nào?
Hs: + chứng hai đường thẳng tạo thành góc vuông.
+ chứng minh là đường cao ứng với một cạnh của tam giác. 
HS hoạt động nhóm giải toán bài toán.
GV gọi HS chữa bài
GV hướng dẫn HS khi cần thiết.
Bài tập 1:
Chứng minh 
 vuông cân tại B,nên 
có (gt) ; (gt)
Vậy vuông cân tại suy ra 
Xét có (CMT)
Suy ra 
Vậy 
Chứng minh 
Xét có 
 (gt)
 (CMT)
Vậy H là trực tâm nên .
Bài tập 2: Cho vuông tại A.Trên cạnh AC lấy các điểm D,E sao cho . trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho Chứng minh rằng cân.
GV yêu cầu HS vẽ hình, xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
? Chứng minh tam giác bằng nhau ta chứng minh như thế nào?
Hs: hai cạnh bên bằng nhau, hai góc kề một cạnh bằng nhau.
? Hãy chứng minh bài toán trên.
? Trình bày lời giải.
Bài 2:
Trên BF đặt đoạn thì G nằm giữa D và F và cân tại B có BE là tia phân giác nên cũng là đường cao, tại H.
Ta có . Suy ra cân tại C nên 
Hai tam giác CDF và CGF có 
(Cùng bù với hai góc bằng nhau)
Nên (c.g.c)
Vậy cân.
Bài tập 3: Cho vuông tại A,đường cao AH, lấy I là trung điểm AC. 
Chứng minh rằng I là giao điểm ba trung trực của .
Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và HC. Chứng minh .
Chứng minh .
Trong hình thì A là trực tâm của những tam giác nào?
Yêu cầu hs vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận của bài toán.
? Em có nhận xét gì về tam giác AHC.
HS: là tam giác vuông.
? Trực tậm của tam giác vuông nằm ở đâu, có đặc điểm gì?
Hs: là trung điểm của cạnh huyền, bằng nửa cạnh huyền.
? Chứng minh.
? Nêu các cách chứng minh hai đường thẳng song song.
Hs: có cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau. 
Cặp góc trong cùng phía bù nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với 1 đt...
? Quan sát hình vẽ, giả thiết kết luận và chọn ra cách phù hợp để chứng mình btoan.
Hướng dẫn tương tự bài 1.
Hs dựa vào hình vẽ tự trả lời.
Bài tập 3:
Chứng minh rằng I là giao điểm ba trung trực của .
Dễ dàng chứng minh được .
Vậy I là giao điểm ba trung trực của .
Gọi K và D thứ tự là trung điểm của AH và HC. Chứng minh .
Xét và có: ,. Suy ra 
 ,. Suy ra 
	KD chung
	 (CMT)
	 (CMT)
 Nên (gcg)
Suy ra Nên 
Xét hai tam giác vuông KDH và IDC có 
 (chứng minh trên)
 (DI là trung trực).
Vậy (Hai cạnh góc vuông)
=>(góc tương ứng)
 (Hai góc đồng vị bằng nhau).
 (chứng minh ở câu b)
 (giả thiết)
Trong có: (giả thiết), vậy K là trực tâm , suy ra 
A là trực tâm .
Xét có A thuộc đường cao KH; A thuộc đường cao qua đỉnh B.
Nên A là trực tâm .
Bài tập 4 : Cho cân tại A.Đường phân giác AH và đường trung trực của cạnh AB cắt nhau tại O.Trên AB và AC lấy điểm sao cho 
Chứng minh rằng .
Chứng minh khi E,F di động trên hai cạnh Nhưng thì đường trung trực của EF đi qua một điểm cố định.
? vẽ hình ghi gt,kl
? Ycau hs nêu cách cm hai đoạn thẳng bằng nhau.
(hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau, hai cạnh bên của tam giác cân,...?
Hs thảo luận theo cặp để cm btoan.
Yêu cầu hs xác định các yếu tố cố định. Yếu tố thay đổi của bài toán.
Từ đó tìm ra cách chứng minh bài toán.
Bài tập 4: 
Chứng minh rằng 
Ta có: (gt) mà vậy .
 (gt)
 Mà (Do O nằm trên trung trực của AB),
nên 
Xét và có:
AF = BE (CMT)
 (CMT)
 (Do O nằm trên trung trực của AB)
Vậy (cgc) 
Suy ra 
Chứng minh khi di động trên hai cạnh Nhưng thì đường trung trực của EF đi qua một điểm cố định.
 (CMT)
Nên O nằm trên trung trực của EF.
 cố định nên O cũng cố định.
Vậy đường trung trực của EF đi qua một điểm cố định.
BTVN: 
Cho tam giác nhọn hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của các tia DB và CE lấy theo thứ tự hai điểm I và K sao cho Chứng minh rằng tam giác AIK là tam giác vuông cân.
Cho tam giác ABC. Qua các đỉnh A,B,C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF. Chứng minh rằng các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác DEF.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AH và BH. Chứng minh CM vuông góc với AN.