Giáo án tự chọn nâng cao Toán 8

Chủ đề 1
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Trên tập xác định của biểu thức f(x,y,..) 
a. Số A được gọi là giá trị lớn nhất của f(x,y,...) nếu và có (x0; y0;....) sao cho
Ký hiệu Max 
b. Số B được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,...) nếu và có (x0; y0;....) sao cho
Ký hiệu Min 
2. Cách tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức đại số 
- Tìm tập xác định của biểu thức
- Trên tập xác định của biểu thức, chứng minh rằng hoặc 
- Chỉ ra bộ số (x0; y0......) sao cho hoặc 
- Kết luận: Max khi x = x0 ; y = y0 ......
 Min khi x = x0 ; y = y0.......
3. Các kiến thức thường dùng 
+ , "x ÎR. Tổng quát với " x 
 Từ đó xuy ra: , "x ÎR
 , "x ÎR
+ ,"x ÎR.
+ , "x ÎR. Dấu bằng khi x ≥ 0
+ |x| ≥ -x, "x ÎR. Dấu bằng khi x ≤ 0 
+ 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi 
+ 
	Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi và |x| ≥ |y|
II. Các dạng bài tập thường gặp 
§1. ĐA THỨC BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
a. 
b. 
Giải
a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số R 
	Ta có 
	 Nên 
Vậy min A = 0 khi 
b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số R
	Ta có: Nên min B = 3 khi 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
Biểu thức D xác định với mọi 
	Ta có Nên Vậy max D = 5, khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải
Biểu thức C xác định với mọi 
Áp dụng bất đẳng thức 
Dấu bằng xảy ra khi ta được
 Nên 
Vậy min C = 1 khi (x – 2008)(2009 – x) 0
 Tức 
Bài tập
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a. 
b. 
c. 
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức 
a. 
b. 
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a. với 
b. 
c. 
§2. ĐA THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
a. Biểu thức A xác định với mọi x thuộc tập số thực R
 	Ta có: 
Do với mọi x, nên 
 Vậy min A = -5 khi x = 1
b. Biểu thức B xác định với mọi x thuộc tập số thực R
	Ta có 
	Do với mọi x nên 
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây:
a. đạt giá trị nhỏ nhất
b. đạt giá trị lớn nhất
Giải
a. Biểu thức C xác định với mọi x thuộc tập số thực R
	 Và 
 và 
 	Vậy min C = 0 x = 2 và 
b. 
	 Max D = 40 khi 
Ví dụ 3: a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
a. Biểu thức E xác định với mọi x thuộc tập số thực R
 và 
 Min E = -3 và 
b. Biểu thức F xác định với mọi x thuộc tập số thực R
	 và 
	Max F = 18 v à 
Bài tập
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	a. 
	b. 
	c. 
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	a. 
	b. 
	c. 
3. Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
	a. 
	b. 
	c. 
4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
	a. 
	b. B = 
§3. BIỂU THỨC CÓ DẠNG PHÂN THỨC
1. Phân thức có tử số là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Giải
	Ta có 
Vậy min khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải
	Ta có 
	Vậy max khi 
2. Phân thức có mẫu số là bình phươngcủa một nhị thức 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải
Biểu thức C có giá trị xác định với mọi 
Vì vậy min khi x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải
Biểu thức D có giá trị xác định với mọi 
Đặt 
 khi 
Vậy max khi x = 1
3. Các phân thức khác
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Ta có nên biểu thức M có giá trị xác định với Î R
Tìm giá trị lớn nhất của M
Vì nên 
Vậy max M = 2 khi x = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M
Min khi x = -1
Bài tập
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
	a. 
	b. 
	c. 
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
	a. 
	b. 
	c. 
§4. BIỂU THỨC CÓ BIẾN BỊ RÀNG BUỘC BỞI MỘT HỆ THỨC CHO TRƯỚC
Ví dụ: Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện: 3x + y = 1 
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải
Do ta có 
a. 
 nên 
Vậy min khi ; 
b. 
	Nên vậy max khi và 
Bài tập
1. Cho x, y là hai số thoả mãn điều kiện: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của x.y
2. Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x + y.
3. Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Chủ đề 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I. Phương trình bậc cao là phương trình có dạng: f(x) = 0 trong đó f(x) là một đa thức bậc n đối với x
II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao.
Phương pháp đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải
* 
* 
* 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2; x = -3
 Ví dụ 2: Giải phương trình: 	
Giải
	Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 2; x = 3; x = 4; x = -5
	Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải
	Vì 
	 với mọi x
	Nên: 
	Hoặc: 
	Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1, x = -2,5
	Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải
	* (vô nghiệm)
	Vì 
	Vậy phương trình có hai nghiệm: ; 
Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải
	Đặt: ta có
	+ Nếu t = 5 thì 
	 hoặc x = -6
	+ Nếu t = -8 thì 
	Phương trình này vô nghiệm vì với mọi x
	Vậy: Phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0; x = -6
	Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải
	Đặt: x – 7 = y, phương trình chở thành:
	Đặt: ta có:
Nếu thoả mãn điều kiện 
 (loại)
Với z = 1 ta có 
* 
* 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6, x = 8
	Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải
	Đặt 
Phương trình có dạng: 
	 hoặc hoặc 
	 hoặc hoặc 
	+ 
	 hoặc 
	+ 
	 hoặc x = 1
	+ 
	 hoặc x = 1
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Giải
	Đặt: x + 1 = y; x – 2 = z; 1 – 2x = t
	Thì y + z + t = 0; z + t = - y
	Do đó: (y + z + t)3 = 0
	Vậy yzt = 0 
	* 
	* 
	* 
	Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: 
Các phương pháp khác
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải
ĐKXĐ: 
Phương trình được biến đổi về dạng:
* (Thoả mãn ĐKXĐ)
* (Thoả mãn ĐKXĐ)
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 2, x = - 10
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải
Cộng vào hai vế của phương trình (- 3), ta có
Vì: do đó:
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 100
Bài tập
	Giải các phương trình
Bài 1: a) 
 	b) 
	c) 
Bài 2: a) 
	b) 
	c) 
Bài 3: a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Bài 4: a) 
	b) 
	c) 
Bài 5: a) 
	b) 
	c) 
Bài 6: a) 
	b) 
Bài 7: a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Chủ đề 3
BẤT ĐẲNG THỨC
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa:
	a nhỏ hơn b, ký kiệu , nếu 
	a lớn hơn b, ký hiệu nếu 
	a nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu , nếu 
	a lớn hơn hoặc bằng b, ký hiệu nếu 
2. Tính chất
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
 với n lẻ
 với n chẵn
3. Một số bất đẳng thức thông dụng 
a. Bất đẳng thức Cô si
Nếu a, b là các số không âm thì . Dấu bằng xảy ra khi a = b
b. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 . Dấu bằng xảy ra khi a.b ≥ 0
II. Một số phương pháp cơ bản
- Sử dụng định nghĩa
Sử dụng các phép biến đổi tương đương
Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức.
III. Một số ví dụ 
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức 
Giải
 (1)
 (2)
Bất dẳng thức (2) là bất đẳng thức đúng. Mặt khác các phép biến đổi trên tương đương.
Vây bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức đúng xảy ra dấu bằng khi a = b = c
Ví dụ 2: Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a + b = 2 chứng minh rằng 
Giải
Từ 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
Ví dụ 3: Chứng minh với mọi số thực a, b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau:
Giải
 (*)
Bất đẳng thức (*) đúng vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng.
Ví dụ 4: Cho chứng minh rằng 
Giải
	Đặt , , 
	Do nên ta có:
	Dấu bằng xảy ra 
Ví dụ 5: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 4
 Chứng minh rằng:
Giải
	Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: 
 	Ta có: 
	 (nhân 2 vế với x+y)
	Mà 
	Nên 
Bài tập:
Bài tập 1: Cho a, b là hai số dương. Chứng minh:
	a) 
	b) 
Bài tập 2: a) Cho các số dương a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
	 b) Cho a, b là các số không âm. Chứng minh rằng: 	
Bài tập 3: Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b = 1 chứng minh:
	a) b) 
Bài tập 4: Cho a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh: 
Bài tập 5: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 
Chủ đề 4
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Trong hình học có nhiều bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó như độ dài đoạn thẳng, chu vi, diện tích của một hình .... Các bài toán này được gọi là bài toán “cực trị hình học”
2. Đường lối chung để giải bài toán cực trị trong hình học.
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của mọi hình khác.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài.
Cách 2: Thay điều kiện của đại lượng cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối cùng dẫn đến một điều kiện xác định được vị trí các đại lượng hình học để đạt được cực trị.
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: “Tìm một hình nào đó thoả mãn các điều kiện cực trị của bài toán”.
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc, quan hệ đường xiên và hình chiếu
Kiến thức cần nhớ.
Ta có: 
 a. 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 b. 
Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ ()
Xác định vị trí của đểm M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất
Giải
Vẽ 
H cố định và AH không đổi.
Tứ giác AEMD có 
Nên AEMD là hình chữ nhật
Mà 
Vậy DE nhỏ nhất 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A của tam giác hãy dựng đường thẳng d cắt BC sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến d có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Gọi M là giao điểm của d và BC
vẽ (
SMAB + SMAC = SABC
BH + CK nhỏ nhất nhỏ nhất
 lớn nhất
+ Nếu thì 
Vậy BH + CK nhỏ nhất khi 
+ Nếu AC ≤ AB thì AM ≤ AB suy ra BH + CK nhỏ nhất khi 
Dạng 2: Vận dụng các bất đẳng thức trong tam giác và quy tắc điểm
Kiến thức cần nhớ 
1. Tam giác ABC có
2. Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C là một điểm thuộc đoạn AB
* Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điểm M, N thuộc d và khoảng cách MN không đổi. Xác định vị trí hai điểm M, N để tổng độ dài 
S = AM + MN + NB là nhỏ nhất.
Giải:
Dựng hình bình hành BNMB’
 (không đổi)
 ; B’ cố định 
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d ta có AM = A’M ; A’ cố định 
Xét ba điểm A’; M; B’ ta có: 
Do đó S = AM + MN + MB’
 = A’M + MN + MB’
(A’M + MB’) + MN A’B’ + a
(MN = a không đổi)
Vậy: S = AM + MN + NB có giá trị nhỏ nhất khi M thuộc đoạn A’B’ hay M là giao điểm của d và A’B’.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA .(Tứ giác MNPQ gọi là tứ giác nội tiếp hình vuông)
Tìm điều kiện của các điểm M, N, P, Q để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất
Giải
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MQ, MP, NP
 vuông tại A có AE là trung tuyến nên 
Tương tự NP = 2GC
M
ặt khác EF, FG lần lượt là đường trung bình của các tam giác MPQ; MNP nên:
 và
 và 
Do đó chu vi tứ giác MNPQ là P = MN + NP + PQ + MQ
Þ P = 2FG + 2GC + 2EF + 2AE = 2(AE + EF + FG + GC) 2AC (không đổi)Dấu “=” xảy ra A, E, F, G, C thẳng hàng Û MN//AC//PQ và MQ//DB//NP khi đó MNPQ là hình chữ nhật và AM = AQ = CN = CP
Dạng 3: Vận dụng bất đẳng thức đại số 
Kiến thức cần nhớ
Bất đẳng thức Cô-si: Nếu thì ; dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y.
Nếu mà x + y là hằng số thì xy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x = y
- Nếu mà x.y là hằng số thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
- Nếu x > 0; y > 0 thì . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : x = y.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Trong tất cả các tam giác vuông có cùng diện tích S cho trước, chứng minh rằng tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất.
Giải
 Gọi a, b là hai cạnh góc vuông của tam giác ( a, b >0) thì cạnh huyền của tam giác đó là 
Chu vi của tam giác vuông là: 
Diện tích của tam giác vuông là 
Ta có: (Theo bất đẳng thức Cô si)
 hay (1)
 Mặt khác (Theo bất đẳng thức Cô si)
 Þ (2)	
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta được: 
Vậy 
Chu vi tam giác nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi a = b cân
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng BC cố định. A là điểm di động sao cho tam giác ABC nhọn. AA’ là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC.
Xác định vị trí điểm A để tích AA’.HA’ đạt giá trị lớn nhất 
Giải
Xét và có: 
(Cùng phụ với góc C)
Do đó ~ 
Ta có: A'B. A'C = A'B(BC – A'B) = A'B. BC – A'B2
 = 
 = 
 = 
 Vậy (không đổi)
 Dấu “=” xảy ra là trung điểm BC 
A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC
Bài tập
1. Cho tam giác nhọn ABC và điểm M trong tam giác đó. Xác định vị trí của M sao cho MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Cho tam giác đều ABC, M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN. Xác định vị trí của M, N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
3. Cho tam giác nhọn ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c. M là điểm nằm trong tam giác. Đặt MA = x, MB = y, MC = z
Xác định vị trí của điểm M để tổng ax + by + cz đạt giá trị nhỏ nhất 
4. Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF.
Xác định dạng của tam giác ABC để tam giác DEF có diện tích lớn nhất.
5. Trong các tứ giác nội tiếp hình chữ nhật cho trước. Tìm tứ giác có tổng bình phương các cạnh nhỏ nhất.
 Chú ý : Các chủ đề dựng hình bằng thước và com pa, phương pháp diện tích trong chứng minh hình học, giáo viên, học sinh tham khảo tài liệu "Các chủ đề tự chọn lớp 8" của Bộ Giáo dục.