Giáo án Tự chọn Toán 7 học kỳ I

Chủ đề 1 : 	Thống kê – tam giác
A.Thống kê :
I .Thu thập số liệu thống kê, bảng tần số các giá trị của dấu hiệu,Biểu đồ.
I.1	Kiến thức cơ bản.
1.Vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra cần quan tâm tìm hiểu được gọi là dấu hiệu.Dấu hiêụ thường được kí hiệu bằng chữ X , Y 
2. Các số liệu thu thập được khi điều tra về một dấu hiệu gọi là dấu liệu thống kê.Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu .
3.Số tất cả các giá trị (không nhất thiết phải khác nhau ) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.
4.Số lần xuất hiện cuaá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu kà tần số của giá trị đó (kí hiậu là n )
5. Từ bảng thu thập số liậu điều tra ban đầu có thể lập bảng “ tần số “ . Bảng tần số giúp người điều tra dễ có những nhận xét chung về sự phân phối các giá trị của dấu hiệu và tiện lợi cho sự tính toán sau này.
6.Để có hình ảnh rõ ràng về dấu hiệu X người ta dùng các biểu đồ ,Biểu đồ đoạn thẳng , biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt.
II.2 Bài tập
1 Trong giờ ra chơi của lớp 7A tại sân trường, đo chiều cao của 18 em nữ một cách ngẫu nhiên, ta thu được kết quả sau ( đơn vị cm ).
137 140 142 142 147 141 140 144 142
140 139 141 143 138 141 145 142 143
a) Dấu hiệu mà người điều tra quan tâm là gì ? có bao nhiêu giá trị ?
b) Có bao nhiêu giá trị khác nhau trong dãy giá trị của dấu hiệu đó ? 
c) Viết các giá trị khác nhau của dấu hiệu và tần số của chúng ?
2. Tổng số điểm 4 môn thi của các học sinh trong một phòng được cho như sau
32
35
30
30
19
30
22
28
31
30
22
28
30
30
35
22
39
30
31
32
22
35
30
28
a) dấu hiệu ở đây là gì ?số tất cả các giá trị là bao nhiêu ?
b) Lập bảng tần số 
c) từ bảng tần số hãy biểu diễn bằng biểu đồ hình chữ nhật ?
3 . Thống kê mức tiêu thụ điện ở 20 gia đình như sau : ( đơn vị là kw/h )
200
110
180
130
190
140
180
200
150
120
136
136
100
100
95
96
96
100
120
120
a) Tất cả các giá trị của dấu hiệu là bao nhiêu?
b) lập bảng tần số ?
4. Sau cuộc điều tra trình độ văn hoá tại một nhà xuất bản thu được kết quả sau:
30% cán bộ học hết cấp THCS 
20% cán bộ học hết cấp PTTH 
50% cán bộ học hết đại học.
Biết rằng tổng số cán bộ của nhà xuất bản là 100 người.Hãy lập biểu đồ đoạn thẳng và biểu đồ hình quạt từ số liệu điều tra trên.
5. Thống kê số học sinh một số lớp của một trường THCS ta có bảng số liệu sau:
Lớp
6A
6B
6C
6D
7A
7B
7C
7D
Số học sinh
48
48
47
49
50
49
49
50
a) Hãy lập bảng "tần số "với các giá trị của dấu hiệu.
b) Căn cứ vào bảng tần số, vẽ biểu đồ hình chữ nhật.
II Hướng dẫn giải
1. a) Dấu hiệu mà người điều tra quan tâm là:
Chiều cao của học sinh nữ của lớp 7A 
 Có tất cả 18 giá trị.
b) có 10 giá trị khác nhau trong 18 giá trị của dấu hiệu đó.
c) 
137
138
139
140
141
142
143
144
145
147
n
1
1
1
3
3
4
2
1
1
1
2. a) Dấu hiệu là tổng số điểm thi của mỗi học sinh
Có tất cả 24 giá trị.
b) Bảng "tần số"
Điểm số (x)
19
22
28
30
31
32
35
39
Số học sinh (n)
1
4
3
8
2
2
3
1
N = 24
c) Biểu đồ 
3. Có tất cả 20 giá trị của dấu hiệu 
 Có tất cả 12 giá trị khác nhau : 95, 96, 100, 110, 120,130,136,140,150,180,190,200
 Tần số của các giá trị này lần lượt là : 1; 2; 3 ; 1; 3; 1 ; 2; 1 ; 1; 2; 1 ; 2.
4. Số cán bộ học hết cấp THCS là : 
 30% . 100 = 30 (người) 
. Số cán bộ học hết cấp PTTH là : 
 20% . 100 = 20 (người) 
. Số cán bộ học hết đại họclà : 
 50% . 100 = 50 (người) Với số liệu trên ta lập biểu đồ đoạn thẳng:
5.a) Bảng tần số
x
47
48
49
50
n
1
2
3
2
b) Biểu đồ hình chữ nhật
II Số trung bình cộng . Mốt:
A .1. Kiến thức cơ bản
1. Số trung bình cộng của một dấu hiệu (Kí hiệu ) được tính từ bảng tần só theo các bước sau:
Nhân từng giá trị với tần số tương ứng
Cộng các tích vừa tìm được
Chia tổng đó cho số các giá trị (tổng các tần số)
2. Công thức số trung bình cộng
 Giả sử dấu hiệu X có k giá trị là x1 , x2 , x3, ...., xk và k tần số là f1 , f2 , ...., fk thì ta có công thức:
3. ý nghĩa của số trung bình cộng 
 Số trung bình cộng thường được đại diện cho dấu hiệu , đặc biệt là khi muốn so sánh các đơn vị cùng loại .Nếu dấu hiệu có khoảng chênh lệch quá lớn thì khó có thể "đại diện" cho các giá trị của dấu hiệu đó 
4 . Mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng "tần số"
 B.Bài tập. 
1 . Đo chiều cao của 50 em lứa tuổi 14 - 15 ta được các số liệu sau (đơn vị : cm)
x
138
140
142
144
146
148
150
152
n
11
6
9
7
5
5
4
3
N=50
Hãy tín số trung bình cộng của các giá trị của dấu hiệu trên . Tìm mốt của bảng trên.
2 . Theo dõi vận tốc của một đoàn tàu hỏa trong 10 giờ , kết quả như sau : 
Số thứ tự giờ tàu chạy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Quãng đường tàu đi được
55
58
56
60
57
59
60
5
57
58
Từ bảng số liệu trên hãy :
 a) Lập bảng tần số.
 b) Tính vận tốc trung bình của tàu hỏa 
3. Mười đội bóng tham gia giải bóng đá.Mỗi đội đều phải đá lượt đi và lượt về với từng đội khác.
 a) Có tất cả bao nhiêu trận trong toàn giải
b) Số bàn thắng trong các trận đấu của toàn giải được ghi trong bảng sau:
Số bàn thắng(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
Tần số (n)
12
16
20
12
8
6
4
2
N= 20
 Tìm số bàn thắng trung bình trong một trận của cả giải 
 c) Tìm mốt
4 . Cho bảng " tần số" các giá trị của dấu hiệu X 
Giá trị (x)
Tần số(n)
x1
x2
x3
.
.
.
xk
n1
n2
n3
.
.
.
nk
 a) Tính số trung bình cộng 
 b) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu tăng lên 2 lần thì số trung bình cộng thay đổi thế nào?
 c) Nếu mỗi giá trị của dấu hiệu tăng lên 5 đơn vị thì số trung bình cộng thay đổi thế nào?
II Hướng dẫn giải:
 1.
Giá trị (x)
Tần số(n)
Các tích
138
140
142
144
146
148
150
152
11
6
9
7
5
5
4
3
1518
840
1278
1008
730
740
600
456
n = 50
Tổng 7170
 =
Mốt là 138 cm
2. Giải tương tự bài 1 = 57,5(km/h)
3.a) có tất cả 90 trận 
 b) Giải tương tự bài 1 = 3 bàn
 c) Mốt của bảng tần số là 3
4.
a) 
b) Gọi là số trung bình cộng mới 
= 2. = 2. 
Vậy số trung bình cộng mới tăng lên 2 lần 
c) Gọi là số trung bình cộng mới
B Tam giác 
I .Các trường hợp bằng nhau của tam giác 
 I .1. Kiến thức cơ bản:
1.Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: cạnh - cạnh - cạnh (c - c- c)
 Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
2. .Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác : cạnh -góc cạnh (c -g- c)
 Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
3. .Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác : góc- cạnh -góc (g-c-g)
 Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
I. 2. Bài tập
1. Quan sát hình và chọn ra kết quả đúng về 2 tam giác bằng nhau:
 a)SPT và RST 
 b) SPT và 	QPT
 c) RQT vàRST
 d) RQT vàRST
 e) STP và	RTQ
2. Trong các hình dưới đây, hình nào không chứa hai tam giác bằng nhau ?
a) Hình chữ nhật	d) Hình bình hành
b) Hình vuông 	e) Hình thang
c) Hình thoi 
3. CD là đường trung trực của AB , giao điểm của CD và AB là M. Xét 3 mệnh đề
* CAM = CBM
* CMA là một tam giác vuông
* ABC là một tam giác có CA = CB
Hãy chọn mệnh đề đúng
a) Chỉ 1	c) 2 và 3
b) 1 và 2 	d) Cả 3 mệnh đề trên đều đúng.
4. Cho 2 tam giác ABC và ABD có AB = BC = CA = 3 cm; AD = BD = 2 cm (C,D nằm khác phía đối với AB)
Chứng minh rằng 
5. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng .Chứng minh rằng AC // BD 
6. Cho ABC có OA = OB .Tia phân giác góc O cắt AB ở D . Chứng minh rằng
a) DA = DB
b) OD AB
7 Để chứng minh 2 đoạn thẳng (2 góc) bằng nhau ta thường làm thế nào?
I. 3 Hướng dẫn giải
1. Chọn e : STP và RTQ
2 . Chọn e : Hình thang
3 Chọn d : Cả 3 mệnh đề trên.
4. (Hình bên)
CAD và CBD có 
 CD : Cạnh chung
 AC = BC (gt)
 AD = BD (gt)
Do đó CAD = CBD (c.c.c)ị ( cặp góc tương ứng)
5. AOC =BOD ( c-g - c )
 ( Cặp góc có cạnh tương ứng )
Hai đường thẳng AC và BD tạo với AB 
hai góc so le trong bằng nhau 
 nên AC //BD
7) a) trong AOD và BOD 
	OD là cạnh chung
	( OD là tia phân giác góc D )
 	OA = OB ( gt )
	Do đó AOD = BOD ị DA = DB ( cặp góc tương ứng )
b) AOD = BOD câu a ị 	 
Vậy OD ^ AB
8 a) Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau .Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau .Vì vậy để chứng minh hai đoạn thẳng ( hay hai góc bằng nhau ) ta thường làm theo các bước sau :
Bước 1 : Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc ) đó là hai đoạn thẳng (hay hai góc ) thuộc tam giác nào.
Bước 2 : chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3 : suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc ) tương ứng bằng nhau.
II.tam giác cân - định lí py ta go
II.1.Kiến thức cơ bản.
1.Định nghĩa : tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Hai cạnh bằng nhau là hai cạnh bên.
- Cạnh còn lại là cạnh đáy.
Đặc biệt : tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau.
2.Tính chất :
	Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau 
Đặc biệt : Trong tam giác vuông cân ,mỗi góc nhọn bằng 450 
	 Trong tam giác đều mỗi góc bằng 600
3.Dấu hiệu nhận biết.
	Tam giác có 2 góc bằng nhau là tam giác cân.
Đặc biệt : Tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều 
	 Tam giác có hai góc bằng 600 là tam giác đều.
	 Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đêu.
4.Trong 1 tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
	Đảo lại : Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
 	 ABC có Û a2 + b2 = c 2 
II.2 Bài tập .
1. 	a) Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 800 ,bằng a0.
	b) Tính góc đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng 500 , bằng a 0 .
2.	Tính các góc còn lại của một tam giác cân biết biết tam giác cân này có một góc bằng 
	a) 1100
	b) a0 
3.	Cho ABC vuông tại A ,trên cạnh BC lấy 2 điểm M và N sao cho BM = BA ; CN = CA .Tính ?
4. 	Một cây tre cao 9 m ,bị gãy ngang thân ,ngọn cây chạm đát cách gốc 3m .Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu ?
5. Tìm số đo các góc của tam giác ACD trên hình bên 
6. Tính đường chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 10dm ; chiều rộng 5 dm .
II.3 : Hướng dẫn giải:
1 . a) Đáp số : 
 b) Đáp số : 1800 - 50 0.2 = 800 ; 1800 - a0. 2 
2.a) Góc 1100 không thể là góc ở đáy của tam giác cân vì nếu vậy thì tổng 2 góc lớn hơn 1800 . Vậy góc 1100 là góc ở đỉnh ị mỗi góc ở đáy = 350
b) Nếu 900 ≤ a <1800 thì góc ở đỉnh là a , mỗi góc ở đáy là (1800 - a) : 2
 Nếu a< 900	thì 
Góc ở đỉnh có thể là aị mỗi góc ở đáy là (1800 - a) : 2 
Góc ở đáy có thể là aị góc ở đỉnh là (1800 -2. a) 
3. Góc MAN = 450
4. Điểm gẫy cách gốc 4 m 
5 . ...  + 1
	g(x) = x5 - 2x3 + x2 - 5x + 3
	h(x) = 4x3 - 3x2 +0 2x - 5
8.Cho đa thức 	f(x) = x2 - 4x - 5
a) Tìm các giá trị của f(x) tại x = 1 ; x= 2 ; x = -5 ; x = -1 .
b)Cho biết một nghiệm của đa thức.
9 Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a) 2x + 6 	b) 4x - 0.5 	c) 	x2 - x 
10. Cho đa thức f(x) = x2 + ax + b Xác định a và b biết rằng đa thức f(x) có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = 3.
11. Chứng tỏ rằng đa thức f(x) = x2 + 2x + 2 không có nghiệm 
12.Đố em tìm được số mà 
a) Bình phương của nó bằng chính nó.
b) Lập phương của nó bằng chính nó .
V.3 Hướng dẫn giải:
3. Đẳng thức đúng là P+ Q = 0
4 . Kết quả phù hợp là b)
5. a) 5 - x - x2 + x3 - 4x4 +2x7
b) 1 -1/2 x - 2x2 - 3x4 - 4x5
6. a) f(x) + g(x) = 6 + 2x - 2x2 - x3 + 4x4 
 b)f(x) - g(x) = 4 - 4x2 + x3 
7. f(x) + g(x) - h(x) = 9 -9 x + 5x2 - 4x3 - 3x4 +2x5
8. a) f(1) = -8 ; f( -1 ) = 0 ; f(2) =-9 ;f(-5) = 40
b) Một nghiệm của đa thức là x = -1
9. a) x = -3 ; b) x = 1/8 ;c) x1 = 0 ; x2 = 1
10. a = -5 ; b= 6
11.đa thức x2 + 2x + 2 không có nghiệm.
12.a) Gọi x là số cần tìm ịx = 0 hoặc x = 1;
b) Có 3 số thõa mãn là 0 ; 1 ; -1.
Chủ đề 3 : Quan hệ giữa các yếu tố trong tam 	giác , các đường đồng qui trong tam giác
I.Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác 
I.1,Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác 
	Trong một tam giác : Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
	 - Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong hình 22
2.Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên .đường xiên và hình chiếu.
- Nếu AH và Bh lần lượt là đường vuông góc , đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng a thì AH < AB
- Nếu AB , AC là hai đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng a ,HB và HC lần lượt là hai hình chiếu của Ab và AC thì AB > AC Û HB > HC ; AB = AC Û HB = HC 
3.Quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ,bất đẳng thức tam giác .
Trong một tam giác , độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại.
	Trong hình : b - c < a < b + c 
I.2.Bài tập :
1. Cho tam giác ABC vuông ở A ,Biết góc C < 450.
Hãy so sánh ba cạnh của tam giác đó .
2.Cho tam giác ABC có góc A bằng 800 , góc C = 400
a) Hãy so sánh các cạnh của tam giác .
b) Trên tia đối tia CB lấy điểm D .Chứng minh rằng : AD > AC.
3.Cho tam giác ABC vuông ở A,tia phân giác của góc C cắt cạnh AB ở D .So sánh độ dài các đoạn thẳng AD và BD.
4.Cho tam giác ABC .Biết AB : AC : BC = 4: 5 :6 và chu vi tam giác bằng 32 cm .So sánh độ lớn các góc của tam giác ?
5.Cho tam giác ABC , Trung tuyến AM .Biết hãy so sánh góc B và góc C.
6 . Cho góc xOy = 450 .Trên tia đối của tia Oy lấy hai điểm A và B sao cho AB = . Tính độ dài hình chiếu của đoạn thẳng AB trên Ox.
7. Cho tam giác ABC vuông ở A .Trên tia đối của tia CA lấy theo thứ tự hai điểm D và E .So sánh độ dài các đoạn thẳng AB , BC ,BD , BE .
8.. Cho tam giác ABC vuông ở A .Gọi E là điểm nằm giữa A và B .Gọi F là điểm nằm giữa Avaf C .
	Chứng minh rằng : EF < BF < BC.
9. .. Cho tam giác ABC vuông ở C .Kẻ CH ^ AB .Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC , CN = CH .Chứng minh 
a) MN ^ AC
b) AC + BC < AB + CH
10. Có thể có tam giác nào mà độ dài 3 cạnh như sau không ?
a) 6 cm 	; 7 cm ; 11 cm 
b) 5,1 cm ; 3,3 cm 	; 8,4 cm 
11. Tính chu vi một tam giác cân có hai cạnh là 5 cm và 10 cm 
12. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác .
Chứng minh rằng :AM + MB < AC + BC.
13 .Chu vi tam giác cân là 21 cm .Biết một cạnh dài 4 cm , Cạnh đó là cạnh bên hay cạnh đáy .
14.Tam giác ABC có AB > AC , phân giác AD .Lấy điểm M thuộc AD ( M không trùng A ) chứng minh AB - AC > MB - MC .
I.3 . Hướng dẫn giải:
1.tam giác ABC có góc A = 900 
nên 
2.Hình 
Vậy 
b) Trong tam giác ACD thì là
Góc lớn nhất nên AD > AC .
3. CD là phân giác góc C ị Kẻ DE ^CB
Ta có ( Cạnh huyền - Góc nhọn )
ị AD = DE.
Trong 	
4.Ta có AB:AC : BC = 4 : 5 : 6 ị
	Vậy AB = 8 cm 	; AC = 10cm  	; BC = 12 cm 
Do đó AB < AC < BC suy ra 
5. 
6. Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AB trên Ox laf1 
7. Ta có AB < BC 
( đường vuông góc ngắn hơn đường xiên ) (1)
Vì AC < AD < AE nên BC < BD < BE
 ( Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn,) ( 2) 
Từ (1) và (2 ) ị AB < BC < BD < BE
8. Vận dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu ta có :
Vì AE < AB nên FE < FB (1)
Vì AF < AC nên BF < BC (2) 
Từ (1) và (2) ị EF < BF < BC . 
9.Tam giác BMC cân tại B vì có BM = BC (gt)
Nên 
Ta có : 
Do đó 
Vậy MN ^AC
10.
a) Có tam giác mà 3 cạnh là 6cm ; 7 cm ; 11 cm vì mỗi cạnh đều nhỏ hơn hai cạnh kia.
b) Không có tam giác nào mà 3 cạnh là 5,1 cm ; 3,3 cm ; và 8,4 cm .
Vì 8,4 cm = 5,1 cm + 3, 3 cm .
11. Cạnh 5 cm là cạnh đáy ; hai cạnh bên của tam giác là 10cm chu vi của tam giác là : 5 + 10 + 10 = 25 cm .
12. Gọi giao điểm tia AM với BC là N 
áp dụng bất đẳng thức tam giác với
 hai tam giác ANC và BMN
Ta lần lượt có : 
AN < AC + NC (1) 
BM < BN + MN ( 2) 
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta được :
AN + BM + MN < AC + BC + MN 
Do đó AM +BM < AC + BC 
13. Cạnh 4cm là cạnh đáy .
14 .Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AC = AE
Vậy BE = AB - AE = AB - AC
Xét 
Vậy AB - AC > BM - MC
II. Các đường đồng quy trong tam giác 
II,1.Kiến thức cơ bản.
1.Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác .
Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm ( điểm này gọi là trọng tâm của tam giác )
	Trọng tâm cách mối đỉnh một khoảng bằng độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy .
	Trong tam giác ABC các trung tuyến AD , BE < CF đồng quy tại điểm G và ta có .Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC
2.Tính chất tia phân giác của một góc .Tính chất ba phân giác của một tam giác 
+ Điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc.
+ Đảo lại : Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó 
+ Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm .Điểm này cách đều ba cạnh cuat tam giác đó
3.Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Tính chất ba đường trung trực của một tam giác .
+ Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì 
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó .
+ Đảo lại , điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng
 thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó .
+ Ba đường trung trực của một tam giác đồng qui tại một điểm .Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác .
4.Tính chất ba đường cao của tam giác .
+ Ba đường cao của một tam giác đồng qui tại một điểm .Điểm này gọi là trực tâm của tam giác 
* Trong tam giác cân đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao , đường phân giác , đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác đó .
 * Trong tam giác đều , các điểm ,trọng tâm , Trực tâm , điểm cách đều ba đỉnh , điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
* Trong một tam giác ,nếu hai trong bốn loại đường ,.... đường trung tuyến ,đường phân giác, đường trung trực , đường cao trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
II.2 Bài tập .
1.Chứng minh rằng trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông của một tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền .
2. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai hai trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
3.Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC .Chứng minh rằng GA = GB = GC 
4.Cho tam giác ABC ,ba trung tuyến AD , BE . CF đồng qui tại G .
a) So sánh diện tích tam giác ABG và tam giác ABD
b) So sánh diện tích của hai tam giác ABD và tam giác ABC 
c) Chứng minh rằng các tam giác GAB , GAC , GBC có diện tích bằng nhau ?
5. Cho tam giác ABC cân tại A , D là trung điểm của BC .GọI E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC .Chứng minh rằng DE = DF
6) Cho tam giác ABC có góc A = 700 , Các đường phân giác DB ,CE cắt nhau tại I .Tính 
7) Cho tam giác ABC cân ở A .Gọi G là trọng tâm của tam giác ,gọi I là giao điểm các phân giá của tam giác ,gọi K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại B và C .Chứng minh rằng bốn điểm A , G , I , K thẳng hàng.
8) Tia phân giác góc A của tam giác ABC cắt cạnh BC ở D . đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt AC ở M.Tính ,biết .
9) Cho tam giác cân ABC có góc A = 360 ,Đường trung trực của AB cắt Ac ở D , Chứng minh BD là tia phân giác của tam giác ABC 
10) Cho tam giác cân ABC ở A ,Trung tuyến Am .Gọi I là điểm nằm giữa A và M .Chứng minh rằng tam giác AIB bằng tam giác AIC và tam giác IBM bằng tam giác ICM.
11) Chứng minh rằng nếu một tam giác có một trung tuyến đồng thời là trung trực thì tam giác đó là tam giác đó là tam giác cân .
12 )Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 và AB < AC .Đường trung trực của cạnh BC cắt AC ở M. Biết BM là tia phân giác của góc ABC .Tính góc ACB ?
13) Cho tam giác ABC cân tại A , Đường trung tuyến AM . Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM . chứng minh rằng d song song với BC .
14) Cho tam giác nhọn ABC có góc B = 450 .Hai đường cao AD và CE cắt nhau ở I .
a) chứng minh BI ^ AC .
b) tính 
15) Tam giác ABC có AB = AC = 17 cm ; BC = 16 cm .Tính độ dài trung tuyến Am .
II.3.Hướng dẫn giải .
1) Xét tam giác vuông có ,Trung tuyến AM .Trên tia đối của tia Am lấy điểm N sao cho MN = MA.
TA có MB = MC (gt) , ( đối đỉnh) 
Vậy 
	nên BN // AC ,
Do đó 
( hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song )
 mà vì thế 
BN = AC ( cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
suy ra 
Do đó AN = BC mà AM = AN : 2 ,Vì vậy AM = BC: 2
2 .Giả sử BM cắt CN tại G
Có GM = GN 	
 (c.g.c)ị BN = BM 
mà BN = 1/2 AB ; CM= 1/2 AC ị AB = AC
ị Tam giác ABC cân tại A.
3.
Các tia AG , BG , CG lần lượt cắt các cạnh tại 
D , E , F.
TA có BE = CF = AD do
Vì G là trọng tâm tam giác ABC
CG = 2/3 CF ; BG = 2/3 BE ; AG = 2/3 AD
Vậy CG = BG = AG
4. a)SABG = 2/3 SABD
 b) S ABD = 1/2 S ABC	
 c) SABG = SACG = S BCG.
5 .Xét 2 tam giác vuông BED và CFD có 
BD = CD (gt) (vì tam giác ABC cân tại A) 
ị (cạnh huyền - góc nhọn)
ịDE = DF
6. 
7.G là trọng tâm tam giác cân ABC nên G thuộc trung tuyến AM (1) . Trong tam giac cân , phân giác của góc ở đỉnh cũng là trung tuyến nên I thuộc trung tuyến AM (2)
Từ (1) và (2) ị A, G ,I thẳng hàng .3)
Theo đề bài AI là phân giác góc A .AK cũng là phân giác góc A nên 3 điểm A , I ,K thẳng hàng(4)
Từ (3) và (4) ị bốn điểm A , G , I , K thẳng hàng.
8.
10. Tam giác cân ở A có AM là trung tuyến kẻ từ
đỉnh A nên cũng là phân giác góc A 
Do đó 	
11.Xét tam giác ABC có trung tuyến AM 
đồng thời là trung trực 
Ta có 
ị AB = AC 
ịtam giác ABC cân ở A
12 . 
13. Tam giác ABC cân tại A 
AM là đường trung tuyến nên
AM là đường cao .
Do đó AM BC (1)
Lại có d AM (2)
Từ (1)và(2) ị BC// d 	
14. Cm: I là trực tâm của tam giác ABC nên 
15. AM = 15 (cm)