Giáo án Tự chọn Toán Lớp 7 - Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác

Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong 
tam giác 
Tiết 21 - 24: Quan hệ góc và cạnh đối diện trong một 
tam giác.
A. Mục tiêu:
- Nắm vững nội dung hai định lý, vận dụng được chúng trong những tình huống cần thiết, hiểu được phép chứng minh của định lí 1.
- Biết vẽ hình đúng yêu cầu và dự đoán nhận xét các tính chất qua hình vẽ.
- Biết diễn đạt một định lí thành một bài toán với hình vẽ, giả thiết và kết luận.
B. Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài.
C. Bài tập
Bài 1: 
a. So sánh các góc của tam giác PQR biết rằng PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm
b. So sánh các cạnh của tam giác HIK biết rằng H = 750; K = 350
Giải:
a. Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP 	 P
 cân tại Q R = P
 QR > PR P > Q 	 7	 5
(quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
vậy R = P > Q	 Q	 R
b. I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700
H > I > K IK > HK > HI (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)
Tiết 21:
Bài 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng AB + AC > BC
Giải:
Trên tia đới của tia AB lấy điểm D	 D
 sao cho AD = AC
Ta có: AD = AC cân đỉnh D	
	ADC = ACD (1)	 A
Tia CA nằm giữa hai tia CB và CD
Do đó: BCD > ACD (2)
Từ (1) và (2) ta có: BCD > ADC	 B	 C
Xét tam giác DBC có BCD > BDC 	 
suy ra DB > BC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (3)
mà DB = AB + AD = AB + AC (4)
Từ (3) và (4) ta có: AB + AC > BC
Bài 3: Cho tam giác ABC, A = 900. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD BD	B
Giải:
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD
Ta có: AE < AC (Vì AD < AC)
Nên E nằm giữa A và C
Mà BA DE và DA = AE 	 D	 A	 E	 C
	 cân đỉnh B
	 BDE = BEA
Ta có: BEA > BCE (BEA là góc ngoài của tam giác BEC)
Do đó: BDC > BCD
Xét tam giác BDC có: BDC > BCD
Suy ra: BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. So sánh BAM và MAC	 A
Giải:
Vẽ tia đối của tia MA và trên đó 
lấy điểm D sao cho MD = MA
Xét tam giác MAB và tam giác MDC có: B	 M	 C
 MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh)
 MB = MC (M là TĐ của cạnh BC)
Do đó: (c.g.c)	 D
 Suy ra: AB = CD; BAM = MDC
 Ta có: AB = CD; AB < AC CD < CA
Xét tam giác ADC có: CD < AC MAC < MDC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
 Mà MAC < MDC và BAM = MDC
 Suy ra: MAC < BAM
Tiết 22:
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông ở A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC.	 B
Giải:	 
Kẻ DH BC	 	 H	
 (cạnh huyền - góc nhọn)	 A 	 D C	AD = DH	
	vuông tại H DH < DC	 
	(cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
suy ra: AD < DC
Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Giải:
Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300
Cần chứng minh: AC = BC	 B
Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA
Tam giác ACD còn có: C = 600, AD = AC = CD	 D
Tam giác ABD có B = 300; A2 = 300
nên là tam giác đều
suy ra AD = BE. Do đó: AC = BC	 A	 C
Bài 7: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400
a. So sánh các cạnh của tam giác ABC
A. AB < BC < AC	C. AB < AC < BC
B. BC < AC < AB	D. AC < AB < BC
b. Trên tia đối của yia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC. So sánh độ dài các đoạn CD; CB; CE
A. CE < CB < CD	C. CD < CE < CB
B. CB < CE < CD	D. CD < CB < CE 
Giải: a. Chọn D
Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55
Khi đó nhận thấy rằng B < C < A Ac < AB < BC
b. Chọn D
Bài 8: Cho tam giác ABC tia phân giác của góc D cắt AC tại D. So sánh độ dài của AB và BC, biết BDC tù.
Giải:
Để so sánh độ dài của AB và BC ta cần đi so sánh hai góc C và A.
Theo giả thiết ta có: BDC tù
D1 > 900 2D1 > 1800
Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1)	 B
Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2)
Công theo vế (1) và (2) ta được:
 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800
	 A - C = 2D1 - 1800 > 0
	A > C BC > AB	 A	 D	 C
Tiết 23:
Bài 9: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm D sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trùng trực của AC.
a. Khẳng định OB = OC là đúng hay sai?
A. Đúng	B. Sai
b. Tính số đo góc BOC
A. 600;	B. 900;	C. 1200;	D. 1500
Giải: a. Chọn A
Vì OA = OB (vì Ox là đường trung trực của AB)
OA = OC (vì Oy là đường trung trực của AC)
Do đó: OB = OC
b. Chọn C vì tam giác OAB cân ở O nên O1 = O2
 Tam giác OAC cân ở O nên O3 = O4
 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3)
 = 2(xOy) = 2. 600 = 1200
Vậy ta có: BOC = 1200
Bài 10: 
a. Cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và
 BC > B1C1. So sánh số đo của hai góc A và A1
Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 và BC > B1C1
 Thì A > A1 (quan hệ giữa các cạnh đối diện trong tam giác)
b. Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có AB = A1B1. AC = A1C1 và A > A1. Chứng minh rằng BC > B1C1
Giải: Xét tam giác ABC và tam giác A1B1C1
 Có AB = A1B1; AC = A1C1 và A > A1 (gt)
 Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong 1 tam giác)
Bài 11: Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Lấy điểm M bất kì trên tia đối của tia MA. So sánh độ dài CD và BD.	 A
Giải:	 
Ta lần lượt nhận thấy
Với hai tam giác ABM và ACM có:
 MB = MC (vì M là trung điểm BC)	M
 AM chung; AB < AC	B	 	 C
 Do đó: M1 < M2 M3 < M4
Với hai tam giác BDM và CDM có
 MB = MC (M là trung điểm của BC)	 D
 DM chung; M3 < M4
 Do đó: CD < BD
Bài 12: Cho tam giác ABC với BC > AB. Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Chứng minh CD > DA
Giải:
Lấy K trên cạnh BC sao cho BK = BA.
 Có và 	 B
 Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD là
 tia phân giác ABC)
 BK = BA (theo cách lấy điểm K)	 K
Vậy = (c.g.c)
Suy ra: D1 = D2; DK = DA
 Mặt khác: CKD là góc ngoài tam 	 A	 D	 C
 giác KDB nên CKD > D1 (1)
 D2 là góc ngoài tam giác DBC nên D2 > BCD (2)
Vì D1 = D2 ; từ (1) và (2) suy ra CKD > BCD
Trong tam giác KCD vì K > C nên CD > DK hay CD > DA