Giáo trình Toán rời rạc - Chương I: Thuật toán

CHƯƠNG I:
THUẬT TOÁN
1.1. KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN.
1.1.1. Mở đầu:
Có nhiều lớp bài toán tổng quát xuất hiện trong toán học rời rạc. Chẳng hạn, cho một dãy các số nguyên, tìm số lớn nhất; cho một tập hợp, liệt kê các tập con của nó; cho tập hợp các số nguyên, xếp chúng theo thứ tự tăng dần; cho một mạng, tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của nó. Khi được giao cho một bài toán như vậy thì việc đầu tiên phải làm là xây dựng một mô hình dịch bài toán đó thành ngữ cảnh toán học. Các cấu trúc rời rạc được dùng trong các mô hình này là tập hợp, dãy, hàm, hoán vị, quan hệ, cùng với các cấu trúc khác như đồ thị, cây, mạng - những khái niệm sẽ được nghiên cứu ở các chương sau.
	Lập được một mô hình toán học thích hợp chỉ là một phần của quá trình giải. Để hoàn tất quá trình giải, còn cần phải có một phương pháp dùng mô hình để giải bài toán tổng quát. Nói một cách lý tưởng, cái được đòi hỏi là một thủ tục, đó là dãy các bước dẫn tới đáp số mong muốn. Một dãy các bước như vậy, được gọi là một thuật toán.
	Khi thiết kế và cài đặt một phần mềm tin học cho một vấn đề nào đó, ta cần phải đưa ra phương pháp giải quyết mà thực chất đó là thuật toán giải quyết vấn đề này. Rõ ràng rằng, nếu không tìm được một phương pháp giải quyết thì không thể lập trình được. Chính vì thế, thuật toán là khái niệm nền tảng của hầu hết các lĩnh vực của tin học.
1.1.2. Định nghĩa: Thuật toán là một bảng liệt kê các chỉ dẫn (hay quy tắc) cần thực hiện theo từng bước xác định nhằm giải một bài toán đã cho.
	Thuật ngữ “Algorithm” (thuật toán) là xuất phát từ tên nhà toán học Ả Rập Al-Khowarizmi. Ban đầu, từ algorism được dùng để chỉ các quy tắc thực hiện các phép tính số học trên các số thập phân. Sau đó, algorism chuyển thành algorithm vào thế kỷ 19. Với sự quan tâm ngày càng tăng đối với các máy tính, khái niệm thuật toán đã được cho một ý nghĩa chung hơn, bao hàm cả các thủ tục xác định để giải các bài toán, chứ không phải chỉ là thủ tục để thực hiện các phép tính số học.
	Có nhiều cách trình bày thuật toán: dùng ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ lưu đồ (sơ đồ khối), ngôn ngữ lập trình. Tuy nhiên, một khi dùng ngôn ngữ lập trình thì chỉ những lệnh được phép trong ngôn ngữ đó mới có thể dùng được và điều này thường làm cho sự mô tả các thuật toán trở nên rối rắm và khó hiểu. Hơn nữa, vì nhiều ngôn ngữ lập trình đều được dùng rộng rãi, nên chọn một ngôn ngữ đặc biệt nào đó là điều người ta không muốn. Vì vậy ở đây các thuật toán ngoài việc được trình bày bằng ngôn ngữ tự nhiên cùng với những ký hiệu toán học quen thuộc còn dùng một dạng giả mã để mô tả thuật toán. Giả mã tạo ra bước trung gian giữa sự mô tả một thuật toán bằng ngôn ngữ thông thường và sự thực hiện thuật toán đó trong ngôn ngữ lập trình. Các bước của thuật toán được chỉ rõ bằng cách dùng các lệnh giống như trong các ngôn ngữ lập trình.
Thí dụ 1: Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn các số nguyên.
a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:
	1. Đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số nguyên đầu tiên trong dãy. (Cực đại tạm thời sẽ là số nguyên lớn nhất đã được kiểm tra ở một giai đoạn nào đó của thủ tục.)
	2. So sánh số nguyên tiếp sau với giá trị cực đại tạm thời, nếu nó lớn hơn giá trị cực đại tạm thời thì đặt cực đại tạm thời bằng số nguyên đó.
	3. Lặp lại bước trước nếu còn các số nguyên trong dãy.
	4. Dừng khi không còn số nguyên nào nữa trong dãy. Cực đại tạm thời ở điểm này chính là số nguyên lớn nhất của dãy.
b) Dùng đoạn giả mã:
procedure max (a1, a2, ..., an: integers)
max:= a1
for i:= 2 to n
	if max <ai then max:= ai
{max là phần tử lớn nhất}
	Thuật toán này trước hết gán số hạng đầu tiên a1 của dãy cho biến max. Vòng lặp “for” được dùng để kiểm tra lần lượt các số hạng của dãy. Nếu một số hạng lớn hơn giá trị hiện thời của max thì nó được gán làm giá trị mới của max.
1.1.3. Các đặc trưng của thuật toán:
-- Đầu vào (Input): Một thuật toán có các giá trị đầu vào từ một tập đã được chỉ rõ.
-- Đầu ra (Output): Từ mỗi tập các giá trị đầu vào, thuật toán sẽ tạo ra các giá trị đầu ra. Các giá trị đầu ra chính là nghiệm của bài toán.
-- Tính dừng: Sau một số hữu hạn bước thuật toán phải dừng.
-- Tính xác định: Ở mỗi bước, các bước thao tác phải hết sức rõ ràng, không gây nên sự nhập nhằng. Nói rõ hơn, trong cùng một điều kiện hai bộ xử lý cùng thực hiện một bước của thuật toán phải cho những kết quả như nhau.
-- Tính hiệu quả: Trước hết thuật toán cần đúng đắn, nghĩa là sau khi đưa dữ liệu vào thuật toán hoạt động và đưa ra kết quả như ý muốn.
-- Tính phổ dụng: Thuật toán có thể giải bất kỳ một bài toán nào trong lớp các bài toán. Cụ thể là thuật toán có thể có các đầu vào là các bộ dữ liệu khác nhau trong một miền xác định.
1.2. THUẬT TOÁN TÌM KIẾM.
1.2.1. Bài toán tìm kiếm: Bài toán xác định vị trí của một phần tử trong một bảng liệt kê sắp thứ tự thường gặp trong nhiều trường hợp khác nhau. Chẳng hạn chương trình kiểm tra chính tả của các từ, tìm kiếm các từ này trong một cuốn từ điển, mà từ điển chẳng qua cũng là một bảng liệt kê sắp thứ tự của các từ. Các bài toán thuộc loại này được gọi là các bài toán tìm kiếm.
	Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của phần tử x trong một bảng liệt kê các phần tử phân biệt a1, a2, ..., an hoặc xác định rằng nó không có mặt trong bảng liệt kê đó. Lời giải của bài toán trên là vị trí của số hạng của bảng liệt kê có giá trị bằng x (tức là i sẽ là nghiệm nếu x=ai và là 0 nếu x không có mặt trong bảng liệt kê).
1.2.2. Thuật toán tìm kiếm tuyến tính: Tìm kiếm tuyến tính hay tìm kiếm tuần tự là bắt đầu bằng việc so sánh x với a1; khi x=a1, nghiệm là vị trí a1, tức là 1; khi x¹a1, so sánh x với a2. Nếu x=a2, nghiệm là vị trí của a2, tức là 2. Khi x¹a2, so sánh x với a3. Tiếp tục quá trình này bằng cách tuần tự so sánh x với mỗi số hạng của bảng liệt kê cho tới khi tìm được số hạng bằng x, khi đó nghiệm là vị trí của số hạng đó. Nếu toàn bảng liệt kê đã được kiểm tra mà không xác định được vị trí của x, thì nghiệm là 0. Giả mã đối với thuật toán tìm kiếm tuyến tính được cho dưới đây:
procedure tìm kiếm tuyến tính (x: integer, a1,a2,...,an: integers phân biệt)
	i := 1
	while (i £ n and x ¹ ai)
	i := i + 1
	if i £ n then location := i
	else location := 0
{location là chỉ số dưới của số hạng bằng x hoặc là 0 nếu không tìm được x}
1.2.3. Thuật toán tìm kiếm nhị phân: Thuật toán này có thể được dùng khi bảng liệt kê có các số hạng được sắp theo thứ tự tăng dần. Chẳng hạn, nếu các số hạng là các số thì chúng được sắp từ số nhỏ nhất đến số lớn nhất hoặc nếu chúng là các từ hay xâu ký tự thì chúng được sắp theo thứ tự từ điển. Thuật toán thứ hai này gọi là thuật toán tìm kiếm nhị phân. Nó được tiến hành bằng cách so sánh phần tử cần xác định vị trí với số hạng ở giữa bảng liệt kê. Sau đó bảng này được tách làm hai bảng kê con nhỏ hơn có kích thước như nhau, hoặc một trong hai bảng con ít hơn bảng con kia một số hạng. Sự tìm kiếm tiếp tục bằng cách hạn chế tìm kiếm ở một bảng kê con thích hợp dựa trên việc so sánh phần tử cần xác định vị trí với số hạng giữa bảng kê. Ta sẽ thấy rằng thuật toán tìm kiếm nhị phân hiệu quả hơn nhiều so với thuật toán tìm kiếm tuyến tính.
Thí dụ 2. Để tìm số 19 trong bảng liệt kê 1,2,3,5,6,7,8,10,12,13,15,16,18,19,20,22 ta tách bảng liệt kê gồm 16 số hạng này thành hai bảng liệt kê nhỏ hơn, mỗi bảng có 8 số hạng, cụ thể là: 1,2,3,5,6,7,8,10 và 12,13,15,16,18,19,20,22. Sau đó ta so sánh 19 với số hạng cuối cùng của bảng con thứ nhất. Vì 10<19, việc tìm kiếm 19 chỉ giới hạn trong bảng liệt kê con thứ 2 từ số hạng thứ 9 đến 16 trong bảng liệt kê ban đầu. Tiếp theo, ta lại tách bảng liệt kê con gồm 8 số hạng này làm hai bảng con, mỗi bảng có 4 số hạng, cụ thể là 12,13,15,16 và 18,19,20,22. Vì 16<19, việc tìm kiếm lại được giới hạn chỉ trong bảng con thứ 2, từ số hạng thứ 13 đến 16 của bảng liệt kê ban đầu. Bảng liệt kê thứ 2 này lại được tách làm hai, cụ thể là: 18,19 và 20,22. Vì 19 không lớn hơn số hạng lớn nhất của bảng con thứ nhất nên việc tìm kiếm giới hạn chỉ ở bảng con thứ nhất gồm các số 18,19, là số hạng thứ 13 và 14 của bảng ban đầu. Tiếp theo bảng con chứa hai số hạng này lại được tách làm hai, mỗi bảng có một số hạng 18 và 19. Vì 18<19, sự tìm kiếm giới hạn chỉ trong bảng con thứ 2, bảng liệt kê chỉ chứa số hạng thứ 14 của bảng liệt kê ban đầu, số hạng đó là số 19. Bây giờ sự tìm kiếm đã thu hẹp về chỉ còn một số hạng, so sánh tiếp cho thấy19 là số hạng thứ 14 của bảng liệt kê ban đầu.
	Bây giờ ta có thể chỉ rõ các bước trong thuật toán tìm kiếm nhị phân.
	Để tìm số nguyên x trong bảng liệt kê a1,a2,...,an với a1 am, việc tìm kiếm x giới hạn ở nửa thứ hai của dãy, gồm am+1,am+2,...,an. Nếu x không lớn hơn am, thì sự tìm kiếm giới hạn trong nửa đầu của dãy gồm a1,a2,...,am.
	Bây giờ sự tìm kiếm chỉ giới hạn trong bảng liệt kê có không hơn [n/2] phần tử. Dùng chính thủ tục này, so sánh x với số hạng ở giữa của bảng liệt kê được hạn chế. Sau đó lại hạn chế việc tìm kiếm ở nửa thứ nhất hoặc nửa thứ hai của bảng liệt kê. Lặp lại quá trình này cho tới khi nhận được một bảng liệt kê chỉ có một số hạng. Sau đó, chỉ còn xác định số hạng này có phải là x hay không. Giả mã cho thuật toán tìm kiếm nhị phân được cho dưới đây:
procedure tìm kiếm nhị phân (x: integer, a1,a2,...,an: integers tăng dần)
	i := 1 {i là điểm mút trái của khoảng tìm kiếm}
	j := n {j là điểm mút phải của khoảng tìm kiếm}
	while i < j
	begin 
	m:= [(i+j)/2]
if x>am then i:=m+1
	else j := m
	end
	if x = ai then location := i
	else location := 0
{location là chỉ số dưới của số hạng bằng x hoặc 0 nếu không tìm thấy x}
1.3. ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN.
1.3.1. Khái niệm về độ phức tạp của một thuật toán:
Thước đo hiệu quả của một thuật toán là thời gian mà máy tính sử dụng để giải bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có một kích thước xác định. Một thước đo thứ hai là dung lượng bộ nhớ đòi hỏi để thực hiện thuật toán khi các giá trị đầu vào có kích thước xác định. Các vấn đề như thế liên quan đến độ phức tạp tính toán của một thuật toán. Sự phân tích thời gian cần thiết để giải một bài toán có kích thước đặc biệt nào đó liên quan đến độ phức tạp thời gian của thuật toán. Sự phân tích bộ nhớ cần thiết của máy tính liên quan đến độ phức tạp không gian của thuật toán. Vệc xem xét độ phức tạp thời gian và không gian của một thuật toán là một vấn đề rất thiết yếu khi các thuật toán được thực hiện. Biết một thuật toán sẽ đưa ra đáp số trong một micro giây, trong một phút hoặc trong một tỉ năm, hiển nhiên là hết sức quan trọng. Tương tự như vậy, dung lượng bộ nhớ đòi hỏi phải là khả dụng để giải m ...  và khi cần phải cộng cả số nhớ nữa. Cộng một cặp bit và số nhớ đòi ba hoặc ít hơn phép cộng các bit. Như vậy, tổng số các phép cộng bit được sử dụng nhỏ hơn ba lần số bit trong khai triển nhị phân. Do đó, độ phức tạp của thuật toán này là O(n).
2) Phép nhân: Xét bài toán nhân hai số nguyên viết ở dạng nhị phân. Thuật toán thông thường tiến hành như sau. Dùng luật phân phối, ta có:
ab = a= .
Ta có thể tính ab bằng cách dùng phương trình trên. Trước hết, ta thấy rằng abj=a nếu bj=1 và abj=0 nếu bj=0. Mỗi lần ta nhân một số hạng với 2 là ta dịch khai triển nhị phân của nó một chỗ về phía trái bằng cách thêm một số không vào cuối khai triển nhị phân của nó. Do đó, ta có thể nhận được (abj)2j bằng cách dịch khai triển nhị phân của abj đi j chỗ về phía trái, tức là thêm j số không vào cuối khai triển nhị phân của nó. Cuối cùng, ta sẽ nhận được tích ab bằng cách cộng n số nguyên abj.2j với j=0, 1, ..., n-1.
Thí dụ 9: Tìm tích của a = (110)2 và b = (101)2.
	Ta có ab0.20 = (110)2.1.20 = (110)2, ab1.21 = (110)2.0.21 = (0000)2, ab2.22 = (110)2.1.22 = (11000)2. Để tìm tích, hãy cộng (110)2, (0000)2 và (11000)2. Từ đó ta có ab= (11110)2.
Thủ tục trên được mô tả bằng đoạn giả mã sau:
procedure nhân (a,b: positive integers)
	for j := 0 to n-1
	begin
	if bj = 1 then cj := a được dịch đi j chỗ
	else cj := 0
	end
{c0, c1,..., cn-1 là các tích riêng phần}
	p := 0
	for j := 0 to n-1
	p := p + cj
{p là giá trị của tích ab}
	Thuật toán trên tính tích của hai số nguyên a và b bằng cách cộng các tích riêng phần c0, c1, c2, ..., cn-1. Khi bj=1, ta tính tích riêng phần cj bằng cách dịch khai triển nhị phân của a đi j bit. Khi bj=0 thì không cần có dịch chuyển nào vì cj=0. Do đó, để tìm tất cả n số nguyên abj.2j với j=0, 1, ..., n-1, đòi hỏi tối đa là
0 + 1 + 2 + ... + n-1 = 
phép dịch chỗ. Vì vậy, số các dịch chuyển chỗ đòi hỏi là O(n2).
	Để cộng các số nguyên abj từ j=0 đến n-1, đòi hỏi phải cộng một số nguyên n bit, một số nguyên n+1 bit, ... và một số nguyên 2n bit. Ta đã biết rằng mỗi phép cộng đó đòi hỏi O(n) phép cộng bit. Do đó, độ phức tạp của thuật toán này là O(n2).
1.5. THUẬT TOÁN ĐỆ QUY.
1.5.1. Khái niệm đệ quy:
	Đôi khi chúng ta có thể quy việc giải bài toán với tập các dữ liệu đầu vào xác định về việc giải cùng bài toán đó nhưng với các giá trị đầu vào nhỏ hơn. Chẳng hạn, bài toán tìm UCLN của hai số a, b với a > b có thể rút gọn về bài toán tìm ƯCLN của hai số nhỏ hơn, a mod b và b. Khi việc rút gọn như vậy thực hiện được thì lời giải bài toán ban đầu có thể tìm được bằng một dãy các phép rút gọn cho tới những trường hợp mà ta có thể dễ dàng nhận được lời giải của bài toán. Ta sẽ thấy rằng các thuật toán rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn, được áp dụng trong một lớp rất rộng các bài toán.
Định nghĩa: Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài toán bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán cũng như vậy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn.
Thí dụ 10: Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị an với a là số thực khác không và n là số nguyên không âm.
	Ta xây dựng thuật toán đệ quy nhờ định nghĩa đệ quy của an, đó là an+1=a.an với n>0 và khi n=0 thì a0=1. Vậy để tính an ta quy về các trường hợp có số mũ n nhỏ hơn, cho tới khi n=0.
procedure power (a: số thực khác không; n: số nguyên không âm)
	if n = 0 then power(a,n) := 1
	else power(a,n) := a * power(a,n-1)
Thí dụ 11: Tìm thuật toán đệ quy tính UCLN của hai số nguyên a,b không âm và a > b.
procedure UCLN (a,b: các số nguyên không âm, a > b)
	if b = 0 then UCLN (a,b) := a
	else UCLN (a,b) := UCLN (a mod b, b)
Thí dụ 12: Hãy biểu diễn thuật toán tìm kiếm tuyến tính như một thủ tục đệ quy.
	Để tìm x trong dãy tìm kiếm a1,a2,...,an trong bước thứ i của thuật toán ta so sánh x với ai. Nếu x bằng ai thì i là vị trí cần tìm, ngược lại thì việc tìm kiếm được quy về dãy có số phần tử ít hơn, cụ thể là dãy ai+1,...,an. Thuật toán tìm kiếm có dạng thủ tục đệ quy như sau.
	Cho search (i,j,x) là thủ tục tìm số x trong dãy ai, ai+1,..., aj. Dữ liệu đầu vào là bộ ba (1,n,x). Thủ tục sẽ dừng khi số hạng đầu tiên của dãy còn lại là x hoặc là khi dãy còn lại chỉ có một phần tử khác x. Nếu x không là số hạng đầu tiên và còn có các số hạng khác thì lại áp dụng thủ tục này, nhưng dãy tìm kiếm ít hơn một phần tử nhận được bằng cách xóa đi phần tử đầu tiên của dãy tìm kiếm ở bước vừa qua.
procedure search (i,j,x)
	if ai = x then loacation := i
	else if i = j then loacation := 0
	else search (i+1,j,x)
Thí dụ 13: Hãy xây dựng phiên bản đệ quy của thuật toán tìm kiếm nhị phân.
	Giả sử ta muốn định vị x trong dãy a1, a2, ..., an bằng tìm kiếm nhị phân. Trước tiên ta so sánh x với số hạng giữa a[(n+1)/2]. Nếu chúng bằng nhau thì thuật toán kết thúc, nếu không ta chuyển sang tìm kiếm trong dãy ngắn hơn, nửa đầu của dãy nếu x nhỏ hơn giá trị giữa của của dãy xuất phát, nửa sau nếu ngược lại. Như vậy ta rút gọn việc giải bài toán tìm kiếm về việc giải cũng bài toán đó nhưng trong dãy tìm kiếm có độ dài lần lượt giảm đi một nửa.
procedure binary search (x,i,j)
m := [(i+j)/2]
if x = am then loacation := m
else if (x < am and i < m) then binary search (x,i,m-1)
else if (x > am and j > m) then binary search (x,m+1,j)
else loacation := 0
1.5.2. Đệ quy và lặp:
Thí dụ 14. Thủ tục đệ quy sau đây cho ta giá trị của n! với n là số nguyên dương.
procedure factorial (n: positive integer)
	if n = 1 then factorial(n) := 1
	else factorial(n) := n * factorial(n-1)
Có cách khác tính hàm giai thừa của một số nguyên từ định nghĩa đệ quy của nó. Thay cho việc lần lượt rút gọn việc tính toán cho các giá trị nhỏ hơn, ta có thể xuất phát từ giá trị của hàm tại 1và lần lượt áp dụng định nghĩa đệ quy để tìm giá trị của hàm tại các số nguyên lớn dần. Đó là thủ tục lặp.
procedure iterative factorial (n: positive integer)
	x := 1
	for i := 1 to n
	x := i * x
{x là n!}
Thông thường để tính một dãy các giá trị được định nghĩa bằng đệ quy, nếu dùng phương pháp lặp thì số các phép tính sẽ ít hơn là dùng thuật toán đệ quy (trừ khi dùng các máy đệ quy chuyên dụng). Ta sẽ xem xét bài toán tính số hạng thứ n của dãy Fibonacci.
procedure fibonacci (n: nguyên không âm)
	if n = 0 the fibonacci(n) := 0
	else if n = 1 then fibonacci(n) := 1
	else fibonacci(n) := fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
Theo thuật toán này, để tìm fn ta biểu diễn fn = fn-1 + fn-2. Sau đó thay thế cả hai số này bằng tổng của hai số Fibonacci bậc thấp hơn, cứ tiếp tục như vậy cho tới khi f0 và f1 xuất hiện thì được thay bằng các giá trị của chúng theo định nghĩa. Do đó để tính fn cần fn+1-1 phép cộng.
	Bây giờ ta sẽ tính các phép toán cần dùng để tính fn khi sử dụng phương pháp lặp. Thủ tục này khởi tạo x là f0 = 0 và y là f1 = 1. Khi vòng lặp được duyệt qua tổng của x và y được gán cho biến phụ z. Sau đó x được gán giá trị của y và y được gán giá trị của z. Vậy sau khi đi qua vòng lặp lần 1, ta có x = f1 và y = f0 + f1 = f2. Khi qua vòng lặp lần n-1 thì x = fn-1. Như vậy chỉ có n – 1 phép cộng được dùng để tìm fn khi n > 1.
procedure Iterative fibonacci (n: nguyên không âm)
	if n = 0 then y := 0
	else
	begin
	x := 0 ; y := 1
	for i := 1 to n - 1
	begin
	z := x + y
	x := y ; y := z
	end
	end
{y là số Fibonacci thứ n}
Ta đã chỉ ra rằng số các phép toán dùng trong thuật toán đệ quy nhiều hơn khi dùng phương pháp lặp. Tuy nhiên đôi khi người ta vẫn thích dùng thủ tục đệ quy hơn ngay cả khi nó tỏ ra kém hiệu quả so với thủ tục lặp. Đặc biệt, có những bài toán chỉ có thể giải bằng thủ tục đệ quy mà không thể giải bằng thủ tục lặp.
BÀI TẬP CHƯƠNG I:
1. Tìm một số nguyên n nhỏ nhất sao cho f(x) là O(xn) đối với các hàm f(x) sau:
a) f(x) = 2x3 + x2log x.
b) f(x) = 2x3 + (log x)4.
c) f(x) = 
d) f(x) = .
2. Chứng minh rằng
a) x2 + 4x + 7 là O(x3), nhưng x3 không là O(x2 +4x + 17).
b) xlog x là O(x2), nhưng x2 không là O(xlog x).
3. Cho một đánh giá big-O đối với các hàm cho dưới đây. Đối với hàm g(x) trong đánh giá f(x) là O(g(x)), hãy chọn hàm đơn giản có bậc thấp nhất.
a) nlog(n2 + 1) + n2logn.
b) (nlogn + 1)2 + (logn + 1)(n2 + 1).
c) .
4. Cho Hn là số điều hoà thứ n:
Hn = 1 + + + ... + 
Chứng minh rằng Hn là O(logn).
5. Lập một thuật toán tính tổng tất cả các số nguyên trong một bảng.
6. Lập thuật toán tính xn với x là một số thực và n là một số nguyên.
7. Mô tả thuật toán chèn một số nguyên x vào vị trí thích hợp trong dãy các số nguyên a1, a2, ..., an xếp theo thứ tự tăng dần.
8. Tìm thuật toán xác định vị trí gặp đầu tiên của phần tử lớn nhất trong bảng liệt kê các số nguyên, trong đó các số này không nhất thiết phải khác nhau.
9. Tìm thuật toán xác định vị trí gặp cuối cùng của phần tử nhỏ nhất trong bảng liệt kê các số nguyên, trong đó các số này không nhất thiết phải khác nhau.
10. Mô tả thuật toán đếm số các số 1 trong một xâu bit bằng cách kiểm tra mỗi bit của xâu để xác định nó có là bit 1 hay không.
11. Thuật toán tìm kiếm tam phân. Xác định vị trí của một phần tử trong một bảng liệt kê các số nguyên theo thứ tự tăng dần bằng cách tách liên tiếp bảng liệt kê đó thành ba bảng liệt kê con có kích thước bằng nhau (hoặc gần bằng nhau nhất có thể được) và giới hạn việc tìm kiếm trong một bảng liệt kê con thích hợp. Hãy chỉ rõ các bước của thuật toán đó.
12. Lập thuật toán tìm trong một dãy các số nguyên số hạng đầu tiên bằng một số hạng nào đó đứng trước nó trong dãy.
13. Lập thuật toán tìm trong một dãy các số nguyên tất cả các số hạng lớn hơn tổng tất cả các số hạng đứng trước nó trong dãy.
14. Cho đánh giá big-O đối với số các phép so sánh được dùng bởi thuật toán trong Bài tập 10.
15. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm tam phân được cho trong Bài tập 11.
16. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán trong Bài tập 12.
17. Mô tả thuật toán tính hiệu của hai khai triển nhị phân.
18. Lập một thuật toán để xác định a > b, a = b hay a < b đối với hai số nguyên a và b ở dạng khai triển nhị phân.
19. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán tìm khai triển theo cơ số b của số nguyên n qua số các phép chia được dùng.
20. Hãy cho thuật toán đệ quy tìm tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên.
21. Hãy cho thuật toán đệ quy tìm số cực đại của tập hữu hạn các số nguyên.
22. Mô tả thuật toán đệ quy tìm xn mod m với n, x, m là các số nguyên dương.
23. Hãy nghĩ ra thuật toán đệ quy tính trong đó a là một số thực và n là một số nguyên dương.
24. Hãy nghĩ ra thuật toán đệ quy tìm số hạng thứ n của dãy được xác định như sau: a0=1, a1 = 2 và an = an-1 an-2 với n = 2, 3, 4, ...
25. Thuật toán đệ quy hay thuật toán lặp tìm số hạng thứ n của dãy trong Bài tập 24 là có hiệu quả hơn?