Hướng dẫn học sinh Lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 
VỀ DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 
	Khoa học kỹ thuật đang phát triển ngày càng hiện đại đất nước Việt Nam đang cần có nhiều con người mới để nắm bắt, vận dụng và phát triển nền khoa học mới một cách chủ động, sáng tạo. 
	Nền giáo dục nước nhà nói chung và giáo dục huyện Con Cuông nói riêng đã và đang xác định phải khuyến khích tự học phải áp dụng những phương pháp giáo dục mới để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên trong mỗi tiết lên lớp, không phải tiết nào học sinh cũng nắm bắt được toàn bộ kiến thức mà giáo viên truyền đạt cho. Vì vậy trong mỗi tiết dạy cần phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Bằng nhiều cách từ đó giúp học sinh nắm chắc bài toán. 
	Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản trong chương trình môn Toán lớp 7. Các em thường gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra khảo sát chất lượng, các kỳ thi học sinh giỏi. Trong thực tế khi giải loại toán này không những học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá, giỏi cũng vấp phải những sai sót. Bài viết “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” với mục đích giúp học sinh khác phục các sai lầm thường gặp biết phát triển, mở rộng bài toán đề xuất các bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy lô gic, tư duy sáng tạo và tính chính xác trong giải toán. 
	* Cơ sở khoa học: 
	1. Tính chất tỉ lệ thức: 
	1.1 ad = bc (b; d 0)
	1.2 Từ tỉ lệ thức ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau: 
	 ; (với a; b; c; d khác o) 
	2. Tính chất dãy tỷ số bằng nhau. 
	Từ ta suy ra. 
	 (b + d 0) (2 . 1) 
	 (b – d 0) (2 . 2)
	Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
* Cơ sở thực tiễn.
Qua giảng dạy toán 7, khi học sinh giải tóan này thường vấp các sai sót, lỗi sai là do cách trình bày; do các em thường nhầm tính chất.
Tôi đã điều tra 3 lớp 7 ở trường THCS hai bài toán về dãy tỉ số bằng nhau, như sau:
Bài 1: Tìm các số x; y biết:
a, 
b, 
	Bài 2: So sánh các số a, b, c biết 
	Kết quả khảo sát cho thấy. 
	Bài 1: ở câu a: có 20% số học sinh làm sai 
	(Lỗi sai phần lớn là do trình bày) 
	=> x = 2.2 = 4 ; y = 3.2 = 6
	b. Có 30 em làm sai. 
	Lỗi sai là do các em nhầm tính chất như sau:
	c. x = 2.9 = 18 ; y = 5.9 = 45 
	Bài 2: Có 65% số học sinh làm sai. 
	Phần lớn các em cho lời giải. 
Trong khi chưa khẳng định được a + b + c 0
PHẦN II: NỘI DUNG
	Bài toán 1: Tìm các số x ; y biết và x + y = 10 
	Giáo viên hỏi: Chú ý đến giả thiết x + y = 10 ta áp dụng tính chất nào ở trên? (tính chất 2.1). 
	GV cho HS tình bày lời giải. 
	- Nếu học sinh trình bày sai như đã nêu trong “Cơ sở thực tiễn” thì giáo viên gợi mở. 
	Lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? 
	GV khắc sâu cho học sinh tính chính xác giữa “=>” và dấu “=”. 
	(Với cách trình bày sai ở trên của học sinh không có cơ sở nào để tính x; y) 
	- Nếu học sinh được gọi lên bảng trình bày đúng giáo viên cần đưa ra tình huống trên để nhắc nhở các em có thể sai nhưng chưa được gọi trả lời. 
	Để khắc sâu và phát huy tính sáng tạo của học sinh giáo viên có thể đưa ra các bài tập tương tự. 
	Tìm x ; y ; z biết. 
	1. và 5x + y – 2z = 28 
	2. 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
	3. và x + y + z = 49 
	4. và 2x + 3y – z = 50 
	GV: ở bài 1, làm thế nào để áp dụng tương tự bài toán 1. 
	(Từ giả thiết: 
	=> x = 10.2 = 20 ; y = 6.2 = 12 ; z = 21.2 = 42). 
	Giáo viên: ở bài 2, làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau áp dụng tính chất 1.1. 
Từ
Từ
	GV: Ở bài 3, cần biết đổi giả thiết như thế nào để áp dựng tương tự bài trên. 
	Cách 1: 
	Cách 2: 
	GV: Bài 4, làm tương tự bài nào trong 3 bài trên. 
	(Tương tự bài 1) 
	= 
	=> 
	 * Bài toán 2: Tìm x, y biết (1) và x.y = 90. 	
	Nếu giáo viên gọi một học sinh trình bày, học sinh trình bày như đã nêu ở “cơ sở thực tiễn” thì giáo viên và cả lớp phân tích chỗ sai. Sau đó gợi ý cho các em tìm lời giải. 
	GV: Từ làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số trong đó có thành phần là (xy)? từ đó giúp học sinh định hướng cách giải. 
	Cách 1: Về xy = 90 => x 0. Nhân 2 vế của (1) với x ta có: 
	+ Nếu x = 6 => 
	+ Nếu x = -6 => 
	Cách 2: => 
	+ Nếu x = 6 => y = 15
	+ Nếu x = -6 => y = -15
	Cách 3: Đặt 
	=> 90 = xy = (2k) . (5k) = 10k2 => k2 = 90 : 10 = 9 => k = 3. 
	+ Nếu k = 3 => x = 2k = 6 => y = 5k = 15 
	+ Nếu k = -3 => x = 2k = -6 => y = 5k = -15 . 
	Để rèn luyện tư duy sáng tạo và khắc sâu cho học sinh giáo viên có thể ra thêm các bài tập tương tự. 
	Bài 1: Tìm x; y biết 2x = 3y và xy = 24 
	Bài 2: Tìm x; y; z biết 
	a. và xyz = 810 
	b. 5x = 2z; 5y = 3z và xyz = 810 
	c. và xyz = 810 
	Giáo viên lưu ý cho học sinh ở bài toán 2 nếu kết luận
 x = 6 ; y = 15 là sai. 
	Ngoài 3 cách làm trên giáo viên có thể gợi mở cho học sinh giải bằng cách. 
	Giáo viên hỏi: Từ ta có thể biểu diễn y qua x như thế nào? 
	Thay xy = 90 ta có điều gì? 
	Từ đó học sinh phát hiện cách 4. 
	Cách 4: 
	Từ 
	=> 90 = xy = x.
	=> x2 = 
	+ Nếu x = 6 => y = 15
	+ Nếu x = -6 => y = -15
	Bài toán 3: So sánh các số a, b, c biết 
	Giáo viên yêu cầu một học sinh trình bày. 
	- Nếu học sinh trình bày sai như đã nêu ở phần “Cơ sở thực tiễn” giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết vướng mắc. 
	Giáo viên hỏi: Nếu áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì cần điều kiện gì? 
	Việc chứng minh a + b + c 0 là khó khăn. Vậy có hướng giải nào không vướng vào điều kiện này không? 
	Cách 1: Đặt 
	=> a = k.b ; b = c.k ; c = a.k 
	=> a.b.c = (bk) . (c.k). (a.k) = abc . k3 => k3 = 1 (do a.b.c 0)
	=> k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c. 
	Cách 2: Đặt => a=bk; b = ck; c = ak. 
	=> a=bk = (c.k).k = [(ak).(k)].k = ak3 => k3 = 1 (vì a 0)
	=> k = 1 => a = b = c. 
	Cách 3: => k3 = (vì a.b.c 0)
	=> k = 1 => a = b = c. 
	GV. Mở rộng bài toán trên cho n số ta có bài toán nào? 
	Cho 
	Chứng minh rằng: a1 = a2 = ...=an. 
	GV: Vận dụng bài toán mở rộng trên để giải các bài toán sau: 
	Bài 1: Cho và a = 2008. Tính b; c? 
	Bài 2: Cho Tính A = 
	Bài 3: Cho b2 = ac ; c2 = ab. 
	Chứng minh rằng (30a + 4b + 1975c)2008 = 20092008a2007. 
	Bài 4: Cho 
	Tính giá trị biểu thức M = 
	* Bài toán 4: 
	Cho a, b, c thỏa mãn 
	Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*) 
	GV: Có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau như thế nào để xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau trong đó có các thành phần là a – b; b – c; c – a? 
	Cách 1: 
	Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
	=> 
	=> 4 (a-b) (b-c) = (c-a)2 
	Cách 2: Đặt 
	=> a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k 
	Ta có: 4(a – b) ( b- c) = 4 (2008k – 2009k) (2009k – 2010k) = 4.(-k). (-k)
	 => 4 ( a – b) (b – c) = 4k2 (1) 
	(c – a)2 = (2010k – 2008k)2 = (2k)2 = 4k2 (2)
	Từ (1) và (2) => 4( a – b) (b – c) = (c - a)2. 
	GV: Ta thấy 4 (a – b) (b – c) = (2a – 2b) (2b – 2c) 
	Để chứng minh (*) ta có thể biểu diễn 2b qua a + c như thế nào? 
	Cách 3: Từ giả thiết 
	=> 4 (a-b) (b-c) = (2a – 2b) (2b – 2c) = (2a – a – c) (a + c – 2c) 
	 = (a-c) (a –c) = (a – c)2 
	Bài toán 5: Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 
	Ta có thể suy sa tỉ lệ thức 
	Tương tự bài toán 4 ta có các hướng giải nào? 
	Cách 1: Từ => (vì c; d 0)
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
	 (vì c + d 0; c – d 0)
	Từ áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta suy ra 
	Cách 2: Đặt 
	Ta có: (k 1 vì a b) 
	 (**)
	Từ (*) và (**) => 
	Cách 3: Từ 
	=> bc – ad = ad - bc
	=> ac – bd + bc – ad = ac – bd + ad – bc 
	=> (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad) 
	=> c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b) 
	=> (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d) 
	=> 
	Để khắc sâu kiến thức cho học sinh giáo viên có thể ra các bài tập tương tự. 
	Bài 1: Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với a b và a c; a,b,c 0)
	Thì (*) 
	Giáo viên cần yêu cầu học sinh tìm ra các hướng giải bài toán. 
	Cách 1: Đặt 
	Ta có: 
	Cách 2: Từ a2 = bc 
	=> 2a2 = 2bc 
	=> a2 + a2 = bc + bc 
	=> a2 – bc = bc – a2 
	=> ac – ab + a2 – bc = ac – ab + bc – a2 
	=> (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab) 
	=> c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a) 
	=> (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a) 
	=> 
	Bài 2: Cho chứng minh rằng: 
	a. (Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 
	b. 
	GV từ để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện các biểu thức 2a 3b; 2c 3d 
	Muốn vậy ta phải làm thế nào? 
	(Cần đưa a và b lên trên còn c và d xuống dưới các tỉ số) 
	=> cách giải. 
	Từ ta có: 
	Do đó 
	b. Giáo viên tương tự như câu a, nhưng là để xuất hiện a2; ab; b2 ở trên các tỉ số. 
	Từ ta có suy ra 
	Từ đó ta có: 
	Giáo viên dựa vào các cách giải các bài toán trên có thể đề xuất bài toán tổng quát như thế nào? 
	Cho tỉ lệ thức 
	Chứng minh rằng:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 
PHẦN III: KẾT LUẬN
	1. Kết quả đạt được: 
	Sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy trên trong các tiết luyện tập và tiết dạy tăng buổi, tôi thấy nhiều em có lời giải chính xác, trình bày bài giải rõ ràng, mạch lạc. Có nhiều em còn tìm ra nhiều cách giải từ một bài toán, qua đó thấy các em yêu thích học môn toán hơn, tự tin trong học tập, phát huy tư duy sáng tạo, khả năng suy ngẫm của các em. Qua bài kiểm tra của các em, tôi thấy chất lượng học tập của học sinh được tăng lên, nhiều em học sinh yếu kém đã vươn lên trung bình. 
	Kết quả cụ thể như sau: 
	Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
7A1
28
7,1%
28,6%
46,4%
17,9%
0
7A2
30
3,3%
16,7%
63,3%
16,7%
0
	2. Bài học kinh nghiệm: 	
	- Dù một bài toán đơn giản đến bao nhiêu thì trình bày lời giải rõ ràng, chặt chẽ, chính xác là hết sức cần thiết.
	- Cần tạo cho học sinh biết suy nghĩ, hiểu rõ bản chất bài toán thì mới có thể cho lời giải chính xác được. 
	- Ngoài ra tìm nhiều cách giải cho một bài toán cũng rất quan trọng nó giúp học sinh biết suy nghĩ vấn đề một cách kỹ càng, biết lựa chọn cách hay nhất, phù hợp nhất. Học sinh biết mở rộng bài toán, đề xuất bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy sáng tạo trong học toán. 
Kinh nghiệm nhỏ này viết với mong muốn góp một phần nhỏ bé vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy học đáp ứng yêu cầu của giáo dục hiện nay. Chắc chán bài viết còn nhiều thiết sót mong được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp. 
	Xin chân thành cảm ơn! 
	 Đô Lương, ngày 20 tháng 4 năm 2012 
XÁC NHẬN HĐKH TRƯỜNG 	 Người viết 
	 Nguyễn Kim Hiếu 
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI HĐKH NGÀNH