Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

1.Tên sáng kiến: 
Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ
 trong giải toán hình học lớp 7
2. Họ và tên: Trần Thị Ly
3. Nơi công tác: Trường THCS Sơn Hoá
4. Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
 HS lớp 7 Trường THCS 
5. Giải pháp
điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. 
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. 
Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Các giải pháp thực hiện
A. một số vấn đề cơ bản 
I - Cơ sở lý luận của việc vẽ thêm yếu tố phụ
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS.
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
* Cách dựng: 
- Dựng tia Ax.
Dựng đường tròn(A; c). Gọi B là giao điểm của đường tròn ( A; c) với tia Ax.
Dựng đường tròn (A; b) và đường tròn (B; a), gọi C là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b và BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; b) và ( B; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng: 
Gọi là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được DOAB.
y
x
O
A
B
O’
A’
B’
Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c.c. c) như bài toán 1, ta được .
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( A; r ) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dựng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia AD là tia phân giác của .
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) ị 	
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực của AB là đường thẳng vuông góc với đường thẳng a
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
 II - Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
III. một số phương pháp vẽ yêú tố phụ
 Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H ẻ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
A
B
C
H
D
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ;
 DH ^ BC, DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
ị BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = 9 ị BH = 3 ( cm)
Ta có BH + HK = BK ( Vì H nằm giữa B và K ) 
ị HK = BK – BH = 6–3 = 3 (cm)
A
B
C
H
K
D
Xét DABK có BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = 3 cm)
ị DH // AK ( đường nối trung điểm 2 
cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK ị AK ^ BC.
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
 AK là cạnh chung
Do đó D ABK = DACK (c - g - c)
ị AB = AC ị D ABC cân tại A. ( đpcm)
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song với cạnh thứ ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình Toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ; chứng minh rằng: AB = AC? (Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc .cạnh. góc của hai tam giác).
1) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có ; Yêu cầu: chứng minh AB = AC.
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của ( Iẻ BC)
3) Chứng minh: 
GT
DABC; 
KL
AB = AC
I
Vẽ tia phân giác AI của ( Iẻ BC).
ị. (1) 
 áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: 
Mặt khác ( gt); ( theo (1) )ị (2) 
Xét D ABI và D ACI ta có:
( theo (2))
Cạnh AI chung
( theo (1))
ị D ABI = D ACI ( g - c - g) 
ị AB = AC ( 2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
C
M
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD. ...  giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. 
Yêu cầu chứng minh D OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ: 
Ta thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600
là số đo của mỗi góc trong tam giác đều 
ị sử dụng phương pháp tam giác đều
 vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
DABC; = 900; = 150
O ẻ tia BA: BO = 2AC
KL
D OBC cân tại O.
Ta có: DABC; = 900; = 150 (gt) ị = 750
Vẽ tam giác đều BCM 
( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: 
Gọi H là trung điểm của OB .
 Mặt khác BO = 2AC (gt) nên từ đó có AC = BH
Xét D HMB và D ABC có: 
BH = AC (cmt)
MB = BC ( cạnh D đều BMC)
Do đó D HMB = D ABC ( c -g -c)
ị 
 D MOB có MH là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại M, lại có góc đáy ị góc ở đỉnh . 
Từ đó 
DMOB và DMOC có : MB = MC ( cạnh của D đều BMC)
 (cmt)
 OM chung
Do đó DMOB = DMOC (c-g-c) ị OB = OC 
Vậy D OBC cân tại O. ( đpcm)
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát hiện thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được D HMB = D ABC ( c - g- c); DMOB = DMOC ( c - g - c) dẫn tới D OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của phương pháp tam giác đều.
Bài toán 10. Cho ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho = 150 . Tính 
Hướng dẫn :
Điều đầu tiên trong bài toán này là HS phải phát hiện ra
 tam giác AEC cân tại E vì có hai góc bằng 150
 từ đó suy ra EA = EC và 
 Cũng như ở bài toán 8, ở bài toán này các em
sẽ sớm phát hiện thấy 
mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều 
( Cũng có em nhận xét: ; và 450 + 150 = 600 ).
 Còn đối với những em chưa xác định được điều gì ta cũng gợi ý, hướng dẫn các em tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó. Từ đó có thể hướng dẫn các em các cách vẽ thêm tam giác đều như sau :
Cách 1 : Vẽ tam giác đều AKE nằm trong tam giác ABE tạo ra . 
Khi đó BAK = CAE (c.g.c) vì :
 AB = AC (gt) 
 AK = AE ( cạnh đều )
Từ đó dẫn đến ABK cân tại K và có góc ở đáy bằng 150 nên góc ở đỉnh là 
 Mà nên
AKB = EKB (c.g.c) vì :
 AK = EK ( cạnh đều AKE )
 BK chung
 Từ đó suy ra 	 và AB = EB dẫn đến ABE cân tại B có góc ở đỉnh 
 - Cách 2: Vẽ tam giác đều KCE ( như hình vẽ ) nằm phía ngoài AEC, tạo ra . Khi đó KCA = EAB (c.g.c) vì :
 KC = AE ( = EC)
 AC = AB ( gt )
. (*)
 Lại có AEC cân tại Ecó góc đáy 
mà nên 
 Xét AEC và AEK có :
 EC = EK ( Cạnh của đều EKC)
 AE chung
Do đó AEC = AEK (c.g.c)
Mà ( theo (*)) nên 
 - Cách 3:
Vẽ tam giác đều AKB (K, C nằm cùng phía đối với AB)
tạo ra 
 Khi đó : EAC = EAK (c.g.c) vì :
 AC = AK ( = AB)
 ; EA chung
 Từ đó suy ra EC = EK
 Xét ABE và KBE có :
 * AB = KB ( Cạnh đều ABK )
 * AE = EK ( = EC )
 * BE chung
Vậy ABE = KBE (c.c.c)
Như vậy BEA có ; , áp dụng định lí tổng ba góc của tam giác ta có 
A
B
C
E
?
K
1
2
 - Cách 4 :
 Vẽ tam giác đều ACK ra phía ngoài ABC
tạo ra 
 Khi đó BAE và KAE có :
 AB = AK (=AC )
 AE chung
 . Do đó BAE = KAE ( c.g.c) 
A
B
C
E
?
M
K
nên 
Vậy 
- Cách 5:
 Vẽ tam giác đều AKC trùm lên EAC, 
tạo ra 
Từ K kẻ tia KM sao cho 
 Dẫn đến KMC cân tại M vì có MK =MC
 Lại có MKC = EAC (g.c.g) MC = EC = EA MK = AE
 Mặt khác ABK cân tại A ( vì AB = AK ) có góc tại đỉnh góc ở đáy . 
Do đó . Mà ( Góc ngoài tại M của tam giác KMC cân tại M có góc đáy bằng 150)
A
B
C
E
?
K
1
2
150
150
300
300
M
 Thành thử KMB cân tại K KB = KM = AE
Vậy ABE = BAK (c.g.c) vì:
 AB chung
 AE = BK
 .
 ở bài toán này đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
 AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC.
 Như vậy với sự gợi ý, hướng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài, tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hướng được cách giải. Đó chính là thành công của người thày. Và điều quan trọng nữa là khi hướng dẫn học sinh triển khai một bài toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên đã tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt và cũng làm cho tư duy hình học của các em được phát triển hơn.
Bài toán 11
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 500. Lấy điểm K trong tam giác, sao cho .
A
B
C
K
?
100
300
?
?
Tính số đo các góc của ABK.
 * Hướng giải quyết:
 ABK có:= 500 -100= 400
 Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: 
.
 Xem xét đầu bài ta thấy ABC có các góc 500, 500, 800
 = 100, = 500, mà 500 + 100 = 600 chính là góc của tam giác đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau (học sinh tìm ra hoặc giáo viên gợi ý):
- Cách 1:
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
1
2
100
Vẽ đều BCE trùm lên ABC, tạo ra 
Từ đó chứng minh EAB = EAC (c.c.c) 
Khi đó ABE = KBC (g.c.g) vì:
 BE = BC 
 AB = KB. Do đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh 
 Vậy các góc của ABK là 400; 700; 700.
- Cách 2:
Vẽ đều ABE ( E, C nằm cùng phía đối với AB), tạo ra và AEC cân ở A vì có AE = AC ( = AB ) có gócở đỉnh 
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
 Suy ra góc ở đáy 
 Do vậy KBC = EBC (g.c.g) vì:
 BC chung
 BK = BE mà BE = BA nên BK = BA. 
Khi đó ABK cân tại B có góc ở đỉnh là 400 nên hai góc còn lại là 700 và 700.
- Cách 3:
A
B
C
K
?
100
300
?
?
E
 Vẽ đều AEC ( E, B nằm cùng phía đối với AC ) 
tạo ra vàABE cân tại A
 có góc ở đỉnh bằng 800- 600 = 200
 góc ở đáy bằng 800
 Do đó KBC = ECB (g.c.g) vì:
 BC chung
 KB = EC mà EC = AC = AB nên KB = AB ABK cân tại B
Vậy các góc cần tính là: 400; 700; 700.
 	Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tương đương nhau: đều tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ đó dẫn đến cạnh BK bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam giác ABK cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là KC để tạo ra góc bằng hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BK để tạo ra góc bằng thì sẽ không giải quyết được bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện, và học sinh cũng cần phải thấy được điều này để có cách vẽ cho thích hợp.
 Bài toán 12. Cho tam giác ABC có . Đường cao AH có độ dài bằng nửa BC. Tính số đo góc B
Phân tích:
AHC vuông tại H có 
Mà 750 - 150 = 600 là góc của tam giác đều.
Từ đó hướng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều. Có các cách vẽ như sau:
 - Cách 1: 
 Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ABC, tạo ra: 
Kẻ EK BC (có thể hướng dẫn và giải thích cho học sinh tại sao lại kẻ như vậy).
Khi đó vuông EKC = vuông CHA (cạnh huyền, góc nhọn) vì:
 EC = AC
 KC = AH, mà 
Vậy K là trung điểm của BC, lại có KE BC do đó tam giác EBC cân tại E 
 .
 Do đó : = 1800 - 2.150= 1500
Từ đó có = 3600 - (600 + 1500) = 1500
 BEC = BEA (c.g.c) vì:
 BE chung
 EC = EA
(Hoặc từ BEC = BEA AB = BC ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 750 )
 - Cách 2:
 Vẽ tam giác đều BEC (E, A nằm cùng phía đối với BC) tạo ra 
Từ A kẻ AK EC () thì 
 vuông AKC = vuông CHA (c. huyền, g. nhọn) vì:
 Cạnh huyền AC chung
Mà nên K là trung điểm của EC.
 Vậy EAC có AK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên cân tại A AE = AC.
Xét AEB và ACB có:
 BE = BC (cạnh của đều BCE)
 AB chung
 AE = AC
Do đó AEB = ACB (c.c.c)
. Vậy 
( Và suy ra K là giao điểm của AB và EC)
 	ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác đều sao cho liên hệ được các dữ kiện của giả thiết.
 	Như vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết. Và sau các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phương pháp vẽ tam giác đều, sau đó có 
thể chốt lại cho các em là :
 Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam giác đều nên nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc 
đã cho. Hơn nữa việc vẽ thêm tam giác đều còn tạo được các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo được một đường có nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện được những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau để tìm ra lời giải.
 Cũng cần chỉ ra cho học sinh thấy kinh nghiệm của việc vẽ thêm tam giác đều : Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó có sự bằng nhau với các đoạn thẳng khác trong bài thì bao giờ cũng giải quyết được bài toán.
 Qua các ví dụ này học sinh cũng cần thấy rằng, có thể có nhiều cách để tạo ra tam giác đều, nhưng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản hơn.
7.Kết luận
 Trên đậy là những kinh nghiệm của tôi khi hướng dẫn các em giải bài tập hình đòi hỏi phải vẽ thêm các yếu tố phụ. Việc vẽ thêm các yếu tố phụ giúp cho các em giải toán dễ dàng hơn, song việc vẽ thêm yếu tố phụ quả là khó khăn, phức tạp đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, có trí tưởng tượng phong phú và óc sáng tạo linh hoạt, trên tinh thần phải nắm được kiến thức cơ bản và khai thác triệt để giả thiết bài toán cho. Tôi mới chỉ đưa ra 2 dạng toán là chứng minh, tính số đo góc mà đã thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ rất phong phú, đa dạng thiếu nó thì việc giải toán gặp nhiều khó khăn.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn đựoc đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho các em khi học toán. 
8. Kiến nghị đề xuất
 Để có thể dạy - học tốt và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS tôi xin đề xuất một số vấn đề sau:
1, Toán học là bộ môn văn hoá cơ bản trong nhà trường phổ thông do đó cần phải có nhận thức đúng đắn về vai trò, vị trí của nó trong cấu trúc chương trình. 
2, Tạo điều kiện về cơ sở vật chất, trang thiết bị, phương tiện dạy - học để việc tổ chức tiết học đạt hiệu quả.
3, Nhân rộng và phổ biến những kinh nghiệm hay mô hình tốt có hiệu quả thiết thực.
4, Đầu tư kinh phí hợp lý cho công tác nghiên cứu thực tế, nắm tốt thông tin từ giáo viên và học sinh, đề ra những chủ trương, biện pháp khả thi thiết thực.
 5, Phòng Giáo dục và nhà trường nên có những chương trình học tập nâng cao trình độ chuyên môn cho các thầy cô giáo.
 Trên đây là những kinh nghiêm của cá nhân tôi trong khi hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học. 
 Vì điều kiện thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi không tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đóng góp bổ sung của các cấp lãnh đạo và của các bạn bè đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thời cũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy.
 Tôi xin trân trọng cảm ơn !
Đồng Hới, ngày 12 tháng 07 năm 2009
 Người viết
 Trần Thị Ly