Ôn tập HK II Toán 7

OÂN TAÄP TOAÙN 7 HOÏC KYØ II
: PHAÀN THèNG K£ 
C©u1. Điểm kiểm tra toán học kỳ I của học sinh lớp 7A được ghi lại như sau:
10 	9 	7 	8 	9 	1 	4 	9
1 	5 	10 	6 	4 	8 	5 	3
5 	6 	8 	10 	3 	7 	10 	6
6 	2 	4 	5 	8 	10 	3 	5
5 	9 	10 	8 	9 	5 	8 	5
a) Dấu hiệu cần tìm ở đây là gì ?	
b) Lập bảng tần số và tính số trung bình cộng. 
c) Tìm mốt của dấu hiệu.
d) Dựng biểu đồ đoạn thẳng (trục hoành biểu diễn điểm số; trục tung biểu diễn tần số).
 Câu 2)
Điểm kiểm tra học kì II môn Toán của lớp 7C được thống kê như sau:
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần số	
1
1
2
3
9
8
7
5
2
2
N = 40
a) Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng (trục tung biểu diễn tần số; trục hoành biểu diễn điểm số)
b) Tìm số trung bình cộng.
* Câu 3): Điểm kiểm tra toán học kỳ I của học sinh lớp 7A được ghi lại như sau:
10 	9 	7 	8 	9 	1 	4 	9
1 	5 	10 	6 	4 	8 	5 	3
5 	6 	8 	10 	3 	7 	10 	6
6 	2 	4 	5 	8 	10 	3 	5
5 	9 	10 	8 	9 	5 	8 	5
a) Dấu hiệu cần tìm ở đây là gì ?
b) Lập bảng tần số và tính số trung bình cộng. c) Tìm mốt của dấu hiệu.
Câu 4). Điều tra về tuổi nghề (tính bằng năm) của 20 công nhân trong một phân xưởng sản xuất ta có bảng số liệu sau
3	5	5	3	5	6	6	5	4	6
5	6	3	6	4	5	6	5	6	5
a. Dấu hiệu ở đây là gì?
b. Lập bảng tần số và tính số trung bình cộng của bảng số liệu trên.
Câu 5). Điểm kiểm tra toán học kì II của lớp 7B được thống kê như sau:
Điểm	4	5	6	7	8	9	10
Tần số	1	4	15	14	10	5	1
a) Dựng biểu đồ đoạn thẳng (trục hoành biểu diễn điểm số; trục tung biểu diễn tần số).
 b) Tính số trung bình cộng
Câu 6): Điểm kiểm tra học kì II môn Toán của lớp 7A được thống kê như sau:
Điểm	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Tần số	1	1	2	3	9	8	7	5	2	2	N = 40
a) Dấu hiệu ở đây là gì? Tìm mốt của dấu hiệu. b) Tìm số trung bình cộng.
Câu 7: Thời gian làm một bài tập toán (tính bằng phút) của 30 học sinh được ghi lại như
sau:
10
5
8
8
9
7
8
9
14
8
5
7
8
10
9
8
10
7
14
8
9
8
9
9
9
9
10
5
5
14
a. Dấu hiệu ở đây là gì?
b. Lập bảng tần số.
c. Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu.
d. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
Câu 8) Thời gian làm bài tập (tính bằng phút) của 20 học sinh được ghi lại như sau:
10	5	8	8	9	7	8	9	14	8
5	7	8	10	9	8	10	7	14	8
a. Dấu hiệu ở đây là gì? Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?
b. Tính số trung bình cộng?
PHAÀN ÑAÏI SOÁ:
Daïng 1: Thu goïn bieåu thöùc ñaïi soá:
Thu goïn ñôn thöùc, tìm baäc, heä soá.
Phöông phaùp:
Böôùc 1: duøng qui taéc nhaân ñôn thöùc ñeå thu goïn.
Böôùc 2: xaùc ñònh heä soá, baäc cuûa ñôn thöùc ñaõ thu goïn.
Baøi taäp aùp duïng : Thu goïn ñôn thöùc, tìm baäc, heä soá.
	A= ; 	B=
Thu goïn ña thöc, tìm baäc, heä soá cao nhaát.
Phöông phaùp:
Böôùc 1: nhoùm caùc haïng töû ñoàng daïng, tính coäng, tröø caùc haïng töû ñoøng daïng.
Böôùc 2: xaùc ñònh heä soá cao nhaát, baäc cuûa ña thöùc ñaõ thu goïn.
Baøi taäp aùp duïng : Thu goïn ña thöc, tìm baäc, heä soá cao nhaát.
Daïng 2: Tính giaù trò bieåu thöùc ñaïi soá :
Phöông phaùp :
	Böôùc 1: Thu goïn caùc bieåu thöùc ñaïi soá.
	Böôùc 2: Thay giaù trò cho tröôùc cuûa bieán vaøo bieåu thöùc ñaïi soá.
	Böôùc 3: Tính giaù trò bieåu thöùc soá.
Baøi taäp aùp duïng :
Baøi 1 : Tính giaù trò bieåu thöùc
a. A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 taïi 
b. B = x2 y2 + xy + x3 + y3 taïi x = –1; y = 3
Baøi 2 : Cho ña thöùc
P(x) = x4 + 2x2 + 1; 
Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; 
Tính : P(–1); P(); Q(–2); Q(1); 
Daïng 3 : Coäng, tröø ña thöùc nhieàu bieán
Phöông phaùp :
Böôùc 1: vieát pheùp tính coäng, tröø caùc ña thöùc.
Böôùc 2: aùp dung qui taéc boû daáu ngoaëc.
Böôùc 3: thu goïn caùc haïng töû ñoàng daïng ( coäng hay tröø caùc haïng töû ñoàng daïng)
Baøi taäp aùp duïng:
Baøi 1 : Cho ña thöùc :
	A = 4x2 – 5xy + 3y2; 	B = 3x2 + 2xy - y2
Tính A + B; A – B
Baøi 2 : Tìm ña thöùc M,N bieát :
M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2	
(3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
Daïng 4: Coäng tröø ña thöùc moät bieán:
Phöông phaùp:
Böôùc 1: thu goïn caùc ñôn thöùc vaø saép xeáp theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán.
Böôùc 2: vieát caùc ña thöùc sao cho caùc haïng töû ñoàng daïng thaúng coät vôùi nhau.
Böôùc 3: thöïc hieän pheùp tính coäng hoaëc tröø caùc haïng töû ñoàng daïng cuøng coät.
Chuù yù: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
Baøi taäp aùp duïng :
Cho ña thöùc 
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3	
B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5	
Tính : A(x) + B(x); 	A(x) - B(x); 	B(x) - A(x);
Daïng 5 : Tìm nghieäm cuûa ña thöùc 1 bieán
1. Kieåm tra 1 soá cho tröôùc coù laø nghieäm cuûa ña thöùc moät bieán khoâng
Phöông phaùp :
	Böôùc 1: Tính giaù trò cuûa ña thöùc taïi giaù trò cuûa bieán cho tröôùc ñoù.
	Böôùc 2: Neáu giaù trò cuûa ña thöùc baèng 0 thì giaù trò cuûa bieán ñoù laø nghieäm cuûa ña thöùc.
2. Tìm nghieäm cuûa ña thöùc moät bieán
Phöông phaùp :
Böôùc 1: Cho ña thöùc baèng 0.
Böôùc 2: Giaûi baøi toaùn tìm x.
Böôùc 3: Giaù trò x vöøa tìm ñöôïc laø nghieäm cuûa ña thöùc.
Chuù yù :
– Neáu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoaëc B(x) = 0
– Neáu ña thöùc P(x) = ax2 + bx + c coù a + b + c = 0 thì ta keát luaän ña thöùc coù 1 nghieäm laø x = 1, nghieäm coøn laïi x2 = c/a.
– Neáu ña thöùc P(x) = ax2 + bx + c coù a – b + c = 0 thì ta keát luaän ña thöùc coù 1 nghieäm laø x = –1, nghieäm coøn laïi x2 = -c/a.
Baøi taäp aùp duïng :
Baøi 1 : Cho ña thöùc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
Trong caùc soá sau : 1; –1; 2; –2 soá naøo laø nghieäm cuûa ña thöùc f(x)
Baøi 2 : Tìm nghieäm cuûa caùc ña thöùc sau.
	f(x) = 3x – 6; 	h(x) = –5x + 30	g(x)=(x-3)(16-4x)
k(x)=x2-81	m(x) = x2 +7x -8	n(x)= 5x2+9x+4
Daïng 6 : Tìm heä soá chöa bieát trong ña thöùc P(x) bieát P(x0) = a 
Phöông phaùp :
	Böôùc 1: Thay giaù trò x = x0 vaøo ña thöùc.
	Böôùc 2: Cho bieåu thöùc soá ñoù baèng a.
	Böôùc 3: Tính ñöôïc heä soá chöa bieát.
Baøi taäp aùp duïng :
Baøi 1 : Cho ña thöùc P(x) = mx – 3. Xaùc ñònh m bieát raèng P(–1) = 2
Baøi 2 : Cho ña thöùc Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xaùc ñònh m bieát raèng Q(x) coù nghieäm laø -1.
Mét sè bµi tËp
Câu 1. Cho các đa thức: f(x) = x3 - 2x2 + 3x + 1
g(x) = x3 + x - 1
h(x) = 2x2 - 1
a) Tính: f(x) - g(x) + h(x)
b) Tìm x sao cho f(x) - g(x) + h(x) = 0
Câu 2 . 
Cho P(x) = x3 - 2x + 1 ; Q(x) = 2x2 – 2x3 + x - 5. 
Tính a) P(x) + Q(x); b) P(x)-Q(x)
Câu 3: Cho hai đa thức:
A(x) = –4x5 – x3 + 4x2 + 5x + 9 + 4x5 – 6x2 – 2
B(x) = –3x4 – 2x3 + 10x2 – 8x + 5x3 – 7 – 2x3 + 8x
a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P(x) = A(x) + B(x) và Q(x) = A(x) – B(x)
c) Chứng tỏ x = –1 là nghiệm của đa thức P(x).
Câu 4: 
 Cho f(x) = x3 − 2x + 1, g(x) = 2x2 − x3 + x −3 
a) Tính f(x) + g(x) ; f(x) − g(x).
 b) Tính f(x) +g(x) tại x = – 1; x =-2 
Câu 5 Cho đa thức
 M = x2 + 5x4 − 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 − x + 5
N = x − 5x3 − 2x2 − 8x4 + 4 x3 − x + 5 
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến
b. Tính M+N; M- N
Câu 6. Cho đa thức A = −2 xy 2 + 3xy + 5xy 2 + 5xy + 1
a. Thu gọn đa thức A.
 b. Tính giá trị của A tại x= ;y=-1
Câu 7. Cho hai đa thức

 P ( x) = 2x4 − 3x2 + x -2/3 và Q( x) = x4 − x3 + x2 +5/3 
a. Tính M (x) = P( x) + Q( x)
 b. Tính N ( x) = P( x) − Q( x) và tìm bậc của đa thức N ( x) 
Câu 8. Cho hai đa thức: f(x) = 9 – x5 + 4x - 2x3 + x2 – 7x4
 g(x) = x5 – 9 + 2x2 + 7x4 + 2x3 - 3x
a) Sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến
 b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x).
c) Tìm nghiệm của đa thức h(x).
Câu 9: Cho P(x) = 2x3 – 2x – 5 ; Q(x) = –x3 + x2 + 1 – x.
 Tính:
a. P(x) +Q(x);
b. P(x) − Q(x).
Câu 10: Cho đa thức 	f(x) = – 3x2 + x – 1 + x4 – x3– x2 + 3x4
g(x) = x4 + x2 – x3 + x – 5 + 5x3 – x2
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến. b) Tính: f(x) – g(x); f(x) + g(x)
c) Tính g(x) tại x = –1.
Câu 11) Cho đa thức P(x) = 2x3 + 2x – 3x2 + 1
Q(x) = 2x2 + 3x3 – x – 5
Tính: a. P(x) + Q(x)
 b. P(x) – Q(x)
Câu 12: Cho đa thức P = 5x2 – 7y2 + y – 1; Q = x2 – 2y2
a) Tìm đa thức M = P – Q
b) Tính giá trị của M tại x=1/2 và y=-1/5
Câu 13 Tìm đa thức A biết A + (3x2 y − 2xy3 ) = 2x2 y − 4xy3
Câu 14 Cho P( x) = x4 − 5x + 2 x2 + 1 và
Q( x) = 5x + 3 x2 + 5 + 1 x2 + x4 .
	2
a)Tìm M(x)=P(x)+Q(x)
 b. Chứng tỏ M(x) không có nghiệm
Câu 15) Cho đa thức P(x)=5x-
a. Tính P(-1);P()
b. Tìm nghiệm của đa thức trên
Câu 16. Tìm nghiệm của đa thức 
a) 4x + 9 
b) -5x+6
c) x2 – 1.
d) x2 – 9.
e) x2 – x.
f) x2 – 2x.
g) x2 – 3x.
h) 3x2 – 4x
Daïng 7: Baøi toaùn thoáng keâ.
Thời gian làm bài tập của các hs lớp 7 tính bằng phút đươc thống kê bởi bảng sau:
4	5	6	7	6	7	6	4
6	7	6	8	5	6	9	10	
5	7	8	8	9	7	8	8	
8	10	9	11	8	9	8	9
4	6	7	7	7	8	5	8	
Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị là bao nhiêu?
Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?Tính số trung bình cộng? 
Vẽ biểu đồ đoạn thẳng?
II. PHAÀN HÌNH HOÏC:
Lyù thuyeát:
Neâu caùc tröôøng hôïp baèng nhau cuûa hai tam giaùc thöôøng, hai tam giaùc vuoâng? Veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän?
Neâu ñònh nghóa, tính chaát cuûa tam giaùc caân, tam giaùc ñeàu?
Neâu ñònh lyù Pytago thuaän vaø ñaûo, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän?
Neâu ñònh lyù veà quan heä giöõa goùc vaø caïnh ñoái dieän trong tam giaùc, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Neâu quan heä giöõa ñöôøng vuoâng goùc vaø ñöôøng xieân, ñöôøng xieân vaø hình chieáu, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Neâu ñònh lyù veà baát ñaúng thöùc trong tam giaùc, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Neâu tính chaát 3 ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Neâu tính chaát ñöôøng phaân giaùc cuûa moät goùc, tính chaát 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Neâu tính chaát ñöôøng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng, tính chaát 3 ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc, veõ hình, ghi giaû thuyeát, keát luaän.
Moät soá phöông phaùp chöùng minh trong chöông II vaø chöông III
Chöùng minh hai ñoaïn thaúng baèng nhau, hai goùc baèng nhau:
Caùch1: chöùng minh hai tam giaùc baèng nhau.
Caùch 2: söû duïng tính chaát baéc caàu, coäng tröø theo veá, hai goùc buø nhau .v. v. 
Chöùng minh tam giaùc caân: 
Caùch1: chöùng minh hai caïnh baèng nhau hoaëc hai goùc baèng nhau. 
Caùch 2: chöùng minh ñöôøng trung tuyeán ñoàng thôøi laø ñöôøng cao, phaân giaùc 
Caùch 3:chöùng minh tam giaùc coù hai ñöôøng trung tuyeán baèng nhau v.v.
Chöùng minh tam giaùc ñeàu: 
Caùch 1: chöùng minh 3 caïnh baèng nhau hoaëc 3 goùc baèng nhau.
Caùch 2: chöùng minh tam giaùc caân coù 1 goùc baèng 600.
Chöùng minh tam giaùc vuoâng:
Caùch 1: Chöùng minh tam giaùc coù 1 goùc vuoâng.
Caùch 2: Duøng ñònh lyù Pytago ñaûo.
Caùch 3: Duøng tính chaát: “ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi moät caïnh baèng nöõa caïnh aáy thì tam giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng”.
Chöùng minh tia Oz laø phaân giaùc cuûa goùc xOy:
Caùch 1: Chöùng minh goùc xOz baèng yOz.
Caùch 2: Chöùng minh ñieåm M thuoäc tia Oz vaø caùch ñeàu 2 caïnh Ox vaø Oy.
Chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoaïn thaúng, goùc. Chöùng minh 3 ñieåm thaúng haøng, 3 ñöôøng ñoàng qui, hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc v. v. . . (döïa vaøo caùc ñònh lyù töông öùng).
Baøi taäp aùp duïng :
Baøi 1 : Cho ABC caân taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AB=5cm, BC=6cm.
Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BH, AH?
Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng ba ñieåm A,G,H thaúng haøng?
Chöùng minh: ?
Baøi 2: Cho ABC caân taïi A. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC.
Chöùng minh : ABM = ACM
Töø M veõ MH AB vaø MK AC. Chöùng minh BH = CK
Töø B veõ BP AC, BP caét MH taïi I. Chöùng minh IBM caân.
Baøi 3 : Cho ABC vuoâng taïi A. Töø moät ñieåm K baát kyø thuoäc caïnh BC veõ KH AC. Treân tia ñoái cuûa tia HK laáy ñieåm I sao cho HI = HK. Chöùng minh : 
AB // HK
 AKI caân
 AIC = AKC
Baøi 4 : Cho ABC caân taïi A (), veõ BD AC vaø CE AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE.
Chöùng minh : ABD = ACE
Chöùng minh AED caân
Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED
Treân tia ñoái cuûa tia DB laáy ñieåm K sao cho DK = DB. Chöùng minh 
Baøi 5 : Cho ABC caân taïi A. Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm D, treân tia ñoái cuûa tia CA laáy ñieåm E sao cho BD = CE. Veõ DH vaø EK cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng BC. Chöùng minh : 
HB = CK
HK // DE
 AHE = AKD
Goïi I laø giao ñieåm cuûa DK vaø EH. Chöùng minh AI DE.
BÀI 1). Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ
H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).
a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. Chứng minh BC ⊥ Ox.
c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2OD.
BÀI 2)Cho ∆ABC vuông ở C, có Aˆ = 600 , tia phân giác của góc BAC
cắt BC ở E, kẻ EK vuông góc với AB. (K AB), kẻ BD vuông góc AE (D AE).
Chứng minh a) AK=KB b) AD=BC
Bài 3: Cho ∆ABC cân tại A và hai đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại K
a) Chứng minh rBNC= rCMB
b)Chứng minh ∆BKC cân tại K
c) Chứng minh BC < 4.KM
Bài 4): Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE.
 Chứng minh rằng 
a) BD là trung trực của AE
b) DF = DC
c) AD < DC;
d) AE // FC.
Bài 5)Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B có số đo bằng 600 . Vẽ AH vuông
góc với BC, (H ∈ BC ) .
a. So sánh AB và AC; BH và HC;
b. Lấy điểm D thuộc tia đối của tia HA sao cho HD = HA. Chứng minh rằng hai tam giác AHC và DHC bằng nhau.
c. Tính số đo của góc BDC.
Bài 6 . Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB tại E, kẻ MF vuông góc với AC tại F.
 a. Chứng minh ∆BEM= ∆CFM .
b. Chứng minh AM là trung trực của EF.
c. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau tại D. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.
Bài 7)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng. c) Chứng minh hai góc ABG và ACG bằng nhau
Bài 8): Cho ∆ABC có AC > AB, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho MD = MA . Nối C với D
a. Chứng minh .Từ đó suy ra:
b. Kẻ đường cao AH. Gọi E là một điểm nằm giữa A và H. So sánh HC và
HB; EC và EB.
Bài 9)Cho ∆ABC (Â = 900) ; BD là phân giác của góc B (D∈AC). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE.
a) Chứng minh DE ⊥ BE.
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE.
c) Kẻ AH ⊥ BC. So sánh EH và EC.
Bài 10): Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH. 
 a. Chứng minh HB > HC
b. So sánh góc BAH và góc CAH.
c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN.
Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân.
Bai 11)Cho góc nhọn xOy, trên 2 cạnh Ox, Oy lần lượt lấy 2 điểm A và B sao cho OA = OB, tia phân giác của góc xOy cắt AB tại I. 
a) Chứng minh OI ⊥ AB .
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OI.
Chứng minh BC ⊥ Ox .
Bài 12) Cho tam giác ABC có \ = 900 , AB = 8cm, AC = 6cm .
a. Tính BC .
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE= 2cm;trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC . 
c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC .