Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

A.đặt vấn đề
i. lời mở đầu.
 Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán như : 
 - Rút gọn phân thức.
Giải phương trình, giải bất phương trình.
Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ.
Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
 Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải tư duy, có kiến thức tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần nhuyễn, hợp lý. Để làm được việc này ít nhất là người học sử dụng thành thạo các tính chất, quy tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức. Đặc biệt phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển được các hằng đẳng thức tổng quát.
 Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp . Ngoài 3 phương pháp cơ bản : 
Đặt nhân tử chung.
Nhóm nhiều hạng tử.
Dùng hằng đẳng thức.
 Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phương pháp :
Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Thêm bớt cùng một hạng tử.
 Ngoài ra có thể sử dụng những phương pháp khác : 
Đặt ẩn phụ (biến đổi).
Hệ số bất định.
 Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp khác nhau do đó khi giảng dạy người giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp để giải quyết một cách nhanh chóng. Khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi .Giúp các em lựa chọn phương pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó.
 Vì vậy tôi xin nêu ra phương pháp tôi đã sử dụng trong giảng dạy, đó là “Rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử ”cho học sinh lớp 8.
II . THựC TRạNG VấN Đề NGHIÊN CứU.
THựC TRạNG 
 Qua những năm giảng dạy môn toán ở lớp 8,tôi thấy nhiều học sinh còn lúng túng khi gặp các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .Cũng có nhiều nguyên nhân dẫn đến điều này, nhưng theo tôi nguyên nhân chính là :
+Kiến thức cơ bản cần sử dụng vào bài toán phân tích đa thức thành nhân tử các em nắm chưa vững 
+Gặp một số dạng toán mà sách giáo khoa chưa giải quyết được 
 Chẳng hạn khi nói đến các dạng toán : “Phân tích đa thức thành nhân tử ” ở lớp 8 nhiều em còn vướng mắc khi sử dụng ở một số phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ (biến đổi), hệ số bất địnhVì thế mà các em còn ngại , chán nạn khi chưa tìm ra hướng giải và khi giải các em còn không biết cách phân tích dẫn đến mắc một số sai lầm không đáng có cụ thể:
 Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
 3x2 – 8x + 4 
 -Học sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này chưa biết nên tách hạng tử nào,nhiều em còn sai lầm đi nhóm nhân tử chung : 3x2 – 8x + 4 = x (3x - 8) + 4 đến đây các em mất phương hướng giải . 
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
 4x4 + 81
 - Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vướng mắc, chưa nói đến học sinh trung bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm sẽ đúng vì học sinh chưa hiểu được 4x4 + 81 khi thêm, bớt 36x2 thì bài toán sẽ có dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh cần xem áp dụng được pháp nào?
 2 . kết quả điều tra khảo sát.
 Khi chưa thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài như sau :
 Phân tích đa thức thành nhân tử
 a , 4xy + 3x2y b, x2 - 4
 c, x2 +x -2x3 -2 d , 2x2 – 4xy + 2y2
 e, (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2
 Qua bài khảo sát cho thấy một số học sinh còn đang mơ hồ về các phương pháp đã học ,quá trình làm bài chưa tự tin hoặc đi sai vấn đề,chưa hợp lí.
 Kết quả đạt được như sau: 
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
32
1
3,1
6
18,8
12
37,5
5
15,6
8
25,0
8B
32
1
3,1
7
21,9
13
40,6
6
18,8
5
15,6
 b. giải quyết vấn đề :
 i. giải pháp thực hiện:
 - Ôn lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để phân tích đa thức thành nhân tử .
 - Dựa vào các phương pháp đã học ta có thể phân loại các bài toán để học sinh phát hiện , nhận dạng và có hướng giải quyết ,không đi sai lệch với đề bài đưa ra , học sinh nhận dạng được bài toán yêu cầu là tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt hạng tử hay tách hạng tử đó là cơ sở để học sinh tháo gỡ vấn đề.
 - Dạng toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử ” có thể áp dụng ngay các tiết học ở trên lớp ,ngoài ra có thể hướng dẫn các em một số phương pháp mới ở các buổi học phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu hơn.
 Ii . biện pháp tổ chức thực hiện
 pHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thông thường.
1.1 – Phương pháp đặt nhân tử chung. 
a . Phương pháp :
 Tìm nhân tử chung là đơn , đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Xem các số hạng của đa thức có thừa số chung hay không? Nếu có ta đặt nó làm một thừa số của đa thức bằng cách đặt nó ra ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phương pháp này dựa trên tính chất : 
 A.B + A.C + ..+ A.F = A (B + C + ..+ F)
 Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử .
 A = 15a2b2 - 9a3b + a2b3 
Với định hướng câu hỏi như trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là 3a2b
Đặt 3a2b làm thừa số chung ta được: A = 3a2b (5b – 3a –b2)
 1.2 – Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
a. Phương pháp :
 Để sử dụng các hằng đẳng thức đưa các đa thức về dạng một tích các đa thức hoặc luỹ thừa của một đa thức học sinh cần phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thúc đáng nhớ và các hằng đẳng thức tổng quát.
 1, a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
 2, a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
 Mở rộng : a2 + b2 + c2+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)2 
 3, a2 - b2 = (a + b)(a - b)
 4, a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
 5, a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
 6, (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3
 7, (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 
 Sau đó xét xem có thể phân tích đa thức thành thừa số bằng cách sử dụng một trong các hằng đẳng thức trên hay không ?
 b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
 ở ví dụ này các số hạng có nhân tử chung không? Các số hạng có lập thành hằng đẳng thức nào không ? Đa thức này có 4 hạng tử,nhận xét xem các hạng tử có đặc điểm gì, từ đó suy ra nó thuộc hằng đẳng thức nào?
 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x - y)3
– Phương pháp nhóm nhiều hạng tử :
– Phương pháp :
 Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
 Tiếp tục áp dụng các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Đối với phương pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó viết được đa thức đã cho thành nhân tử .
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử :
 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – 2 
 ở đa thức này các hạng tử không có nhân tử chung , không lập thành hằng đẳng thức.Vậy nên nhóm các số hạng như thế nào để xuất hiện nhân tử chung mới?
 2x2 + 2y2 – x2z + z – zy2 – 2 = (2x2 – x2z ) + (2y2 – y2z) + (z - 2)
 = x2 (2 - z) + y2 (2 - z) – 2 – z = (x2 + y2 - 1) (2 - z) 
 Ngoài ba phương pháp trên có thể phối hợp đồng thời cả ba phương pháp để giải.
1.4.Phối hợp nhiều phương pháp:
a. Phương pháp :
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên : -Đặt nhân tử chung
 – Dùng hằng đẳng thức 
 –Nhóm nhiều hạng tử.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:
 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
 ở đa thức này xét xem có thể nhóm các số hạng thích hợp nào nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức .
 3x3 y - 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3x y(x2 - 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
 = 3xy	(x2 - 2x +1) (y2 – 2ay – a2)	 = 3xy(x -1)2 – (y- a)2
 = 3xy	(x -1) – (y+ a) . (x -1) + (y+ a) = 3xy (x -1 – y - a).(x -1 + y+ a)
1.5 . Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử :
 a.Phương pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung:
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – 6x + 8
 Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử . Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn.
 Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai).
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = (x2 - 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)
 Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3)2 – 1 
 = (x – 3 – 1)( x – 3 + 1) = (x – 4)(x -2)
1.6 . Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
 a. Phương pháp :
 Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phương hoặc nhân tử chung .
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x4 + 4 
Giáo viên có thể gợi ý : Bằng phương pháp đã học không thể giải quyết được thì ta nghĩ đến phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử 4x2 
 x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4 ) - 4x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 
 =( x2 + 2 -2x)( x2 + 2 + 2x) 
 Nhiều khi với những phương pháp thông thường trên vẫn chưa đáp ứng được yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử .Sau đây là một số phương pháp đặc biệt .
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp đặc biệt :
2.1. Phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).
a. Phương pháp :
 Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đưa được về đa thức đơn giản hơn.
 b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
 A = (x2 + 3x + 1) (x2 + 3x - 3) – 5 
 Đặt (x2 + 3x + 1) = y
 A = y(y - 4) – 5 = y2 + y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)
Thay (x2 + 3x + 1) = y vào ta có : A = (x2 + 3x + 2) (x2 + 3x - 4)
 = (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4)
2.2. Phương pháp xét giá trị riêng:
 a. Phương pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
 b.Ví dụ : P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x -y)
 Thay x bởi y thì : P = y2(y - z) + y2(z -y) = 0
 Như vậy P chưa thừa số (x - y)
 Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi, đa thức P có thể thay đổi vòng quanh .
 Do đó nếu P đa chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z)(z -x)
 Vậy P có dạng :k(x - y)(y - z)(z -x)
 Ta thấy k là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z vì đẳng thức : x2(y - z) + y2(z - c) + z2(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x)
đúng với mọi x,y,z .Nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng .
 Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= 0 ta được: 4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = 1
 Vậy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x)
Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp :
 Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
 b.Ví dụ :
 1, x3 + 11x + 30
Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x2 + bx + c)
Vì (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac
Nên x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac
Ta có 	a + b = 0
 ab + c = 11
 ac = 30
Có thể chọn: a =2, b = -2, c = 15 là bộ số thoã mãn (=> ac = 30)
Vậy x3 + 11x + 30 = (x + 2)(x2 - 2x + 15)
 2, x3 - 19x – 30
Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng :
 x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b) x2 + (ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất nên : 
 a + b = 0
 ab + c = -19
 ac = -30
 Chọn a = 2, c = -15 khi đó b = - 2 thoả mãn 
Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15)
 Phương pháp tìm nghiệm của đa thức :
a. Phương pháp :
 Cho đa thức f(x),a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 .Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức .
 Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ : x3 + 3x – 4
 Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c) => - ac = 4 => a là ước của 4.
 Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi Ư(- 4) = 
Sau khi kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức => Đa thức chứa nhân tử (x – 1)
 Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)
Cách 1: x3 + 3x2 – 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
 = (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2
Cách 2: x3 + 3x2 – 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 = (x3 - 1) + 3(x2 – 1) 
 = (x - 1)(x2 + x + 1) +3(x2 – 1) = (x - 1)(x + 2)2
Chú ý 1: 
 -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x - 1)
 - Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ: x2 - 5x + 8x – 4 có : 1 – 5 + 8 – 4
 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số (x - 1)
 x3 - 5x2 + 3x + 9 có : -5 + 9 = 1 + 3 
 Đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
 Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q .Trong đó p là ước của hạng tử không đổi ,q là ước dương của hạng tử cao nhất.
 Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x – 3
 Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ;Sau khi kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
 2x3 - 5x2 + 8x – 3 = 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x – 3 
 = x2(2x - 1) – 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x2 - 2x + 3)
Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = anxn + a(n – 1)xn – 1 ++ ao 
với a1 > a2  an Z . Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p/a0 > q/an 
Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là 
x – a dựa vào hệ quả định lý Bezout
 “ Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) x – a ”
Như vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì đa thức đó sẽ không phân tích được thành nhân tử.
 PHầN II : ứng dụng giải các bài toán phân tích 
 đa thức thành nhân tử .
Bài toán rút gọn biểu thức.
Đường lối giải : 
Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số . phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các nhân tử nằm ở dưới mẫu .
Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh .
Ví dụ : Cho A = ( - + )
Rút gọn 
Tình giá trị của A với x = 998
Giải : a. Rút gọn với x - 2; x - 3 
A = ( - + )
A = 
A = = = - 
 b. Tính A với x = 998 . A = - = - 
2 . Bài toán giải phương trình:
* Đường lối giải.
 Với các phương trình bậc 2 trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng ,vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích : A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0 
Ví dụ : Giải phương trình: (4x + 3)2 – 25 = 0
áp dụng phương pháp phân tích vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng 
(4x + 3)2 – 25 = 8(2x - 1)(x + 2) 
8(2x - 1)(x + 2) = 0
x =1/2 hoặc x = -2
áp dụng phương pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng : (2x - 1)(x + 2) = 0
 => x = 1/2 hoặc x = -2
3 . Bài toán giải bất phương trình :
* Đường lối giải .
Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức vào bất phương trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích 
(A.B 0) hay bất phương trình thường 
Ví dụ : Giải bất phương trình 
 a , - 1 > - 3
Điều kiện : x - 1 và x 1 ,bất phương trình đã cho tương đương với :
 - > 0
ú - > 0 ú + < 0 ú < 0 ú < 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có x < -1 hoặc -1/4 < x < 1
 b , x2 – 2x + 1 < 9
Giải : Cách 1: x2 – 2x + 1 < 9 ú (x - 1)2 < 9 ú < 3
ú - 3 < x – 1 < 3 ú - 2 < x < 4
Cách 2: Biến đổi thành bất phương trình dạng tích :
 x2 – 2x + 1 < 9 ú x2 – 2x - 8 < 0 ú (x + 2)(x - 4) < 0
Sử dụng phương pháp bảng ta có : - 2 < x < 4
4. Bài toán chứng minh về chia hết :
* Đường lối giải .
Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết 
Ví dụ : 
1 . Chứng minh rằng x thuộc Z ta có biểu thức P = (4x - 3)2 – 25 chia hết cho 8
Phân tích : P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 8
2 . Chứng minh rằng với n Z thì biểu thức + + là số nguyên 
Biến đổi đưa biểu thức về dạng : 
Và chứng minh : (2n + 3n2 + n3) chia hết cho 6
2n + 3n2 + n3 = n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số choa hết cho 3. Mà (2;3) = 1 nên tích này chia hết cho 6. 
 Vậy n Z thì + + là số nguyên .
 C . kết luận .
 Trên đây tôi đã hệ thống lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường hay sử dụng ở bậc trung học cơ sở và bốn loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử .Tuy nhiên có một số bài tập khác (không điển hình)có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử .Với phương pháp và bài tập vận dụng tôi nêu ở trên đã giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo tìm tòi phương pháp giải nhanh hơn , thông minh hơn .Từ các phương pháp và bài tập tôi mong các em không chỉ giải từng bài một cách máy móc mà phải biết phân tích đặc điểm của từng bài để xem xét nên vận dụng phương pháp nào vào phân tích.
 Trong quá trình giảng dạy tôi cũng đã và đang vận dụng cách làm trên đây .Tuy nhiên vì đối tượng học sinh là học sinh đại trà nên chủ yếu chỉ đi sâu vào phương pháp thông thường và một số phương pháp đặc biệt vào các buổi phụ đạo buổi chiều .Khi sử dung các phương pháp đặc biệt giáo viên cần tác động đén từng đối tượng sao cho phù hợp, như học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ ,học sinh khá ,giỏi nêu ra nét cơ bản hướng dẫn theo con đường ngắn nhất.có như vậy học sinh sẽ tích cực tìm tòi và phát huy trí lực của mình .Với định hướng phân tích như vậy tôi thấy số lượng học sinh làm được bài tập có tăng hơn và các em cảm thấy tự tin hơn khi bắt gặp các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử .Cụ thể khi làm phiếu điều tra ở hai lớp 8A, 8B với đề bài :
 Phân tích đa thức thành nhân tử
 a , 2x(y - z) + 5y(y - z) b , 9x2 – 4
 c , 2x3 + 2x – 3x2 -3 d , 4x2 + 4x – 3
 e , B = 6x4 – 11x2 + 3
Kết quả cho thấy : 
 - Học sinh không còn nhầm lẫn giữa các phương pháp
 Biết lựa chọn và trình bày phương pháp hợp lí, chặt chẽ.
Tự tin ,sáng tạo hơn khi làm bài.
 Cụ thể: 
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
32
3
9,4
10
31,3
15
46,9
2
6,2
2
6,2
8B
32
3
9,4
9
28,1
15
46,9
3
9,4
2
6,2
 Qua quá trình viết đề tài, qua học hỏi kinh nghiệm của nhiều anh, chị đi trước tụi mạnh dạn viết lại những gỡ mỡnh đó làm, tuy tuổi nghề sư phạm chưa được nhiều và thấu đỏo.Trong quỏ trỡnh dạy, đối với từng đối tượng mà tụi điều chỉnh sao cho phự hợp với cỏc em, đụi lỳc giỏo viờn phải theo sự tiếp thu của học sinh mà đặt cõu hỏi sao cho dễ hiểu, cú thể giỳp gợi mở để cỏc em tư duy. Nhưng bài đưa ra khụng nờn quỏ dễ, phải cú dễ, phải cú khú dần, học sinh sẽ khụng nản mà sẽ tỡm cỏch để giải quyết bài toỏn tốt hơn.
 Mục đớch của tụi là làm như thế nào rỳt ra được kinh nghiệm cho bản thõn, giỳp cho khả năng dạy học của mỡnh nõng cao hơn, giảm thiểu học sinh chỏn học.
 Đồng thời cũng rất mong sự đúng gúp chõn thành từ cỏc bạn, anh, chị đồng nghiệp, của hội đồng khoa học cỏc cấp để tụi cú thờm những kinh nghiệm quý bỏu trong dạy học. Bởi theo tụi nghĩ ở bất kỡ đõu, làm bất kỡ một việc gỡ muốn hoàn thành tốt cụng việc thỡ đũi hỏi phải cú phương phỏp đỳng, cú sự rốn luyện, sự nỗ lực tự phấn đấu vươn lên của mỗi cỏ nhõn mỡnh .
 Khi dạy dạng toán này tôi rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm sau :
 + Cần cũng cố một số kiến thức cơ bản khi dạy dạng toán này để hộ trở lúc làm bài cho học sinh.
 + Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó .
+ Hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm tòi, lựa chọn phương pháp phù hợp giải quyết bài toán một cách nhanh chóng .
 * Qua thực tế để phát huy hiệu quả và tính khả thi của đề tài tôi có các đề xuất và kiến nghị như sau: 
1.Nhà trường,các giáo viên bộ môn cần tăng cường kiểm tra việc học tập và chuẩn bị bài của học sinh một cách liên tục .
2 .Nhà trường nên tạo điều kiện mở một thư viện có nhiều sách tham khảo cho học sinh.
3 .Khuyến khích khả năng tự học,tự thành lập câu lạc bộ toán học để thu hút các học sinh yêu toán.
4. Tổ chức các lớp đào tạo học sinh mũi nhọn ,trang bị phương pháp học toán cho học sinh.
 Tụi xin trõn trọng cảm ơn!
 Đại Lộc, ngày 20 /3/ 2010
	Người thực hiện:
 Nguyễn Thị Quỳnh Anh