Thực hiên phép tính với toán có quy luật - Hoàng Dương

 Mục lục
A. Đặt vấn đề .
B. Nội dung và phương pháp ............
I. Tình hình chung ..................................................
II. Những vấn đề được giải quyết...........
III. Phương pháp tiến hành.............
1. Kiến thức cơ bản............
2. Kiến thức bổ sung.............................................
3. Một số dạng bài tập và phương pháp chung
3.1. Dạng 1: Quy luật với số nguyên......
 1.1 Phương pháp........
 1.2 Một số ví dụ.....
 1.3 Bài tập tương tự ..... 
 1.4 Tiểu kết......
3.2. Dạng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác 1...
3.2.1.Dạng 2.1: Tách phân số.......................
	 2.1.1 Phương pháp..............
 2.1.2 Một số ví dụ.......
 2.1.3 Bài tập tương tự ....... 
 2.1.4 Tiểu kết.....
3.2.2.Dạng 2.2: Phân số có dạng cấu trúc số..........
 2.2.1 Phương pháp...........
 2.2..2 Một số ví dụ.....
 2.2.3 Bài tập tương tự ....... 
 2.2.4 Tiểu kết........
3.2.3.Dạng 2.3: Một số trường hợp khác....
 2.3.1 Phương pháp.......
 2.3.2 Một số ví dụ.......
 2.3.3 Bài tập tương tự .... 
 2.3.4 Tiểu kết........
3.3. Dạng 3: Quy luật với lũy thừa............
 3.1 Phương pháp........
 3.2 Một số ví dụ.....
 3.3 Bài tập tương tự ..... 
 3.4 Tiểu kết......
IV. Kết quả ..............................................................................
V. Vấn đề còn hạn chế........................................
VI. Điều kiện áp dụng.............
VII. Hướng đề xuất tiếp tục nghiên cứu............... 
C. Kết Luận.......................................................................................
Tài liệu tham khảo.....................................................................
Trang
2
3
3
3
3
3
4
5
5
5
5
10
11
11
11
11
12
20
21
21
21
22
23
23
24
24
24
27
27
27
27
28
36
37
37
38
38
38
39
40
 A. Đặt vấn đề
 Nhà toán học Đức - Gauss được mệnh danh là vua của các nhà toán học đã tính được tổng 1 + 2 + 3 + 4 +  + 99 + 100 rất chính xác và cách giải còn rất độc đáo từ khi ông còn rất nhỏ. Ngày nay, học sinh tiểu học cũng được làm các bài toán như vậy. Có thể nói đây là bài toán cơ bản nhất, đơn giản nhất trong các bài toán có quy luật.
 Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán, tôi thấy học sinh được tiếp cận với toán có quy luật từ rất sớm, nhưng học đến lớp 6, lớp 7 mà nói đến nó thì hầu hết các em đều lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu, làm như thế nào, thấy khó nên các em thường bỏ qua các bài toán quy luật, có tâm lí sợ làm bài tập liên quan đến quy luật Điều này cũng dễ hiểu và thông cảm cho học sinh vì trong tay các em chưa có nhiều công cụ hỗ trợ ngoài một vài công thức cơ bản trong sách giáo khoa, mà loại toán này lại đòi hỏi các em phải có phương pháp học nghiêm túc, chăm chỉ, phải nắm vững kiến thức và biết cách vận dụng linh hoạt những kiến thức đó, phải biết phân tích và tổng hợp để tìm ra mối liên hệ giữa kiến thức trước và kiến thức sau, bài tập trước và bài tập sau ... Và một điều đặc biệt là phải không ngừng tư duy, suy luận logic để tìm ra lời giải cho bài toán. Và cũng phải công nhận rằng toán có quy luật là một trong những mảng kiến thức rộng, hay và khó trong chương trình toán THCS. Tuy nhiên, các loại sách tham khảo lại ít đề cập đến nó, nếu có thì cũng chỉ là mỗi quyển xuất hiện một vài câu nhỏ, không đưa ra được nhiều quy luật khác nhau, cũng như chưa đề cập đến các dạng bài có thể gặp Đây là vấn đề gây rất nhiều khó khăn cho những người muốn tìm hiểu và chinh phục những bài toán có quy luật, vì không có kiến thức về quy luật, không có bài tập để luyện, để khắc sâu Chính vì vậy mà loại toán này chưa chiếm được cảm tình của người học.
 Vì rất nhiều lí do trên mà tôi đã quyết định đi sâu nghiên cứu về toán có quy luật. Trong các dạng toán về quy luật thì dạng bài tập thực hiện phép tính là dạng bài tập cơ bản nhất, có thể nói nó là nền tảng cho các dạng bài tập khác. Vì vậy, với chuyên đề này tôi xin được trình bày một số nội dung về dạng bài “Thực hiện phép tính với toán có quy luật”. Hy vọng rằng thông qua chuyên đề này, tôi có thể giúp toán quy luật chinh phục sự hăng say học tập của học sinh, đồng thời cung cấp những kiến thức cơ bản cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp tính toán với các quy luật cho từng đối tượng học sinh. Bên cạnh đó, giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và các bạn yêu toán quy luật nói riêng. 
 B. nội dung và phương pháp
I. Tình hình chung.
 Thông qua giảng dạy, tôi thấy hầu hết học sinh cứ thấy bài toán có chứa quy luật là sợ. Đặc biệt là những bài kồng kềnh, phức tạp, hoặc dạng tổng quát bỏ qua luôn. Như đã nói ở trên “Thực hiện phép tính với toán có quy luật” là dạng bài tập cơ bản nhất, nhưng cũng rất đa dạng và phong phú. Học sinh được tiếp cận sớm nhưng hiệu quả học tập của các em lại chưa cao vì trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ nhẹ nhàng, vừa phải, nhưng khi thầy-cô thay đổi một chút là các em gặp phải khó khăn chồng chất: Làm bằng cách nào ? Làm như thế nào ? Chứ chưa cần trả lời câu hỏi: Làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn, độc đáo hơn ?
 Bên cạnh đó là loại toán này trong các sách tham khảo được trình bày tản mạn, rải rác, không cô đọng lí thuyết, phương pháp, bài tập không hệ thống ... Chính vì vậy mà tôi chọn chuyên đề này để nghiên cứu và dạy cho học sinh nhằm bổ sung cho các em phần kiến thức cần có trong chương trình toán THCS, cùng với mong muốn giúp các em học tốt hơn phần toán có quy luật, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán quy luật hay và khó.
II. Những vấn đề được giải quyết.
 Qua quá trình nghiên cứu và thực tế giảng dạy phần thực hiện phép tính với toán có quy luật tôi đã chia dạng loại toán này như sau:
 Dạng 1: Quy luật với số nguyên.
 Dạng 2: Quy luật với phân số có mẫu số khác 1. 
 Dạng 3: Quy luật với lũy thừa.
III. Phương pháp tiến hành.
1. Kiến thức cơ bản:
1.1. Phép cộng:
 * Với mọi số nguyên a, b:
+) Khi a, b cùng dương: 
+) Khi a, b cùng âm: 
+) Khi a, b đối nhau: a + b = 0
+) Khi a ≥ 0, b ≤ 0 và : 
+) Khi b ≥ 0, a ≤ 0 và : 
+) Khi a > 0, b < 0 và : 
+) Khi a 0 và : 
* Với mọi số hữu tỉ x, y:
+) Khi , (m ≠ 0): 
+) Khi , (b ≠ d; b,d ≠ 0): 
* Lưu ý: –(–x) = x
 x – y = x + (–y)
* Tính chất của phép cộng:
+) : x + y = y + x
+) : (x + y)+ z = x + (y + z)
+) : x + 0 = 0 + x = x
+) : x.( y + z) = xy + yz
1.2. Phép nhân:
* Với mọi số nguyên a, b:
+) Khi a, b cùng dấu: 
+) Khi a, b khác dấu: 
* Với mọi số hữu tỉ x, y:
 Khi , (b,d ≠ 0): 
1.3. Lũy thừa:
 và ta có:
+) xm.xn = xm+n
+) xm :xn = xm – n Với x ≠ 0 và m ≥ n
+) (xn)m = xn.m
+) (x.y)n = xn.yn
+) (x:y)n = xn: yn Với y ≠ 0
+) x0 = 1 Với x ≠ 0
+) (–x)2n = x2n Với 
+) –x2n+1 = (–x)2n+1 Với 
2. Kiến thức bổ sung:
2.1. Quy tắc dấu ngoặc: 
+) (a – b + c) = +(a – b + c) = a – b + c
+) – (a – b + c) = – a + b – c
2.2. Tính chất cơ bản của phân số:
 Với mọi số nguyên a, b, m khác 0 ta có:
+) 
+) Với n ƯC(a,b)
2.3. Cấu trúc số:
 ; a, n ≠ 0 ta có:
+) = 
 Thật vậy: = 
 = 
	 = 
	 = 
 Biến đổi tương tự ta được:
+) = 
+) = 
3. Một số dạng bài tập và phương pháp chung.
3.1. Dạng 1: Quy luật với số nguyên
 1.1. Phương pháp: 
+) Nếu quy luât có khoảng cách cố định thì ta làm như sau:
- Tìm ra quy luật.
- Tính số các số hạng của tổng theo công thức:
 (Số lớn nhất – Số nhỏ nhất) : Khoảng cách + 1
- Tính tổng theo công thức: (Số đầu + Số cuối) . Số số hạng : 2
+) Nếu quy luật có khoảng cách không cố định thì ta làm như sau:
- Tìm ra quy luật.
- Vận dụng linh hoạt các tính chất của các phép toán để biến đổi đầu bài, tìm ra cách tính hợp lí nhất.
+) Chú ý: Không tính toán bằng cách tính thông thường.
 1.2. Một số ví dụ:
 Ví dụ 1. Tính các tổng sau:
a) A1 = 1 + 2 + 3 + 4 +  + 2010 + 2011 + 2012
b) A2 = 98 + 93 + 88 + 83 +  + 13 + 8 +3
c) A3 = 1 +4 +7 +10 +  + 2008 + 2011 + 2011 + 2006 +2001 +  + 11 + 6 +1
* Nhìn đề câu a học sinh biết ngay đây là tổng của 2012 số tự nhiên liên tiếp nên có thể tính ngay A1 theo công thức có trong tay: a) Tổng từ 1 đến 2012 có: ( 2012 – 1 ) : 1 + 1 = 2012 số hạng. 
 A1 = ( 1 + 2012 ) . 1012 : 2 = 2013 . 2012 : 2 = 2 025 078.
 Vậy: A1 = 2 025 078.
* Tìm ra quy luật ở câu b cũng không mấy khó khăn nên các em học sinh cũng có thể tính A2 rất nhanh:
b) Tổng A2 có: ( 98 – 3 ) : 5 + 1 = 95 : 5 + 1= 19 +1 = 20 số hạng.
 A2 = ( 98 + 3 ) . 20 : 2 = 101 . 20 : 2 = 1 010.
 Vậy: A2 = 1 010.
* Thoạt nhìn câu c có vẻ thấy quy luật đây rồi, nhưng lại thắc mắc: các số hạng của dãy tăng dần rồi lại giảm dần, đoạn giữa không theo một quy luât Trước sự lúng túng của các em, giáo viên có thể gợi ý nhỏ: Không theo một quy luật thì có thể là hai quy luật chăng?
 Chắc chắn sau khi nghe giáo viên hỏi các em sẽ biết tách A3 thành hai tổng:
A3 = (1 +4 +7 +10 +  + 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 +  + 11 + 6 +1)
+) Tổng 1 +4 +7 +10 +  + 2008 + 2011 có: (2011 – 1) : 3 + 1 = 671 số hạng.
Do đó: 1 +4 +7 +10 +  + 2008 + 2011 = (1+2011).671:2 = 675 026. 
+) Tổng 2011 + 2006 +2001 +  + 11 + 6 +1 có: (2011 – 1) : 5 + 1 = 403 số hạng.
Do đó: 2011 + 2006 +2001 +  + 11 + 6 +1 = (2011+1).403:2 = 405 418.
Khi đó: A3= (1 +4 +7 +10 ++ 2008 + 2011) + (2011 + 2006 +2001 ++ 11 + 6 +1)
	= 675 026 + 405 418	
 = 1 080 444.
 Vậy: A3 = 1 080 444.
 Ví dụ 2. Tính bằng phương pháp hợp lí:
a) B1 = 1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – 7 +  + 2010 – 2011 + 2012
b) B2 = 1 – 3 – 5 + 7 + 9 – 11 – 13 + 15 +  + 393 – 395 – 397 + 399
c) B3 = – 1 + 7 – 13 + 19 – 25 + 31 –  với B3 có 40 số hạng.
d) B4 = 1–5+9 –13+17–21+25+  với B4 có n số hạng (n là một số tự nhiên khác 0)
* Làm xong ví dụ 1 thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra quy luật ở ví dụ 2: quy luật về dấu “+” và dấu “ –”, có thể nhóm hợp lí nhưng lại bế tắc vì không tìm được khoảng cách, không tính được số các số hạng ở câu a và câu b. Lúc này giáo viên có thể gợi mở: Đừng để ý đến dấu phép toán mà hãy quan tâm đến phần số thôi, ta sẽ tính được số số hạng một cách dễ dàng: 
a) Từ 1 đến 2012 có: (2012 – 1):1 +1 = 2012 số
B1 = (1 + 2012) + (2 – 3) + (4 – 5) + (6 – 7) +  + (2010 – 2011)
B1 = (1 + 2012) + 
B1 = 2013 + (– 1).1005 
B1 = 2013 + (– 1005)
B1 = 1008.
 Vậy: B1 = 1008.
b) Các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 399 có: (399 – 1):2 +1 = 200 số 
B2 = (1 – 3 – 5 + 7) + (9 – 11 – 13 + 15) +  + (393 – 395 – 397 + 399)
B2 = 
B2 = 0.
Vậy: B2 = 0.
c) B3 = – 1 + 7 – 13 + 19 – 25 + 31 –  với B3 có 40 số hạng.
 Đến câu c thì các em sẽ thấy khó khi gặp dấu “  ” ở cuối dãy. Liệu có phải đi tìm và viết ra các số hạng ở cuối dãy rồi mới thực hiện tính toán được không ? Không cần, giáo viên hãy hướng dẫn các em lưu ý đến tổng B3 có 40 số hạng:
 B3 = (– 1 + 7) + (– 13 + 19)  ... y luật ta đã biết cách tính không?
a) 12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 
 Ta thấy cơ số là các số tự nhiên liên tiếp nên có thể tách như sau:
 = 1+ 2(1+1)+ 3(2+1)+ 4(3+1)+  + n[(n–1)+1]
 = 1+ 1.2+ 2 + 2.3+ 3 + 3.4 + 4+  + (n–1)n + n
 = (1 + 2 +3 +4 +  + n) +[1.2 + 2.3 + 3.4+  + (n–1)n]
 Vậy: 
b) 22 + 42 + 62 + 82 +  + (2n)2 
 Câu này không thể tách giống câu a được vì cơ số là các số chẵn liên tiếp. Ta thấy các số chẵn liên tiếp thì hơn - kém nhau 2 đơn vị, điều này có gợi cho chúng ta điều gì không ? Học sinh chỉ có thể làm được dưới sự dẫn dắt của giáo viên:
 22 + 42 + 62 + 82 +  + (2n)2 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
 Có học sinh phát hiện ra cơ số ở câu b gấp 2 lần cơ số ở câu a, có thể biến đổi câu b về câu a không ? Ta có một cách làm khác: 
 22 + 42 + 62 + 82 +  + (2n)2 = (2.1)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + (2.4)2 +  + (2.n)2 
	 = 22.12 + 22.22 + 22.32 + 22.42 +  + 22.n2 
	 = 22.(12 + 22 + 32 + 42 +  + n2 )
	 = 
	 = 
c) 12 + 32 + 52 + 72 +  + (2n+1)2 
 Câu này có cơ số là các số lẻ liên tiếp, có thể làm tương tự như cơ số chẵn liên tiếp ở câu b không ?
 12 + 32 + 52 + 72 +  + (2n+1)2 
 = .[ 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +  + (2n+1).(2n+1).2 ]
 = .[ 1.2+ 3.6 + 5.10 + 7.14 +  + (2n+1).(4n+2) ]
 = .{ 1.2 + 3.(2+4) + 5.(4+6) + 7.(6+8) +  + (2n+1).[(2n)+(2n+2)] }
 = .[ 1.2 + 2.3 + 3.4+ 4.5 + 5.6+ 6.7 +7.8 +  + (2n)(2n+1)+ (2n+1)(2n+2)]
 = 
 = 
 Khi có công thức tính ở câu a và câu b rồi thì ta cũng có thể sử dụng chúng để tính câu c, ta sẽ biến đổi:
 12 + 32 + 52 + 72 +  + (2n+1)2 
 = [12 + 22 + 32 + 42 +  + (2n+1)2 ] - [ 22 + 42 + 62 + 82 +  + (2n)2 ]
 = 
 = 
d) 102 + 112 + 122 + 132 +  + 492 + 502 
 Quy luật này, với cơ số là các số tự nhiên liên tiếp thì các em có thể áp dụng cách làm cũng như kết quả của câu a. 
 102 + 112 + 122 + 132 +  + 492 + 502 
= 10.(1+9) + 11.(1+10) + 12.(1+11) + 13.(1+12) +  + 49.(1+48) + 50.(1+49) 
= 10 +9.10 + 11 + 10.11 + 12 + 11.12 + 13 + 12.13 + ... + 49 + 48.49 + 50 + 49.50
= (10+11+12+13+ ...+ 49+50) + (9.10+10.11+11.12+12.13+ ... + 48.49+ 49.50)
= (10+11+12+ ...+ 49+50) + [(1.2+2.3+ ... +8.9+9.10+ ... + 48.49+ 49.50)–(1.2+2.3+ ...+ 8.9)]
= 
= 
= 30.41 + (49.50.17 – 8.3.10)
= 1 230 + 41 650 – 240
= 42 640
 Hoặc:102 + 112 + 122 + 132 +  + 492 + 502 
 = (12+22+32+ ... + 92+102 + 112 +  + 492+502) – (12+22+32+ ... + 92)
 = 25.17.101 – 3.5.19
 = 42 640
e) 
 Với quy luật dấu đan xen như thế này, học sinh thường biến đổi dấu “ – ” thành dấu “+”, bằng cách nhóm hợp lí:
= (12 + 32 + 52 +  + 20112) – (22 + 42 + 62 +  + 20102 )
 Sau đó áp dụng kết quả của câu b và câu c ở ví dụ 1, ta có:
 (12 + 32 + 52 +  + 20112) – (22 + 42 + 62 +  + 20102 )
= 
= 
= 
= 2011.1006
= 2 023 066
 Vậy: = 2 023 066
 Hoặc đưa về dạng câu a ở ví dụ 1:
= (12 + 22 + 32 + 42 +  + 20112) – 2.(22 + 42 + 62 +  + 20102 )
= (12 + 22 + 32 + 42 +  + 20112) – 2.22 (12 + 22 + 32 +  + 10052)
= 2011.1006.1341 – 4.335.1006.2011
= 2011.1006.(1341 – 4.335)
= 2011.1006.1 
= 2 023 066
Ví dụ 3. Tính:
a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+  + 98.992
b) 
c) 
 Đã làm nhiều bài tập quy luật rồi, kiến thức và kỹ năng cũng tích lũy được tương đối, nhưng gặp bài này lại khác hơn một chút, các em học sinh lúc nào cũng thấy mình ở trong tư thế “với” lấy kiến thức và rất cần đến sự giúp đỡ của thầy-cô.
 a) 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+  + 98.992
 Gặp cơ số thay đổi ở những câu trên đã khó, câu này còn phức tạp hơn nhiều. Mặc dù đang bị cuốn hút khi tính toán với quy luật, nhưng hầu hết các em đều lùi bước, bỏ cuộc khi gặp câu này vì không định hướng được cách làm. Lúc này, vai trò của giáo viên rất quan trọng, gợi mở giúp các em tư duy cao hơn nữa:
 1.22+ 2.32+ 3.42+ 4.52+  + 98.992
= 1.2.2+ 2.3.3+ 3.4.4+ 4.5.5+  + 98.99.99
= 1.2.(3–1)+ 2.3.(4–1)+ 3.4.(5–1)+ 4.5.(6–1)+  + 98.99.(100–1)
= 1.2.3 –1.2 + 2.3.4–2.3+ 3.4.5–3.4+ 4.5.6–4.5+  + 98.99.100–98.99
= (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6+  +98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5+  +98.99)
= 
= 98.99.25.101 – 98.33.100
= 98.33.25.(3.101 – 4)
= 98.33.25.299
= 24 174 150
b) 
 Nếu các tử số của câu này là 1 thì đơn giản rồi, nhưng các tử số lại là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần nên các em không biết phải làm như thế nào. Thầy-cô hãy động viên các em không cần quan tâm đến các tử số, cứ thử làm theo cách mà em biết, như câu d và câu e ở ví dụ 1:
 W= 
 3.W= 
	 3.W= 
	 W= 
 3.W + W=
 4.W=
 Đến đây thì học sinh thấy quen thuộc rồi, và có thể tính trong ngoặc riêng:
 3.
 3.Q + Q = 
	 4.Q = 
	Q = 
 Học sinh thường mất điểm ở đoạn này vì kết luận luôn giá trị cần tìm thay cho việc phải tính tiếp:
 Khi đó: 
 4.W= 
 4.W= 
 4.W= 
 W= 
c) 
 Nhìn thấy quy luật nhưng chỉ có thể tính ở trong ngoặc:
= 
= 
 Đến đây mà thực hiện nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu thì sẽ không tìm được đáp số cho bài toán. Ta phải tìm cách rút gọn các thừa số chung của tử và mẫu. Nhưng làm thế nào để xuất hiện các thừa số chung đó thì lại là cả một vấn đề.
 Quan sát các mẫu số thấy ngay quy luật, nhưng tử số theo quy luật nào? Có thể biến đổi tử số thành tích theo cùng một quy luật không ?
= 
= 
= 
= 
 Vậy: = 
3.3. Bài tập tương tự:
Bài 1. Tính:
a) ; b) 
c) ; d) 
e) ; g) 511 + 513 + 515+  + 597 + 599
h) 12 + 22 + 32 + 42 +  + 1002 ; i) 22 + 42 + 62 + 82 +  + 502 
k) 12 + 32 + 52 + 72 +  + 20112 ; l) 112 + 122 + 132 + 142 +  + 1012
m) 222 + 242 + 262 + 282 +  + 882 ; n) 
ô) 11.122+ 12.132+ 13.142+ 14.152+  + 998.9992
p) 
q) 
 Vẫn là thực hiện phép tính nhưng giáo viên có thể thay thay đổi yêu cầu của bài toán để học sinh được rèn luyện và phát triển khả năng tư duy, lập luận, trình bày bài toán.
Bài 2. So sánh: với 
Bài 3. Chứng minh rằng:
 a) 
 b) 
3.4. Tiểu kết:
 Học đến dạng bài tập này học sinh cần tập trung cao độ, rất căng thẳng vì độ khó và độ phức tạp tăng lên rất nhiều so với những dạng bài tập trước. Đặc biệt là phải huy động nhiều kiến thức có liên quan, vận dụng chúng một cách linh hoạt, học sinh phải tư duy không ngừng để chiếm lĩnh tri thức.
IV. Kết quả
 Qua việc tham khảo, chọn lọc, phân loại và sắp xếp hệ thống như đã trình bày ở trên, khi giảng dạy tôi thấy khả năng tổng hợp kiến thức, phát hiện quy luật cũng như phán đoán tìm tòi lời giải của học sinh tốt hơn hẳn trước khi học. Các em chuyển từ tâm lí sợ sang hào hứng, hăng say học tập, có ý thức hơn khi nghiên cứu bài và tư duy logic để tìm lời giải cho các bài toán.
 Cụ thể với học sinh lớp 7A năm học 2011-2012 (40 học sinh) của trường THCS Phùng Hưng, tôi đã kiểm tra và thu được kết quả sau:
Xếp loại
Trước khi dạy thực nghiệm
Sau khi dạy thực nghiệm
Số lượng
Phần trăm
Số lượng
Phần trăm
Giỏi
0
0 %
6
15 %
Khá
2
5 %
13
32,5 %
Trung bình
5
12,5 %
16
40 %
Dưới T.b
33
82,5 %
5
12,5 %
V. Vấn đề còn hạn chế
 * Với học sinh:
 +) Là học sinh của trường thường nên tư duy của học sinh chưa nhanh, khả năng suy luận, phát hiện vấn đề chưa thật tốt, vận dụng kiến thức chưa thật linh hoạt.
 +) Có thể áp dụng chuyên đề này cho học sinh trung bình, chủ yếu là học sinh khá và học sinh giỏi.
* Với giáo viên:
 +) Thời gian nghiên cứu còn hạn chế.
 +) Khả năng tổng hợp, phân loại có thể chưa thật phù hợp, chưa khoa học.
 * Tài liệu tham khảo:
 Kiến thức rộng và khó mà nguồn tài liệu tham khảo trên thị trường lại quá hiếm nên có thể bài tập chưa được phong phú và đa dạng.
VI. Điều kiện áp dụng
 +) Có thể sử dụng một phần hoặc toàn bộ chuyên đề này tùy theo mức độ nhận thức của đối tượng học sinh.
 +) Với học sinh khá, giỏi thì việc trang bị tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp và kỹ năng một cách thường xuyên và liên tục là điều rất cần thiết. 
VII. Hướng đề xuất tiếp tục nghiên cứu
 Đây là một trong những mảng kiến thức khó đối với không chỉ học sinh lớp 6, lớp 7 mà còn khó cả với những học sinh ở lớp cao hơn. Nhưng khi dạy thực nghiệm chuyên đề này tôi thấy các em học tập say mê hơn. Loại toán này giúp các em phát triển tư duy logic cũng như khả năng phân tích, tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt khi làm toán.
 Tuy nhiên, vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều nên sự phân loại, hệ thống các dạng bài chưa thật đầy đủ, chưa sâu. Đó là vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu.
C. Kết Luận
 Để học tốt bộ môn toán nói chung, toán quy luật nói riêng thì điều quan trọng nhất là luôn biết rèn nếp suy nghĩ qua việc học lí thuyết, qua việc tìm lời giải và giải bài tập, qua sự nghiên cứu và tìm tòi lời giải.
 Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không còn sợ nữa, mà thay vào đó là sự thích thú khi làm những bài toán như vậy.
 Do đó, ngoài sự dẫn dắt, gợi mở kịp thời của giáo viên cho từng dạng bài, từng bài khi các em gặp vấn đề thì bản thân mỗi học sinh phải cố gắng tích lũy kiến thức có liên quan, kiến thức nâng cao và phải biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phù hợp với từng loại, từng dạng, từng bài tập , phải biết phân tích, tổng hợp, suy luận logic từ những gì đã biết đến những yếu tố chưa biết, liên hệ giữa cái trước và cái sau để biết được sự liên quan, móc xích gữa chúng
 Với chuyên đề “Thực hiện phép tính với toán có quy luật” chứa đựng rất nhiều những bài toán hay, lí thú cùng với những cách biến đổi ngắn gọn mang đến nhiều điều bất ngờ cho người học, người đọc. Để chiếm lĩnh được nó không phải là việc đơn giản, dễ làm. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó trong từng dạng toán, tôi muốn cung cấp một số phương pháp và kỹ năng làm bài tập liên quan tới quy luật, giúp các em yêu thích môn toán đào sâu kiến thức về mảng toán quy luật dưới dạng các bài tập. Tùy theo khả năng và mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp, bài tập sao cho phù hợp với từng đối tượng. Tôi hy vọng rằng đây là cuốn tài liệu bổ ích đối với học sinh, phụ huynh học sinh, đồng nghiệp và với những độc giả yêu thích môn toán nối chung, toán quy luật nói riêng!
 Tuy đã rất cố gắng trong việc nghiên cứu, phân chia, sắp xếp nhưng do thời gian và kinh nghiệm hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự tham gia, đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp, bạn đọc để chuyên đề này hoàn chỉnh hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
 Phùng Hưng, ngày 20 tháng 12 năm 2011
 Người thực hiện:
 Hoàng Dương
Tài liệu tham khảo
 Nâng cao và phát triển toán 6 (tập 1)
 Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán THCS (tập 1)
 Bồi dưỡng toán 7 (tập 1)
 Báo toán học và tuổi trẻ
 Tuyển chọn 400 bài tập toán 7 
 Phương pháp giải toán 200 bài toán chọn lọc lớp 6
 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6
 Tuyển tập 306 bài toán đại số 7