Tóm tắt lý thuyết Toán 7 học kỳ 2

Các trường hợp bằng nhau của tam giác :
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
A
B
C
D
E
F
TAM GIÁC THƯỜNG
TAM GIÁC VUÔNG
CẠNH – CẠNH – CẠNH
A
B
C
D
E
F
CẠNH – GÓC – CẠNH
A
B
C
D
E
F
B
A
C
E
D
F
GÓC – CẠNH – GÓC
B
A
C
E
D
F
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU
ĐẶC BIỆT
Xét DABC và DDEF ta có :
 Â = DÂ = 900 
 BC = EF
 CÂ = FÂ 
Þ DABC = DDEF ( ch – gn )
TAM GIÁC VUÔNG
CẠNH HUYÊN – GÓC NHỌN
B
A
C
E
D
F
Xét DABC và DDEF ta có :
 Â = DÂ = 900 
 BC = EF
 AC = DF 
Þ DABC = DDEF ( ch – cgv )
CẠNH HUYỀN – CẠNH GÓC VUÔNG
B
A
C
E
D
F
Tam giác và một số dạng tam giác đặc biệt :
TAM GIÁC
THƯỜNG
TAM GIÁC
B
C
A
CÂN
TAM GIÁC 
C
A
B
 DABC đều
 suy ra:
 * AB = AC = BC
 * Â = BÂ = CÂ = 600
ĐỀU
TAM GIÁC
VUÔNG
TAM GIÁC
DABC 
vuông cân tại A:
 * Â = 900 
 * BÂ = CÂ = 450
 * AB = AC
VUÔNG CÂN
ĐỊNH NGHĨA
B
C
A
A
B
C
x
DABC cân tại A
suy ra:
 * AB = AC
 * BÂ = CÂ
DABC 
vuông tại A:
 * Â = 900 
C
A
B
QUAN HỆ
GIỮA CÁC CẠNH
Bất đẳng thức tam giác :
BC < AB + AC
AB < AC + BC
AC < AB +BC
AB = AC
AH là đường cao 
Suy ra :
AH là trung tuyến 
cũng là phân giác
AB = BC = CA
BC2 = AB2 + AC2 
BC > AB 
BC > AC
AM : trung tuyến
Suy ra: 
AB = AC = a
BC = 
QUAN HỆ
GIỮA CÁC GÓC
Â+BÂ+CÂ = 1800
( Tổng 3 góc )
ACÂx = Â + BÂ
( góc ngoài D )
BÂ = CÂ=(1800–Â)
 = 1800 – 2BÂ
 = 1800 – 2CÂ
 = B = C = 600
BÂ + CÂ = 900
 = 900 
BÂ = CÂ = 450
DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT
(chứng minh)
Muốn chứng minh 
DABC cân tại A 
ta có 2 cách :
* AB = AC 
* BÂ = CÂ
Muốn chứng minh
DABC đều 
ta có 2 cách :
* AB = AC = BC
* Â = BÂ = CÂ 
Muốn CMR
DABC vuông 
ta có 2 cách :
* Â = 900 
* BC2 = AB2+AC2 
Muốn CMR
DABC vuông cân
ta có 2 cách :
* Â=900 và AB=AC
* Â= 900 và BÂ= 450 
Các tính chất liên quan đến quan hệ thứ tự giữa các độ dài đoạn thẳng hoặc số đo góc của tam giác :
A
B
C
HÌNH VẼ
MÔ TẢ
TÍNH CHẤT
A
D
C
H
B
d
Trong DABC :
BC là cạnh đối diện Â
AB là cạnh đối diện CÂ
AC là cạnh đối diện BÂ
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện :
 > B > CÂ Þ BC > AC > AB
2. Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện :
AB > BC > CA Þ CÂ > Â > BÂ
Cho đường thẳng d và 
A Ï d , AH ^ d
B Ỵ d , C Ỵ d , D Ỵ d
Ta nói :
* H là hình chiếu của A trên d
* AH là đường vuông góc kẻ từ A đến d
* AB, AC, AD là 
đường xiên kẻ từ A đến d
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên 
AH < AB , AH < AC , AH < AD
Quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên
HD > HC Û AD > AC
Quan hệ giữa hình chiếu và đuờng xiên
HB = HC Û AB = AC
Các tính chất cơ bản liiên quan đến đoạn thẳng và góc
TRUNG ĐIỂM
E
A
B
d
A
M
B
	 M là trung điểm của AB Û AM = MB = AB
ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
	 TC1 : Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
	Û d ^ AB và M là trung điểm của AB
M
	 TC2 : E nằm trên đường trung trực d Û EA = EB
O
x
z
y
PHÂN GIÁC
x
z
y
O
M
A
B
TC1:	TC2 :
Û MA = MB
Oz là tia phân giác của xÔy	 	Oz là phân giác của xÔy
 Û xÔz = yÔz = xÔy	 	 MA ^ Ox và MB ^ Oy
SONG SONG
1
B
A
1
2
3
4
3
2
4
	 * So le trong : Â4 = BÂ2 ; Â3 = BÂ1 
	 * Đồng vị : Â1 = BÂ1 ; Â2 = BÂ2 ; Â3 = BÂ3 ; Â4 = BÂ4 
	 * Trong cùng phía : Â4 + BÂ1 = 1800 ; Â3 + BÂ2 = 1800 
Các đường chủ yếu của tam giác và tính chất
ĐƯỜNG CAO
TRUNG TUYẾN
TRUNG TRỰC
PHÂN GIÁC
A
B
H
C
Đường cao là đường thẳng từ đỉnh kẻ vuông góc với cạnh đối diện
DABC có 
AH ^ BC. Ta nói : 
A
H
B
C
AH là đường cao
A
B
C
M
Trung tuyến là đường thẳng kẻ từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện
DABC có 
M là trung điểm của BC 
Ta nói :
AM là trung tuyến
Trung trực là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó
A
B
M
C
d
DABC có 
M là trung điểm của BC 
d qua M vuông góc BC
Ta nói :
d là đường trung trực của BC
C
B
A
D
Phân giác là đường thẳng kẻ từ đỉnh và chia đều 2 góc của đỉnh đó
DABC có AD chia  thành 2 góc Â1 = Â2 
Ta nói :
AD là phân giác của Â
TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG CHỦ YẾU TRONG TAM GIÁC
DABC có :
3 đường cao
AD, BE, CF đồng qui
tại 1 điểm
(cùng đi qua điểm H )
Điểm H được gọi là 
TRỰC TÂM 
của DABC
A
B
C
D
E
F
H
A
B
C
D
M
N
I
d1
d2
d3
A
B
C
A1
B1
C1
O
A
B
C
D
M
N
G
DABC có :
3 đường trung tuyến
AD, BM, CN đồng qui
tại 1 điểm
( cùng đi qua điểm G )
Điểm G được gọi là 
TRỌNG TÂM 
của DABC
TÍNH CHẤT :
* ,  
* , 
* , 
 DABC có :
 3 đường trung trực 
 d1 , d2 , d3 đồng qui 
 tại 1 điểm 
 ( cùng đi qua điểm I )
 Điểm I được gọi là 
 TÂM ĐƯỜNG TRÒN 
 NGOẠI TIẾP
 của DABC 
 TÍNH CHẤT :
IA = IB = IC
DABC có :
3 đường phân giác
AA1, BB1, CC1 đồng qui tại 1 điểm
( cùng đi qua điểm O )
Điểm O được gọi là 
TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP
của DABC
TÍNH CHẤT :
OH ^ AB ( H Ỵ AB )
OI ^ BC ( I Ỵ BC )
OK ^ AC ( K Ỵ AC )
Suy ra : 
OH = OI = OK
ĐƠN THỨC
ĐA THỨC
ĐỊNH NGHĨA
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến
Ví dụ : ; ; ; ; ; 
Đa thức là tổng của những đơn thức. 
Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là hạng tử của đa thức 
Ví dụ : 
( đa thức A gồm 3 hạng tử )
BẬC , HỆ SỐ VÀ PHẦN BIẾN CỦA ĐƠN THỨC
Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó
Ví dụ : 0 là đơn thức không có bậc
	– 5 là đơn thức có bậc 0
	2x3y là đơn thức có bậc 4
	– 3x2y3z là đơn thức có bậc 6 
Bậc của đa thức thu gọn là bậc của hạng tử có bậc cao nhất
Ví dụ 1: 
 là đa thức có bậc 5 
Ví dụ 2:
 là đa thức có bậc 6
Ví dụ 3:
Thu gọn C ta có : 
Vậy đa thức C có bậc 4
ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Đơn thức đồng dạng là các đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến
Ví dụ : ; ; ;  là những đơn thức đồng dạng
Lưu ý: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng
A
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1. Thu gọn và chỉ ra bậc , hệ số và phần biến của đơn thức :
Vậy : 
	* Đơn thức A có bậc là 9
	* Hệ số là 
	* Phần biến là x3y3z3 
B
Vậy : 
	* Bậc của đơn thức B là : 20
	* Hệ số là : – 2 
	* Phần biến là : x7y5z8 
2. Tính tích của hai đơn thức sau :
 và 
Giải
Ta có : 
3. Cộng , trừ các đơn thức :
a) 
b) 
Tính giá trị của biểu thức :
A = 2x3y – xy2 – 1 	( tại x = –1 , y = –2 )
Giải
Thay x = –1 , y = –2 vào biểu thức A :
A = 2(–1)3(–2) – (–1)( –2)2 – 1 
 = 2(–1).(–2) – (–1)(2) – 1 
 = 4 + 2 – 1 
 = 5
Cho hai đa thức :
Thu gọn 2 đa thức P và Q
Tính P + Q
Tính Q – P
Tìm đa thức C sao cho C + Q = P
Giải
Thu gọn đa thức :
Tính P + Q
Tính Q – P
Tìm đa thức C sao cho C + Q = P
	Ta có : C + Q = P Û C = P – Q 
( Thực hiện phép tính như câu c – HS tự làm )
ĐA THỨC MỘT BIẾN
ĐỊNH NGHĨA
Đa thức 1 biến là tổng của những đơn thức có cùng 1 biến
Ví dụ : là đa thức của biến x
	 là đa thức của biến y
HỆ SỐ
Xét đa thức đã được thu gọn : . 
 3 là hệ số của lũy thừa bậc 5
– 1 là hệ số của lũy thừa bậc 3
 2 là hệ số của lũy thừa bậc 1
– 4 là hệ số của lũy thừa bậc 0 ( còn được gọi là hệ số tự do ) 
CỘNG TRỪ ĐA THỨC
NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Cho 2 đa thức : 
Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến
Tìm bậc , hệ số ca nhất ; hệ số tự do 
 Tính A(x) + B(x)
Tính C(x) – A(x)
Giải
Thu gọn và sắp xếp :
Tìm bậc , hệ số của đa thức A(x) :
Đa thức A(x) có : Bậc là 4
	 Hệ số cao nhất là 2
	 Hệ số tự do là 1 	
Tính A(x) + B(x) :
Tính C(x) – A(x)
Định nghĩa :
	Nếu tại x = a , đa thức P(x) có giá trị bằng 0 	
thì ta nói : x = a là nghiệm của đa thức
Ví dụ : Cho đa thức 
Ta có :
	*
	Vậy x = – 2 là nghiệm của đa thức P(x)
	* 
	Vậy x = – 3 không là nghiệm của đa thức
Các Ví dụ về tìm nghiệm của đa thức :
Ví dụ 1 : Cho đa thức f(x) = 2x + 5 
	Ta có : 2x + 5 = 0
 Û	2x 	= 0 – 5 
	 Û 2x 	= – 5
	 Û	 x	= 
Vậy đa thức f(x) có nghiệm x = 
Ví dụ 2 : Cho đa thức g(x) = 2x2 – 50 
Ta có : 2x2 – 50 = 0
	 Û 2x2	 = 50 
 Û x2	 = 25
 Û x	 = 5 	hoặc x = – 5
Vậy đa thức g(x) có nghiệm x = 5 hoặc x = – 5 
Ví dụ 3 : Cho đa thức h(x) = x2 + 9 
Ta có : x2 + 9 = 0 
 Û x2 = – 9	( vô lý )
 x Ỵ Ỉ
Vậy đa thức h(x) không có nghiệm
Ví dụ 4 : Cho đa thức k(x) = x2 + 9x
Ta có : x2 + 9x = 0 
 Û x.(x + 9) = 0
 Û x = 0 hoặc x + 9 = 0 
 Û x = 0 hoặc x = – 9
Vậy nghiệm của đa thức k(x) là x = 0 hoặc x = – 9 
CHƯƠNG 2 : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x hay không ?
Bảng các giá trị tương ứng của chúng là :
x
– 4
– 2
0
1
3
5
7
y
– 9
– 5
– 1
1
5
9
13
Bảng các giá trị tương ứng của chúng là :
x
0
2
4
6
8
10
12
y
6
6
6
6
6
6
6
Bảng các giá trị tương ứng của chúng là :
x
– 6
– 2
– 1
0
1
1
3
y
8
4
2
– 1
1
6
8
Hàm số y = f(x) được cho bởi công thức 
Hãy điền các giá trị tương ứng của hàm số y = f(x) vào bảng sau :
X
– 9
– 6
3
12
y= f(x)
1
Tính f(– 12) ; f(24)
Cho hàm số y = f(x) = 2x – 1 
Tính các giá trị ; ; ; 
Tìm x để f(x) = 3
Cho hàm số y = f(x) = 2x
Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc đồ thị của hàm số. Cho biết và 
Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số trên : A( 1 ; 2 ) ; B( – 2 ; 3 ) ; C( 1 ; 2 ) ; D( –2 ;–4 ) 
Cho hàm số : và
Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số 
Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số có tọa độ nguyên
 Cho hàm số :
y = f(x) = ax + 3. Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A( 2 ; – 1 ) 
y = f(x) = – 3x + b. Tìm b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm M ( 1 ; – 2 )
Đại lượng y có phải là hàm số của đại lượng x hay không ?
Nếu bảng giá trị tương ứng của chúng là :
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
Nếu bảng giá trị tương ứng của chúng là :
x
-4
-2
0
1
3
5
7
y
8
8
8
8
8
8
8
Nếu bảng giá trị tương ứng của chúng là :
x
-8
-4
-4
-2
0
3
5
y
2
4
12
6
1
7
9
 ... hân giác của Â
Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc 
Oy sao cho OC = OA và OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD, BC. 
CMR :AD = BC
CMR :DABE = DCDE
CMR : OE là tia phân giác của góc xÔy
Cho DABC đường cao AH. Vẽ điểm D ao cho AB là đường trung trực của HD. Vẽ điểm 
E sao cho AC là đường trung trực của HE. DE cắt AB, AC tại I, K
CMR : IB là tia phân giác của góc HID
CMR : KC là tia phân giác của góc HKE
CMR : HA là tia phân giác của góc IHK
CMR : IC là tia phân giác của góc HIK và IC ^ AB
CMR : KB là tia phân giác của góc HKI và KB ^ AC
CHỨNG MINH
Cho DABC cân tại A. CMR : trung tuyến AM đồng thời là phân giác	 (BT thuận)
Cho DABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. CMR : DABC cân (BT đảo)
Cho DABC có phân giác AD, BE cặt nhau tại I. Vẽ IH ^ AB, IK ^ AC , IM ^ BC. 
CMR : DIHK cân
CMR : DIKM cân
CMR : DIMH cận
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
TÍNH TOÁN
Cho DABC các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. Tính  . Biết : BIÂC = 250 
Cho DABC có Â = 800 . Các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I
Tính BÂI
Tính BIÂC
Cho DABC vuông tại A. AB= 3cm, BÂ= 600. Tính độ dài phân giác BD 	( D nửa đều )
Cho DABC các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. Tính  . Biết : BIÂC = 1210 
Cho DABC có Â = 600 . Các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I
Tính BÂI
Tính BIÂC
Điểm I có cách đều ba cạnh của tam giác không ? tại sao ?
Cho DABC vuông tại B. Tính độ dài phân giác BD 
AB = 6cm, Â = 600 	( D nửa đều )
AB = 9cm, CÂ = 300 	( D nửa đều )
AB = 3cm, BC = 	
CHỨNG MINH
Cho DABC các đường phân giác BK, CH cắt nhau tại I. CMR : BIÂC là góc tù
Cho DABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác . Gọi I là giao điểm của các 
đường phân giác. CMR : ba điểm A, I, G thẳng hàng
( sử dụng bổ đề trong tam giác cân trung tuyến đồng thời là đường phân giác )
Cho DABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I. 
CMR : AI đi qua trung điểm M của BC 
Cho DABC . Hai đường phân giác của góc BÂ, CÂ cắt nhau tại I và hai đường phân giác của hai góc ngoài BÂ, CÂ cắt nhau tại M. CMR : A, I, M thẳng hàng ( Sử dụng bổ đề của tia phân giác )
Cho DABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi E, F là chân các đường vuông 
góc kẻ từ M đến AB, AC. CMR : ME = MF 
Cho DABC có Â = 1200 . Các đường phân giác AD, BE, CF 
CMR : DE là phân giác của góc ADÂC
Tính EDÂF
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐỌAN THẲNG
BỔ ĐỀ
M là điểm nằm trên đường trung trực của đọan thẳng AB. CMR : MA = MB
Cho hai điểm M, N nằm ngoài đọan thẳng Ab sao cho MA = MB và NA = NB. 
CMR : MN là đường trung trực của AB 
CHỨNG MINH
Cho DABC có hai đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại I. 
CMR : I nằm trên đường trung trực của đọan BC
Cho xÔy = 800 , điểm A nằm trong xÔy. Vẽ B sao cho Ox là đường trung trực của AB. 
Vẽ C sao cho Oy là đường trung trực của AC. 
CMR: O thuộc đường trung trực của BC
Tính BÔC
Cho ba tam giác cân chung đáy BC là DDBC, DEBC, DFBC. CMR : D, E, F thẳng hàng
Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của AB. CMR : DAMN = DBMN
 Cho xÔy = 600 , điểm A nằm trong xÔy. Vẽ B sao cho Ox là đường trung trực của AB. 
Vẽ C sao cho Oy là đường trung trực của AC. 
CMR: OB = OC
Tính BÔC
Cho xÔy , điểm A nằm trong xÔy. Vẽ B sao cho Ox là đường trung trực của AB. 
Vẽ C sao cho Oy là đường trung trực của AC. Tính xÔy biết BÔC = 1100 
Cho DABC có Â = 600 . Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. 
Tính số đo các góc ở đỉnh O
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
Cho DABC cân tại A. trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại O. CMR: OA= OB
Cho DABC có Â tù. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau t5ai O và cắt BC tại D, E
CMR : DABD và DACE cân.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
TÍNH TOÁN
Cho DABC có AB = AC = 10cm, BC = 8cm. Tính đường cao AH
Cho DABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đuờng cao AH
Cho DABC có AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Tính độ dài đuờng cao AH
XÁC ĐỊNH TRỰC TÂM – VẼ TRỰC TÂM
Cho DABC có trực tâm H. Tìm trực tâm của DABH, DACH, DBCH
Cho DABC vuông tại A, đường cao AH
CMR : A là trực tâm của DABC
Tìm trực tâm của DABH và DACH
Vẽ trực tâm của DABC trong các trường hợp sau :
DABC nhọn
DABC vuông tại A
DABC tù
CHỨNG MINH
Cho DABC , gọi M, N, P là trung điểm của BC, AC, AB. CMR : các đường cao của 
DMNP là các đường trung trực của DABC
Cho DABC cân tại A, Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đuờng cao BN cắt AM tại H
CMR : CH ^ AB
Tính số đo các góc BHÂM, MHÂN. Biết : CÂ = 400 
Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là trung điểm của HC, HA. 
CMR : BE ^ AD
Cho DABC có Â = 450 và AC < BC, đuờng cao CE. Trên tia đối của tia CE lấy điểm D 
sao cho EB =ED. CMR : BC ^ AD
Cho DABC có Â = 450 và trực tâm H. CMR : BC = AH
Cho DABC cân tại A, trung tuyến AM. Kẻ đường thẳng d qua A và vuông góc với AM. 
CMR : d // BC
Cho DABC cân tại A, phân giác AM. Kẻ đường cao BN cắt AM tại H
CMR : CH ^ AB
Tính số đo các góc BHM , MHN . Biết CÂ = 390 
Cho DABC cân tại A, Gọi M là trung điểm BC. Kẻ đường cao BN cắt AM tại H
CMR : CH ^ AB
Tính số đo các góc BHM , MHN . Biết CÂ = 500 
Cho hai tam giác vuông DABC và DABD có chung cạnh huyền BC. Gọi H là giao điểm 
của AD , BC. Kẻ HK ^ AB. CMR : AC, BD, HK đồng quy
Cho DABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB =AD. Kẻ đường 
cao AM của DABC và đường cao AN của DACD. CMR : DMAN vuông tại A
 Cho DABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện. 
Chúng cắt nhau lần lượt tại M, N, P
CMR : A là trung điểm của MP
CMR : các đường cao của DABC là các đường trung trực của DMNP
Cho DABC có Â = 1350 và trực tâm H. CMR : BC = AH
Cho DAbc có trực tâm H và AH = BC. Tính số đo góc Â
Cho DABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia DE lấy điểm F sao cho 
DE=DF. CMR:
BD =CF
DBCD = DFDC và DF =BC
DE // và = ½ BC
Cho góc xOy. Lấy các điểm A, B thuộc Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc 
Oy sao cho OC =OA, OD =OB. Gọi E là giao điểm của AD, BC. CMR: 
AD = BC
DABE =DCDE
OE là phân giác của góc xÔy
Cho DABC. D là trung điểm AB. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại E, 
đường thẳng qua E sogn song với AB cắt BC tại F. CMR:
AD = EF
DADE = DEFC suy ra AE =EC
Cho DABC. Vẽ AD ^ AB và AD = AB ( D, C nằm khác phía đối với đường thẳng 
AB).Vẽ AE ^ AC và AE =AC (E, B nằm khác phía đối với đường thẳng AC). 
Nếu cho biết DE =BC.
Tính góc BÂC
CMR : A nằm giữa D, C
BD // CE
Cho đoạn thẳng MN có trung điểm H.Vẽ đường trung trực d của MN. Lấy P Ỵ d ( P ≠ H).
CMR: PH là phân giác của góc MPN.
Lấy Q sao cho P nằm giữa Q và H. CMR: DQPM =DQPN
Cho D ABC có Â = 300, BÂ = 400 .Trên nmp bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D 
sao cho BC = BD, ABÂC = ABÂD.
CMR: AB là đường trung trực của CD.
Gọi M là trung điểm AD. Đường thẳng vuông góc với AD tại M cắt AB tại N. CMR: NA = NC và tính góc DNÂB
Cho 2 đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng.
CMR: AC =DB và AC // DB; AD =CB và AD // CB
Vẽ CH ^ AB.Trên tia đối của tia OH lấy điểm I sao cho OI =OH.CMR: DI ^ AB
Cho D ABC ( AB=AC). AD là phân giác.
CMR : AD là đường trung trực.
Vẽ BE ^ AC,BE cắt AD tại I. Trên tia AB lấy F sao cho AF = AE. CMR: IF ^ AB
CMR : C, I, F thẳng hàng.
Cho DABC có AB = AC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho AD = AE. 
Gọi O là giao điểm của BE và CD.
CMR : DABM = DCAN và DBMC = DCNB
Lấy E, F sao cho M là trugn điểm BE, N là trung điểm CF> CMR : A là trung điểm EF.
CMR : MN // BC // EF
Cho DABC, AH ^ BC, HI ^ AB, HK ^ AC. Lấy E, F sao cho I là trung điểm của HE, 
	K là trung điểm của HF. EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
CMR : MH = ME và chu vi DMHN bằng EF
CMR: AE = AF 
Biết BÂC = 600. Tính các góc DAEF
212. Cho vuông tại A. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = DA.
	 a. CMR: cân. So sánh và .
	 b. Tia phân giác của cắt AC tại M. CMR: .
	 c. CMR: MDBC.
	 d. Đường thẳng qua A và song song với MB cắt đường thẳng BC tại E. CMR: B là trung điểm của DE.
Cho góc bẹt xOy có tia phân giác Ot.Trên tia Ot lấy 2 điểm A, B( A nằm giữa O, B). 
	Lấy C Ỵ Ox sao cho OC = OB, D Ỵ Oy sao cho OD = OA
a. CMR: AC = BD và AC ^ BD
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. CMR: OM =ON
c. Tính các góc của DMON
d. CMR : AD ^ BC 
Cho DABC có Â < 900. Trên cùng 1 nmp bờ AB không chứa C vẽ Ax ^ AB, Ay ^ AC. 
	Trên Ax lấy D sao cho AD =AB và trên tia Ay lấy E sao cho AE = AC.
a. CMR : BC = DE
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE. Tính các góc của DMAN.
Cho DABC.Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD, trên tia đối của tia AC lấy E sao cho A là trung điểm CE.
CMR: DE // BC
M, N lần lượt là trung điểm của BC, DE. CMR : A là trung điểm MN
CMR: AM // DE và AM = 2BE
Gọi D là trung điểm BE.Các đường thẳng IA & CD cắt nhau ở K. 
CMR: IK // BC // DE và K là trung điểm DC 
Cho A, B, C, D sao cho AB // CD, AD // BC
CMR: AB = CD, AD = BC
Gọi O là giao điểm của AC, BD. CMR : O là trung điểm của mỗi đoạn AC, BD
Cho DABC vuông tại A có AB=AC. Qua A kẻ đường thẳng xy 
	( B, C nằm cùng phía đối với xy) Vẽ BD ^ xy, CE ^ xy. CMR:
DADB = DCEA
DE = DB + EC
Cho DABC ( AB=AC), D Ỵ AB, E Ỵ AC sao cho AD = AE.
CMR : BE = CD
Gọi O là giao điểm của BE và CD. CMR: DBOD = DCOE
Gọi H là trung điểm của BC. CMR: A, O, H thẳng hàng.
Cho góc xOy có Ot là phân giác. Qua điểm H Ỵ tia Ot kẻ đường vuông góc với tia Ot cắt 
	Ox, Oy tai A, B.
CMR : OA = OB
Lấy C Ỵ OH. CMR : CA = CB
AC cắt Oy tại D. Lấy E Ỵ Ox sao cho OE = OD. CMR: B, C, E thẳng hàng.
Cho DABC ( BÂ = CÂ )
CMR : AB = AC
BD là phân giác. Trên tia BA lấy E sao cho BE = CD. CMR : CE là phân giác CÂ.
Gọi O là giao điểm của BD, CE. CMR: tia phân giác của  đi qua O