Tuyển chọn 25 đề thi học sinh giỏi Toán 7 có đáp án

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 1 ­ 
Đề số 1 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu1: (2 điểm) 
Cho dãy tỉ số bằng nhau:  2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d a b c d 
a b c d 
+ + + + + + + + + + + + 
= = = 
Tìm giá trị biểu thức: M=  a b b c c d d a 
c d d a a b b c 
+ + + + 
+ + + 
+ + + + 
Câu2: (1 điểm) . 
Cho S  =  abc bca cab + +  . 
Chứng minh rằng S không phải là số chính phương. 
Câu3: (2 điểm) 
Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, cùng lúc đó một  xe máy chạy từ B 
đến A với vận tốc 40 km/h. Biết khoảng cách AB là 540 km và M là trung điểm của AB. 
Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ôtô cách M một khoảng bằng 1/2 khoảng cách từ xe 
máy đến M. 
Câu4: (2 điểm) 
Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác. 
a. Chứng minh rằng:  · µ · · BOC A ABO ACO = + + 
b. Biết · · 
µ 
0 90 
2 
A 
ABO ACO + = -  và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh 
rằng: Tia CO là tia phân giác của góc C. 
Câu 5: (1,5điểm). 
Cho 9 đường thẳng trong đó không có 2 đường thẳng nào song song. CMR ít nhất 
cũng có 2 đường thẳng mà góc nhọn giữa chúng không nhỏ hơn 20 0 . 
Câu 6: (1,5điểm). 
Khi chơi cá ngựa, thay vì gieo 1 con súc sắc, ta gieo cả hai con súc sắc cùng một lúc 
thì điểm thấp nhất là 2, cao nhất là 12. các điểm khác là 3; 4; 5 ;6 11. Hãy lập bảng 
tần số về khả năng xuất hiện mỗi loại điểm nói trên? Tính tần xuất của mỗi loại điểm đó. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 2 ­ 
Đề số 2. 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1:  Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b 
Câu 2:  Tìm số nguyên x thoả mãn: 
a,÷5x­3÷ 4  c, ÷4­ x÷ +2x =3 
Câu3:  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  A =÷x÷ +÷8 ­x÷ 
Câu 4:  Biết rằng :1 2 +2 2 +3 3 +...+10 2 = 385.  Tính tổng : S= 2 2 + 4 2 +...+20 2 
Câu 5 : 
Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt 
cạnh AC tại D. 
a. Chứng minh AC=3 AD 
b. Chứng minh ID =1/4BD 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 3 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1 . ( 2đ)  Cho: 
d 
c 
c 
b 
b 
a 
= =  . Chứng minh: 
d 
a 
d c b 
c b a 
= ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ + 
+ +  3  . 
Câu 2.  (1đ).  Tìm A biết rằng: A = 
a c 
b 
b a 
c 
c b 
a 
+ 
= 
+ 
= 
+ 
. 
Câu 3. (2đ).  Tìm  Z x Π để  AΠZ và tìm giá trị đó. 
a).   A = 
2 
3 
- 
+ 
x 
x  .  b). A = 
3 
2 1 
+ 
- 
x 
x . 
Câu 4.  (2đ).  Tìm x, biết: 
a)  3 - x  = 5 .  b).  ( x+ 2) 2 = 81.  c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 
Câu 5.  (3đ).  Cho r ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM . E Î BC, BH^ AE, 
CK ^ AE, (H,K ΠAE). Chứng minh r MHK vuông cân. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 3 ­ 
Đề số 4 
Thời gian làm bài : 120 phút. 
Câu 1 : ( 3 điểm). 
1. Ba đường cao của tam giác ABC  có độ dài là 4,12 ,a . Biết rằng a là một số tự 
nhiên. Tìm a ? 
2. Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 
d 
c 
b 
a 
=  ( a,b,c ,d¹ 0, a¹b, c¹d) ta suy ra được các 
tỉ lệ thức: 
a) 
d c 
c 
b a 
a 
- 
= 
- 
.  b) 
d 
d c 
b 
b a + 
= 
+  . 
Câu 2: ( 1 điểm).  Tìm số nguyên x sao cho: ( x 2 –1)( x 2 –4)( x 2 –7)(x 2 –10) < 0. 
Câu 3: (2 điểm). 
Tìm giá trị nhỏ nhất của:  A = | x­a| + | x­b| + |x­c| + | x­d|  với a<b<c<d. 
Câu 4: ( 2 điểm). Cho hình vẽ. 
a, Biết  Ax // Cy. so sánh góc ABC với góc A+ góc C. 
b, góc ABC = góc A + góc C. Chứng minh   Ax // Cy. 
Câu 5: (2 điểm) 
Từ điểm O tùy ý trong tam giác ABC, kẻ OM, ON , OP lần lượt vuông góc với  các 
cạnh BC, CA, Ab. Chứng minh rằng: 
AN 2 + BP 2 + CM 2  =  AP 2 + BM 2 + CN 2 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
A 
C 
B 
x 
y
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 4 ­ 
Đề số 5 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1(2đ): 
a) Tính: A = 1 + 
3 4 5 100 
3 4 5 100 
... 
2 2 2 2 
+ + + + 
b) Tìm n ÎZ sao cho : 2n ­ 3 M  n + 1 
Câu 2 (2đ): 
a) Tìm x biết: 3x ­  2 1 x +  = 2 
b) Tìm x, y, z biết: 3(x­1) = 2(y­2), 4(y­2) = 3(z­3) và 2x+3y­z = 50. 
Câu 3(2đ):  Ba phân số có tổng bằng  213 
70 
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu 
của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. 
Câu 4(3đ):  Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của 
tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm 
B, I, C thẳng hàng. 
Câu 5(1đ):  Tìm x, y thuộc Z biết:  2x +  1 
7 
=  1 
y 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 6 
Thời gian làm bài: 120’. 
Câu 1: Tính : 
a)  A = 
100 . 99 
1 
.... 
4 . 3 
1 
3 . 2 
1 
2 . 1 
1 
+ + + +  . 
b) B = 1+  ) 20 ... 3 2 1 ( 
20 
1 
.... ) 4 3 2 1 (
4 
1 
) 3 2 1 (
3 
1 
) 2 1 (
2 
1 
+ + + + + + + + + + + + + + 
Câu 2: 
a) So sánh:  1 26 17 + +  và  99 . 
b) Chứng minh rằng:  10 
100 
1 
.... 
3 
1 
2 
1 
1 
1 
> + + + +  . 
Câu 3: 
Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 
Câu 4 
Cho tam giác ABC có góc B và góc C nhỏ hơn 90 0  . Vẽ ra phía ngoài tam giác  ấy 
các tam giác vuông cân ABD và ACE ( trong đó góc ABD và góc ACE đều bằng 90 0 ), 
vẽ DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh rằng: 
a. BI=CK;     EK = HC;                          b. BC = DI + EK. 
Câu 5:  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :  A =  1 2001 - + -  x x 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 5 ­ 
Đề số 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: (1,5 đ)  Tìm x biết: 
a, 
327 
2 + x  + 
326 
3 + x  + 
325 
4 + x  + 
324 
5 + x  + 
5 
349 + x  =0 
b,  3 5 - x  7 ³ 
Câu2:(3 điểm) 
a, Tính tổng: 
2007 2 1 0 
7 
1 
........ 
7 
1 
7 
1 
7 
1 
÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - + + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - + ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ - = S 
b, CMR:  1 
! 100 
99 
........ 
! 4 
3 
! 3 
2 
! 2 
1 
< + + + + 
c, Chứng minh rằng mọi số nguyên dương n thì: 3 n+2 – 2 n+2 +3 n – 2 n chia hết cho 
10
Câu3: (2 điểm)  Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao 
tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào? 
Câu 4: (2,5điểm)  Cho tam giác ABC có góc  0 60 = B  hai đường phân giác AP và CQ của 
tam giác cắt nhau tại I. 
a, Tính góc AIC 
b, CM : IP = IQ 
Câu5: (1 điểm)  Cho 
3 ) 1 ( 2 
1 
2 + - 
= 
n 
B  .  Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn nhất. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 6 ­ 
Đề số 8 
Thời gian : 120’ 
Câu 1 : (3đ) Tìm số hữu tỉ x, biết : 
a) ( ) 5 1 - x  = ­ 243 . 
b) 
15 
2 
14 
2 
13 
2 
12 
2 
11 
2 + 
+ 
+ 
= 
+ 
+ 
+ 
+ 
+  x x x x x 
c) x ­ 2  x  = 0  (x  0 ³  ) 
Câu 2 : (3đ) 
a, Tìm số nguyên x và y biết : 
8 
1 
4 
5 
= + 
y 
x 
b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là 1 số nguyên biết :  A = 
3 
1 
- 
+ 
x 
x  (x  0 ³  ) 
Câu 3 : (1đ)  Tìm x biết :  2.  3 5 - x  ­ 2x = 14 
Câu 4 : (3đ) 
a, Cho D ABC có các góc A, B , C tỉ lệ với 7; 5; 3 . Các góc ngoài tương ứng tỉ lệ 
với các số nào . 
b, Cho D ABC  cân tại A và Â < 90 0  . Kẻ BD vuông góc với AC . Trên cạnh AB 
lấy điểm E sao cho : AE = AD . Chứng minh : 
1) DE // BC 
2) CE vuông góc với AB . 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 9 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài1( 3 điểm) 
a, Tính:  A = 
1 
11 
60 
). 25 , 0 91 
5 
( 
) 75 , 1 
3 
10 
( 
11 
12 
) 
7 
176 
3 
1 
26 (
3 
1 
10 
- - 
- - - 
b, Tính nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 ++ 100 – 410)
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 7 ­ 
Bài 2: ( 2điểm).  Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 
2. 
Bài 3: (2 điểm).  Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang một cuốn sách dày 234 trang. 
Bài 4: ( 3 điểm)  Cho DABC vuông tại B, đường cao BE Tìm số đo các góc nhọn của 
tam giác , biết EC – EA = AB. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 10 
Thời gian làm bài 120 phút 
Bài 1(2 điểm).  Cho  5 2 . A x x = + + - 
a.Viết biểu thức A dưới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối. 
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 2 ( 2 điểm) 
a.Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 
1 1 1 1 1 1 
....... 
6 5 6 7 100 4 
< + + + + <  . 
b.Tìm số nguyên a để :  2 9 5 17 3 
3 3 3 
a a a 
a a a 
+ + 
+ - 
+ + + 
là số nguyên. 
Bài 3(2,5 điểm).  Tìm n là số tự nhiên để : ( )( ) 5 6 6 . A n n n = + + M 
Bài 4(2 điểm)  Cho góc xOy cố định. Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N sao cho OM + 
ON = m không đổi. Chứng minh : Đường trung trực của MN đi qua một điểm cố định. 
Bài 5(1,5 điểm).  Tìm đa thức bậc hai sao cho : ( ) ( ) 1 . f x f x x - - =  . 
Áp dụng tính tổng : S = 1 + 2 + 3 +  + n. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 11 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1: (2đ)  Rút gọn  A= 
2 
2 
8 20 
x x 
x x 
- 
+ - 
Câu 2  (2đ)  Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A 
trồng được 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng được 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng 
được 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng được 
đều như nhau. 
Câu 3: (1,5đ)  Chứng minh rằng 
2006 10 53 
9 
+  là một số tự nhiên.
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 8 ­ 
Câu 4 : (3đ)  Cho góc xAy = 60 0 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên 
Ax vẽ đường thẳng song song với với Ay cắt  Az tại C. vẽ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ 
AC. Chứng minh rằng: 
a, K là trung điểm của AC. 
b, BH = 
2 
AC 
c, ΔKMC  đều 
Câu 5  (1,5 đ)  Trong một kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, 
Đông đoạt 4 giải 1,2,3,4 . Biết rằng mỗi câu trong 3 câu dưới đây đúng một nửa và sai 1 
nửa: 
a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2. 
b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3. 
c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4. 
Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đề số 12 
Thời gian làm bài 120 phút 
Câu 1: (2đ)  Tìm x, biết: 
a)  7 2 3 = - -  x x  b)  5 3 2 > - x  c)  7 1 3 £ - x  d)  7 3 2 5 3 =  ... hân giác) suy ra : 
tam giác NEC cân và ENC = ECN (1) . D thuộc phân giác của góc CAB nên DC = DM 
(tính chất phân giác ) suy ra tam giác MDC cân . 
và DMC =DCM  ,(2) . Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngoài của DCDM ) = 
2DCM. 
Tương tự ta lại có AEN = 2ECN . Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vuông góc 
cùng nhọn). 
MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vuông góc cùng nhọn ). Tam giác vuông ABC có 
ACB = 90 0  , CAB + CBA = 90 0  , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD 
) 
suy ra  ECN + MCD = 45 0  . Vậy MCN = 90 0 –45 0 =45 0  .                                           (1,5) 
Bài 5 : 
Ta có P = ­x 2 –8x + 5 = ­ x 2 –8x –16 +21 = ­( x 2 +8x + 16) + 21 = ­( x+ 4) 2 + 21; (0,75) 
Do –( x+ 4) 2 £0 với mọi x nên –( x +4) 2 +21 £  21 với mọi x . Dấu (=) xảy ra khi x = ­4 
Khi đó P có giá trị lớn nhất là 21.
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 48 ­ 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
hướng dẫn đề 23 
Câu 1: (3đ) 
b/ 2 ­1 .2 n + 4.2 n = 9.2 5 
suy ra 2 n­1 + 2 n+2 = 9.2 5  0,5đ 
suy ra 2 n (1/2 +4) = 9. 2 5 
suy ra 2 n­1 .9 =9. 2 5 suy ra n­1 = 5 suy ra n=6.                                        0,5đ 
c/ 3 n+2 ­2 n+2 +3 n ­2 n =3 n (3 2 +1)­2 n (2 2 +1) = 3 n .10­2 n .5  0,5đ 
vì 3 n .10 M10 và 2 n .5 = 2n­1 .10 M10 suy ra 3 n .10­2 n .5 M10                               0,5đ 
Bài 2: 
a/ Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh của 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z z  + ) ta có: 
2x=3y = 4z và x+y+z =130                               0,5đ 
hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130                                   0,5đ 
suy ra: x=60; y = 40; z=30 
­7(43 43 ­17 17 ) 
b/ ­0,7(43 43 ­17 17 ) =  0,5đ10 
Ta có: 43 43 = 43 40 .43 3 = (43 4 ) 10 .43 3 vì 43 4 tận cùng là 1 còn 43 3  tận cùng là 7 suy ra 43 43 
tận cùng bởi 7 
17 17 = 17 16 .17 =(17 4 ) 4 .17  vì 17 4 có tận cùng là 1 suy ra (17 4 ) 4 có tận cùng là 1 suy ra 
17 17 = 17 16 .17 tận cùng bởi 7                                   0,5đ 
suy ra 43 43 và 17 17 đều có tận cùng là 7 nên 43 43 ­17 17 có tận cùng là 0 suy ra 43 43 ­17 17 
chia hết cho 10                                       0,5đ 
suy ra  ­0,7(43 43 ­17 17 ) là một số nguyên. 
Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) 
a/∆ MDB=∆ NEC  suy ra DN=EN                0,5đ 
b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 
0,5đ 
c/ Gọi H là chân đường cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy ra 
HAB=HAC  0,5đ 
gọi O là giao AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì 
∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA (1)  0,5đ 
∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON                                 0,5đ 
suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c)     OBM=OCM (2)  0,5đ 
Từ (1) và (2) suy ra OCA=OCN=90 0 suy ra OC  ┴   AC                 0,5đ
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 49 ­ 
Vậy điểm O cố định. 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đáp án đề 24 
Câu 1: (2đ). 
a. ½a½ + a = 2a với a ³  0 (0,25đ) 
Với a < 0 thì ½a½ + a = 0 (0,25đ). 
b. ½a½ ­ a 
­Với a³ 0 thì ½a½ ­ a = a – a = 0 
­Với a< 0 thì ½a½ ­ a = ­ a ­ a = ­ 2a 
c.3(x – 1) ­ 2½x + 3½ 
­Với x + 3 ³ 0 Þ x ³ ­ 3 
Ta có: 3(x – 1) – 2 ½x + 3½ = 3(x – 1) – 2(x + 3) 
= 3x – 3 – 2x – 6 
=   x – 9.  (0,5đ) 
­Với x + 3 < 0 ® x< ­ 3 
Tacó: 3(x – 1) ­ 2½x + 3½ = 3(x – 1) + 2(x + 3). 
= 3x – 3 + 2x + 6 
= 5x + 3 (0,5đ). 
Câu 2: Tìm x  (2đ). 
a.Tìm x,  biết: ½5x ­ 3½ ­ x = 7 Û  5 3 7 x x - = +  (1)  (0,25 đ) 
ĐK:  x ³  ­7  (0,25 đ) 
( ) ( ) 
5 3 7 
1 
5 3 7 
x x 
x x 
- = + é 
Þ ê - = - + ë 
.  (0,25 đ) 
Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu bài.  x1 = 5/2  ;  x2= ­ 2/3     (0,25đ). 
b. ½2x + 3½ ­ 4x  < 9 (1,5đ) Û½2x + 3½ < 9 + 4x  (1) 
ĐK:  4x +9 ³  0 Û  x ³  9 
4 
-  (1)Û ( ) 4 9 2 3 4 9 x x x - + < - < + 
2 3 x - < < -  (t/mĐK)  (0,5đ). 
Câu 3: 
Gọi chữ số của số cần tìm là a, b, c. Vì số càn tìm chia hết 18 ® số đó phải chia hết cho 
9. 
Vậy (a + b + c ) chia hết cho 9. (1)    (0,5đ). 
Tacó: 1 £  a + b + c £ 27               (2)
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 50 ­ 
Vì  1 £ a £ 9 ; b ³ 0 ; 0 £ c £ 9 
Từ (1) và (2) ta có (a + b + c) nhận các giá trị 9, 18, 27  (3). 
Suy ra:  a = 3 ; b = 6 ; c = 9    (0,5đ). 
Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho 9 vừa chia hết cho 2 ® chữ số hàng đơn 
vị phải là số chẵn. 
Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963          (0,5đ). 
­Vẽ hình đúng viết giả thiết, kết luận đúng  (0,5đ). 
­Qua N kẻ NK // AB ta có. 
EN // BK Þ  NK = EB 
EB // NK            EN = BK 
Lại có: AD = BE (gt) 
Þ AD = NK (1) 
­Học sinh chứng minh D  ADM = D NKC (gcg)     (1đ) 
Þ DM    =     KC                 (1đ) 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đáp án đề 25 
Bài 1:  Ta có:  10A = 
2007 
2007 2007 
10 10 9 
= 1 + 
10 1 10 1 
+ 
+ + 
(1) 
Tương tự:     10B = 
2008 
2008 2008 
10 10 9 
= 1 + 
10 1 10 1 
+ 
+ + 
(2) 
Từ (1) và (2) ta thấy : 
2007 2008 
9 9 
10 1 10 1 
> 
+ + 
Þ10A > 10BÞA > B 
Bài 2:(2điểm)  Thực hiện phép tính: 
A =  1 1 1 1 . 1 ... 1 
(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 
2 2 2 
æ ö æ ö æ ö 
ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
- - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ + + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø è ø 
= 
2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 
. . .... . . .... 
3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 
- - 
=  (1) 
Mà: 2007.2006 ­ 2 = 2006(2008 ­ 1) + 2006 ­ 2008 
= 2006(2008 ­ 1+ 1) ­ 2008 = 2008(2006 ­1) = 2008.2005  (2) 
Từ (1) và (2) ta có: 
A = 
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005) 2008 1004 
. . .... 
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009 
= = =
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 51 ­ 
Bài 3:(2điểm)  Từ: 
x 1 1 1 x 1 
8 y 4 y 8 4 
- = Þ = - 
Quy đồng mẫu vế phải ta có : 
1 x ­ 2 
y 8 
=  . Do đó : y(x­2) =8. 
Để x, y nguyên thì y và x­2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm 
trong bảng sau: 
Y  1  ­1  2  ­2  4  ­4  8  ­8 
x­2  8  ­8  4  ­4  2  ­2  1  ­1 
X  10  ­6  6  ­2  4  0  3  1 
Bài 4:(2 điểm) 
Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh thứ 3. Vậy có: 
b + c > a. 
Nhân 2 vế với a >0 ta có:           a.b + a.c > a 2 .  (1) 
Tương tự ta có :  b.c + b.a > b 2  (2) 
a.c + c.b > c 2  (3). 
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được: 
2(ab + bc + ca) > a 2 + b 2 + c 2 . 
Bài 5:(3 điểm)  Vẽ tia phân giác  · ABK  cắt đường thẳng CK ở I. 
Ta có:  IBC V  cân nên IB = IC. 
BIA V  =  CIA V  (ccc) nên  · ·  0 BIA CIA 120 = =  . Do đó: 
BIA V  =  BIK V  (gcg)  BA=BK Þ 
b) Từ chứng minh trên ta có: 
·  0 BAK  70 = 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 
Đáp án đề  26 
Câu 1: ( 2 điểm ) 
a. Do 
1 
1 1 
2 2 - 
< 
n n 
với mọi n  2 ³  nên . ( 0,2 điểm ) 
A< C = 
1 
1 
..... 
1 4 
1 
1 3 
1 
1 2 
1 
2 2 2 2 - 
+ + 
- 
+ 
- 
+ 
-  n 
( 0,2 điểm ) 
Mặt khác: 
C 
K 
A 
I 
B
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 52 ­ 
C = ( )( ) 1 . 1 
1 
.... 
5 . 3 
1 
4 . 2 
1 
3 . 1 
1 
+ - 
+ + + + 
n n 
( 0,2 điểm) 
= ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ 
- 
- 
+ + - + - + - 
1 
1 
1 
1 
.... 
5 
1 
3 
1 
4 
1 
2 
1 
3 
1 
1 
1 
2 
1 
n n 
( 0,2 điểm) 
=  1 
4 
3 
2 
3 
. 
2 
1 
1 
1 1 
2 
1 
1 < = < ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ 
- - + 
n n 
(0,2 điểm ) 
Vậy A < 1 
b. ( 1 điểm ). B = 
( ) 2 2 2 2  2 
1 
... 
6 
1 
4 
1 
2 
1 
n 
+ + + +  ( 0,25 điểm ) 
= ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ + + + + + 
2 2 2 2 2 
1 
..... 
4 
1 
3 
1 
2 
1 
1 
2 
1 
n 
( 0,25 điểm ) 
= ( ) A + 1 
2 
1 
2 
( 0,25 điểm ) 
Suy ra P < ( ) 
2 
1 
1 1 
2 
1 
2 = +  ;Hay P <  2 
1  (0,25 điểm ) 
Câu 2: ( 2 điểm ) 
Ta có  1  1 1 + > + k 
k 
k  với k = 1,2..n ( 0,25 điểm ) 
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: 
( ) 1 
1 
1 
1 
1 1 
1 
1 ... 1 1 1 
. 
. 1 .... 1 . 1 1 
1 1 
+ 
+ = + 
+ 
= 
+ 
+ 
+ + + + 
< 
+ 
= 
+ 
+ + 
k k k k 
k 
k 
k 
k 
k 
k 
k k 
k 
k k  (0,5 điểm ) 
Suy ra  1 < ÷ 
ø 
ö 
ç 
è 
æ 
+ 
- + < 
+ 
+ 
1 
1 1 
1 
1 
1 
k k k 
k 
k  ( 0,5 điểm ) 
Lần lượt cho k = 1,2, 3, n    rồi cộng lại ta được. 
n <  1 1 1 1 ......... 
2 
3 
2  1 3 + < - + < 
+ 
+ + + +  n 
n 
n 
n 
n 
n  ( 0,5 điểm) 
=> [ ]  n = a 
Câu 3 (2 điểm ) 
Gọi ha  , hb  ,hc  lần lượt là độ dài các đường cao của tam giác. Theo đề bài ta có: 
( ) 
10 20 
2 
8 7 5 
c b a c b a a c c b b a  h h h h h h h h h h h h + + = 
+ + 
= 
+ 
= 
+ 
= 
+  ( 0,4 điểm ) 
=> 
3 2 5 
a b c  h h h = =  => ha  : hb  : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 điểm ) 
Mặt khác S =  c b a  ch bh h a  2 
1 
2 
1 
. 
2 
1 
= =  ( 0,4 điểm )
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 53 ­ 
=> 
c b a  h 
c 
h 
b 
h 
a 
1 1 1 
= =  (0 , 4 điểm ) 
=> a :b : c =  6 : 15 : 10 
5 
1
:
2 
1
:
3 
1 1 
: 
1 
: 
1 
= = 
c b a  h h h 
(0 ,4 điểm ) 
Vậy a: b: c = 10 : 10 : 6 
Câu 4: ( 2 điểm ) 
Trên tia Ox lấy  A¢ , trên tia Oy lấy  B¢  sao cho O A¢ = OB¢ = a    ( 0,25 điểm ) 
Ta có: O A¢ + OB¢ = OA + OB = 2a  => A A¢ = BB¢  ( 0,25 điểm ) 
Gọi  H và K lần lượt là hình chiếu 
Của A và B  trên đường thẳng  A¢ B¢ 
Tam giác HA A¢ = tam giác KB B¢ 
( cạnh huyền, góc nhọn )  ( 0,5 điểm ) 
=> H  , B K A ¢ = ¢  do đó HK =  B A ¢ ¢  (0,25 điểm) 
Ta chứng minh được 
HK  AB £  (Dấu “ = “ Û  A trùng  A¢ B  trùng  B¢  (0,25 điểm) 
do đó  AB B A £ ¢ ¢  ( 0,2 điểm ) 
Vậy AB nhỏ nhất Û  OA = OB = a  (0,25điểm ) 
Câu 5 ( 2 điểm ) 
Giả sử  Q d c b a Î = + +  ( 0,2 điểm ) 
=>  a d b a - = + 
=> b +b  +2  a d a d bc  2 2 + + =  ( 0,2 điểm) 
=> 2 ( )  a d c b a d bc  2 2 - - - + =  ( 1 )  ( 0,2 điểm) 
=> 4bc = ( ) c b a d - - + 2  2 + 4 d 2 a – 4b ( ) c b a d - - + 2  a  ( 0,2 điểm) 
=> 4 d ( ) c b a d - - + 2  a  = ( ) c b a d - - + 2  2  + 4d 2 a – 4 bc  ( 0,2 điểm) 
* Nếu 4 d ( ) c b a d - - + 2  # 0 thì: 
( ) 
) ( 4 
4 4 
2 
2 2 2 
c b a d d 
ab a d c b a d 
a 
- - + 
- + - - + 
=  là số hữu tỉ  (0,2 5điểm ) 
** Nếu 4 d ( ) c b a d - - + 2  = 0 thì: d =0 hoặc d 2 + a­b – c = 0   ( 0,25 điểm ) 
+ d = 0 ta có :  0 = + +  c b a 
=>  Q c b a Î = = =  0  (0,25 điểm ) 
+ d 2 + a­b – c = 0   thì từ  (1 ) =>  a d bc - = 
Vì a, b, c, d  0 ³  nên  Q a Î = 0  ( 0,25 điểm ) 
Vậy  a  là số hữu tỉ. 
y
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7 Năm học 2010­2011 
  ­ 54 ­ 
Do a,b,c có vai trò như nhau  nên  c b a  , ,  là các số hữu tỉ 
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­