Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi môn Toán 7

 §Ò 1 
Bµi 1. (4 ®iÓm)
Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55
TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0
Bµi 2. (4 ®iÓm)
T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20
Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê?
Bµi 3. (4 ®iÓm)
Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - x
 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 
	TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x).
TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: 
 A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = -1.
Bµi 4. (4 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D.
So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE.
TÝnh sè ®o gãc BED.
Bµi 5. (4 ®iÓm)
	Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng:
IK// DE, IK = DE.
AG = AD.
§Ò 2: 
Môn: Toán 7
Bài 1: (3 điểm): Tính
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tìm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tìm biết: 
§Ò 3
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
§Ò 4 
Bµi 1: (2 ®iÓm)
 Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101
 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A
 b, TÝnh A 
Bµi 2: ( 3 ®iÓm)
 T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau:
 a, 2x = 3y =5z vµ =5
 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90.
 c, 
Bµi 3: ( 1 ®iÓm)
Cho vµ (a1+a2++a9 ≠0) 
 Chøng minh: a1 = a2 = a3== a9
 2. Cho tØ lÖ thøc: vµ b ≠ 0
 Chøng minh c = 0
Bµi 4: ( 2 ®iÓm)
 Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. 
 Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) 2
Bµi 5: ( 2 ®iÓm)
 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF.
 Chøng minh r»ng : ED = CF.
=== HÕt===
 §Ò 5 
Bµi 1: (3 ®iÓm)
Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
 T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: 
 T×m c¸c sè a, b sao cho lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn.
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
T×m x,y,z biÕt: vµ x-2y+3z = -10
Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0
Chøng minh r»ng: 
Bµi 3: ( 2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 
T×m x,y ®Ó C = -18- ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Bµi 4: ( 3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. 
 KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE).
 1, Chøng minh: BH = AK
 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao?
=== HÕt===
§Ò sè 6
C©u 1:	T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b
C©u 2: 	T×m sè nguyªn x tho¶ m·n:
	a,÷5x-3÷ 4	c, ÷4- x÷ +2x =3
C©u3: 	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 	A =÷x÷ +÷8 -x÷
C©u 4:	BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202
C©u 5 :
Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D.
	a. Chøng minh AC=3 AD
	b. Chøng minh ID =1/4BD
------------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------
§Ò sè 7
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1 . ( 2®) 	Cho: . Chøng minh: .
C©u 2. (1®).	T×m A biÕt r»ng: A = .
C©u 3. (2®).	T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
	a). A = . 	b). A = .
C©u 4. (2®). T×m x, biÕt:
	a)	 = 5 . 	b).	 ( x+ 2) 2 = 81. 	c). 5 x + 5 x+ 2 = 650
C©u 5. (3®).	Cho r ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E Î BC, BH^ AE, CK ^ AE, (H,K Î AE). Chøng minh r MHK vu«ng c©n.
-------------------------------- HÕt ------------------------------------
§Ò sè 8
Thêi gian lµm bµi : 120 phót.
C©u 1 : ( 3 ®iÓm).
	1. Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ?
	2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc ( a,b,c ,d¹ 0, a¹b, c¹d) ta suy ra ®­îc c¸c tØ lÖ thøc:
	a) .	b) .
C©u 2: ( 1 ®iÓm).	T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0.
C©u 3: (2 ®iÓm).
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d.
C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ.
	a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C.
	b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. 
x
A
B
y
C
C©u 5: (2 ®iÓm) 
 Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l­ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng:
AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
---------------------------------------------- HÕt ------------------------------------------
§Ò sè 9
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1(2®):
	a) TÝnh: A = 1 + 
	b) T×m n Z sao cho : 2n - 3 n + 1
C©u 2 (2®):
	a) T×m x biÕt: 3x - = 2
	b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50.
C©u 3(2®): 	Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã.
C©u 4(3®):	Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng.
C©u 5(1®):	T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + = 
---------------------------------------------------HÕt----------------------------------------------
§Ò sè 10
Thêi gian lµm bµi: 120’.
C©u 1: TÝnh :
	a) A = .
	b) B = 1+ 
C©u 2:
	a) So s¸nh: vµ .
	b) Chøng minh r»ng: .
C©u 3:
 T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3
C©u 4
 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng:
	a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK.
C©u 5:	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 
------------------------------------------ hÕt ---------------------------------------------
 §Ò sè 11
Thêi gian lµm bµi: 120 phót 
C©u 1: (1,5 ®)T×m x biÕt: 
	a, ++++=0
	b, 
C©u2:(3 ®iÓm)
	a, TÝnh tæng:
	b, CMR: 
	c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10
C©u3: (2 ®iÓm)	§é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t­¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo?
C©u 4: (2,5®iÓm)	Cho tam gi¸c ABC cã gãchai ®­êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I.
	a, TÝnh gãc AIC
	b, CM : IP = IQ
C©u5: (1 ®iÓm)	Cho . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
------------------------------------------ hÕt -----------------------------------------
§Ò sè 12
Thêi gian : 120’
C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt :
	a) = - 243 .
	b) 
	c) x - 2 = 0	(x)
C©u 2 : (3®)
	a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 
	b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 	(x)
C©u 3 : (1®)	T×m x biÕt : 	2. - 2x = 14
C©u 4 : (3®)
	a, Cho ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t­¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo .
	b, Cho ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh :
	1) DE // BC
	2) CE vu«ng gãc víi AB .
-----------------------------------HÕt--------------------------------
§Ò sè 13
Thêi gian lµm bµi:	120 phót
Bµi1( 3 ®iÓm)
	a, TÝnh: 	A = 
	b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 ++ 100 – 410)
Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d­¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2.
Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang.
Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ABC vu«ng t¹i B, ®­êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB.
-------------------------------------------- hÕt -------------------------------------------
§Ò sè 14
Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bµi 1(2 ®iÓm). Cho 
	a.ViÕt biÓu thøc A d­íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.
	b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Bµi 2 ( 2 ®iÓm)
	a.Chøng minh r»ng : .
	b.T×m sè nguyªn a ®Ó : lµ sè nguyªn.
Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : 
Bµi 4(2 ®iÓm)	Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §­êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : .
	¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 +  + n.
------------------------------------ HÕt --------------------------------
§Ò sè 15
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
C©u 1: (2®) Rót gän A=
C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau.
C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn.
C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC. Chøng minh r»ng:
	a, K lµ trung ®iÓm cña AC.
	b, BH = 
	c, ®Òu
C©u 5 (1,5 ®)	Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa:
	a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2.
	b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3.
	c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4.
	Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.
--------------------------------- HÕt --------------------------------------
 §Ò sè 16: 
 Thêi gian lµm bµi 120 phót
C©u 1: (2®) T×m x, biÕt:
	a) 	b) 	c) 	d) 
C©u 2: (2®)
	a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200
	b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410
C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I.
	a) TÝnh gãc AIC
	b) Chøng minh IM = IN
C©u 4: (3®) ... 2+.0,(32)= 0,12+.0,(01).32 =
=
C©u IV :
Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d
P(0) = 10 => -3c+d =10 (1)
P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16
P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5
P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 
VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) =
=> P(x) = -
C©u V:
a) DÔ thÊy ADC = ABE ( c-g-c) => DC =BE .
V× AE ^ AC; AD ^ AB
mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE
=> DC ^ Víi BE.
b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN ^ MP
MN = DC =BE =MP;
VËy MNP vu«ng c©n t¹i M.
---------------------------------------------------------
§¸p ¸n ®Ò 24
Bµi 1:
a) 	A = (0,25®) 
	A = (0,25®)
	A = + = 0	(0,25®)
b) 4B = 22 + 24 + ... + 2102	(0,25®)	3B = 2102 – 1; 	B = 	 (0,25®)
Bµi 2:
a) Ta cã 430 = 230.415	(0,25®)
3.2410 = 230.311	(0,25®)
mµ 415 > 311 Þ 430 > 311 Þ 230 + 330 + 430 > 3.2410	(0,25®)
b) 4 =	 > 
 > 	(0,25®)
Þ + > + 	(0,25®)
Bµi 3:
Gäi x1, x2 x3 lÇn l­ît lµ sè ngµy lµm viÖc cña 3 m¸y
Þ (1)	(0,25®)
Gäi y1, y2, y3 lÇn l­ît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y
Þ (2)	(0,25®)
Gäi z1, z2, z3 lÇn l­ît lµ c«ng suÊt cña 3 m¸y
Þ 5z1 = 4z2 = 3z3 Û (3)	(0,25®)
Mµ 	x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3)	(0,25®)
Tõ (1) (2) (3) Þ	(0,5®)
Þ x1y1z1 = 54;	x2y2z2 = 105;	x3y3z3 = 200	(0,25®)
VËy sè thãc mçi ®éi lÇn l­ît lµ 54, 105, 200 (0,25®)
Bµi 4:
a) DEAB =DCAD (c.g.c) 	(0,5®)
Þ (1)	(0,25®)
Ta cã (gãc ngoµi tam gi¸c)	(0,25®)
Þ 	(0,25®)
b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®)
Þ DFBM ®Òu	(0,25®)
Þ DDFB = DAMB (c.g.c)	(0,25®)
Þ 	(0,5®)
Bµi 6: Ta cã
 	(0,25®)
	(0,25®)
Þ 	(0,5®)
-------------------------------------------------------
®¸p ¸n ®Ò 25
C©u 1
a.NÕu x 0 suy ra x = 1 (tho· m·n)
NÕu < 0 suy ra x = -3 (tho· m·n)
b. ; hoÆc ;hoÆc hoÆc ;hoÆc ; hoÆc hoÆc ; hoÆc
Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6)
c. Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®æi vÒ
à x = 42; y = 28; z = 20
C©u 2
A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã
B = B nguyªn
C©u 3
Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh
Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h
VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h
Ta cã: 
(t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2)
tõ à t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê
VËy qu·ng ®­êng CB lµ 3km, AB = 15km
Ng­êi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê
C©u 4
Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC)
Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)
à gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND à tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c)
à Gãc I3 = gãc I4 à M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN
Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN
Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 à gãc AIB 900
NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A
C©u 5.
P = P lín nhÊt khi lín nhÊt
XÐt x > 4 th× < 0
XÐt x 0
à lín nhÊt à 4 – x lµ sè nguyªn d­¬ng nhá nhÊt
à 4 – x = 1 à x = 3
khi ®ã = 10 à Plín nhÊt = 11.
-------------------------------------------------------------
H­íng dÉn chÊm ®Ò 26
Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã + 5x =9
 = 9-5x
* 2x –6 ³ 0 x ³ 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x x = kh«ng tho· m·n. (0,5)
* 2x – 6 < 0 x< 3 khi ®ã 6 – 2x = 9-5x x= 1 tho· m·n. (0,5)
VËy x = 1.
b) TÝnh . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) : = 0. (0,5)
( v× 12.34 – 6.68 = 0).
c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 +...+ 2101 2A – A = 2101 –1. (0,5)
Nh­ vËy 2101 –1 < 2101 . VËy A<B . (0,5)
Bµi 2 : Gäi 3 c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ a, b, c vµ 3 ®­êng cao t­¬ng øng lµ ha, hb, hc . Theo ®Ò bµi ta cã. (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ha ) = 5 :7 :8 hay ha + hb =5k ; hb + hc=7k
hc + ha = 8k ; ha + hb +hc =10k . (k lµ hÖ sè tØ lÖ ) . (0,5)
Suy ra hc =( ha + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k.
T­¬ng tù : ha =3k , hb= 2k . A
DiÖn tÝch tam gi¸c : a . ha =b.hb
Suy ra T­¬ng tù : (0,5)
a.ha = b.hb =c.hc B C
a:b:c = . Hay a:b:c = 10: 15 :6 . (0,5)
Bµi 3 : a) T¹i x = ta cã : A = ; t¹i x = ta cã : A = ; (1)
b) Víi x >1 . §Ó A = 5 tøc lµ . (1)
Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra :
tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM
(tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n .
vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña DCDM ) = 2DCM.
T­¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän).
MDB = CAB (gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã
ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD )
suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5)
Bµi 5 :
Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75)
Do –( x+ 4)2 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = -4
Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21.
------------------------------------------------------------
h­íng dÉn ®Ò 27
C©u 1: (3®)
b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25
suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5®
suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25
suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5®
c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5®
v× 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy ra 3n.10-2n.5 10 0,5®
Bµi 2:
a/ Gäi x, y, z lÇn l­ît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5®
hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5®
suy ra: x=60; y = 40; z=30
-7(4343-1717)
b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10
Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433 tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7
1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng lµ 1 suy ra 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5®
suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343-1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5®
suy ra -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn.
Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh)
a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5®
b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5®
c/ Gäi H lµ ch©n ®­êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5®
gäi O lµ giao AH víi ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th×
∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5®
∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5®
suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5®
Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5®
VËy ®iÓm O cè ®Þnh.
-------------------------------------------------------
§¸p ¸n ®Ò 28
C©u 1: (2®).
a. ½a½ + a = 2a víi a ³ 0 (0,25®)
Víi a < 0 th× ½a½ + a = 0 (0,25®).
b. ½a½ - a
-Víi a³ 0 th× ½a½ - a = a – a = 0
-Víi a< 0 th× ½a½ - a = - a - a = - 2a
c.3(x – 1) - 2½x + 3½
-Víi x + 3 ³ 0 Þ x ³ - 3
Ta cã: 3(x – 1) – 2 ½x + 3½ = 3(x – 1) – 2(x + 3)
= 3x – 3 – 2x – 6
= x – 9. (0,5®)
-Víi x + 3 < 0 ® x< - 3
Tacã: 3(x – 1) - 2½x + 3½ = 3(x – 1) + 2(x + 3).
= 3x – 3 + 2x + 6
= 5x + 3 (0,5®).
C©u 2: T×m x (2®).
a.T×m x, biÕt: ½5x - 3½ - x = 7 (1)	 (0,25 ®)
§K: x -7 	(0,25 ®)
. 	(0,25 ®)
VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.	x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®).
b. ½2x + 3½ - 4x < 9 (1,5®) Û½2x + 3½ < 9 + 4x (1)
§K: 4x +9 0 x 	(1) 
 (t/m§K) (0,5®).
C©u 3:
Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ a, b, c. V× sè cµn t×m chia hÕt 18 ® sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9.
VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®).
Tacã: 1 £ a + b + c £ 27 (2)
V× 1 £ a £ 9 ; b ³ 0 ; 0 £ c £ 9
Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3).	
Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®).
V× sè cµn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 ® ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ph¶i lµ sè ch½n.
VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®). 
-VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®).
-Qua N kÎ NK // AB ta cã.
EN // BK Þ NK = EB
EB // NK EN = BK
L¹i cã: AD = BE (gt)
Þ AD = NK (1)
-Häc sinh chøng minh D ADM = D NKC (gcg) (1®)
Þ DM = KC (1®)
------------------------------------------------------
§¸p ¸n ®Ò 29
Bµi 1: Ta cã: 	10A = 	(1)
T­¬ng tù: 10B = (2)
Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 10A > 10BA > B
Bµi 2:(2®iÓm)	Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
 	A = 
 = 	 (1)
Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005	(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã:
A = 
Bµi 3:(2®iÓm)	Tõ:	
Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã :. Do ®ã : y(x-2) =8.
§Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ ­íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t­¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau:
Y
1
-1
2
-2
4
-4
8
-8
x-2
8
-8
4
-4
2
-2
1
-1
X
10
-6
6
-2
4
0
3
1
Bµi 4:(2 ®iÓm)
Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã:
b + c > a.
Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2.	(1)
T­¬ng tù ta cã :	b.c + b.a > b2	(2)
a.c + c.b > c2	(3).
Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®­îc:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
C
K
A
I
B
Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c c¾t ®­êng th¼ng CK ë I.
Ta cã: c©n nªn IB = IC.
= (ccc) nªn . Do ®ã:
=(gcg) 
b) Tõ chøng minh trªn ta cã:
---------------------------------------------------
§¸p ¸n ®Ò 30
C©u 1: ( 2 ®iÓm )
a. Do víi mäi n nªn . ( 0,2 ®iÓm )
A< C = ( 0,2 ®iÓm )
MÆt kh¸c:
C = ( 0,2 ®iÓm)
= ( 0,2 ®iÓm)
= 	(0,2 ®iÓm )
VËy A < 1
b. ( 1 ®iÓm ). B = ( 0,25 ®iÓm )
= ( 0,25 ®iÓm )
= 	 ( 0,25 ®iÓm )
Suy ra P < ;Hay P < 	(0,25 ®iÓm )
C©u 2: ( 2 ®iÓm )
Ta cã víi k = 1,2..n ( 0,25 ®iÓm )
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã:
 (0,5 ®iÓm )
Suy ra 1 < ( 0,5 ®iÓm )
LÇn l­ît cho k = 1,2, 3, n råi céng l¹i ta ®­îc.
n < ( 0,5 ®iÓm)
=> 
C©u 3 (2 ®iÓm )
Gäi ha , hb ,hc lÇn l­ît lµ ®é dµi c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã:
 ( 0,4 ®iÓm )
=> => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm )
MÆt kh¸c S = ( 0,4 ®iÓm )
=> 	(0 , 4 ®iÓm )
=> a :b : c = (0 ,4 ®iÓm )
VËy a: b: c = 10 : 10 : 6
C©u 4: ( 2 ®iÓm )
Trªn tia Ox lÊy , trªn tia Oy lÊy sao cho O = O = a ( 0,25 ®iÓm )
Ta cã: O + O = OA + OB = 2a => A = B 	( 0,25 ®iÓm )
Gäi H vµ K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu
y
Cña A vµ B trªn ®­êng th¼ng 
Tam gi¸c HA = tam gi¸c KB
( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) 	( 0,5 ®iÓm )
=> H do ®ã HK = 	(0,25 ®iÓm)
Ta chøng minh ®­îc
HK (DÊu “ = “ A trïng trïng 	(0,25 ®iÓm)
do ®ã 	 ( 0,2 ®iÓm )
VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a	 (0,25®iÓm )
C©u 5 ( 2 ®iÓm )
Gi¶ sö 	( 0,2 ®iÓm )
=> 
=> b +b +2 	( 0,2 ®iÓm)
=> 2 ( 1 )	( 0,2 ®iÓm)
=> 4bc = 2 + 4 d2a – 4b ( 0,2 ®iÓm)
=> 4 d = 2	 + 4d 2a – 4 bc	( 0,2 ®iÓm)
* NÕu 4 d # 0 th×:
lµ sè h÷u tØ	(0,2 5®iÓm )
** NÕu 4 d = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm )
+ d = 0 ta cã : 
=> (0,25 ®iÓm )
+ d 2+ a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => 
V× a, b, c, d nªn 	 ( 0,25 ®iÓm )
VËy lµ sè h÷u tØ.
Do a,b,c cã vai trß nh­ nhau nªn lµ c¸c sè h÷u tØ
--------------------------------------------------