Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Hay nhất)

Đề thi học sinh giỏi huyện 
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)
Đề 1.1
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm): a.(0,75đ) Tính tổng B = 1+5+52+53+ +52008+52009
b.(0,75đ) Thực hiện phép tính 
Câu 2 (2điểm): a,(1đ) Tìm x, y biết : 
b.(1đ) Tìm x biết 
Câu 3 (1,5điểm):Vẽ đồ thị hàm số: y = -
Câu 4 (3điểm):
(1,5đ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu tuổi?
(1,5đ) Cho (góc A=900). Kẻ AHBC, kẻ HPAB và kéo dài để có 
PE = PH. Kẻ HQ AC và kéo dài để có QF = QH.
	a./ Chứng minh APE = APH và AQH = AQF
	b./ Chứng minh 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm): (Dành cho học sinh chuyên toán)
(1,5đ) Tính tổng
S = 1 + 2 + 5 + 14 + + (với n Z+)
	b. (0,5đ) Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
	Trong các số sau: 1, -1, 5, -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Câu 5 B (2điểm): (Dành cho học sinh không chuyên toán)
(1,5đ) Tìm x Z để A có giá trị nguyên A = 
	b. (0,5đ) Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Đề 1.2
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm) 
(1đ) Tính tổng: M = -
(0,5đ) Tìm x biết: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3
Câu 2 (1,5điểm)a.(1đ) Tìm x, y, z biết: và x2 + y2 + z2 = 14
b,(0,5đ) Cho x1 + x2 + x3 + + x50 + x51 = 0 và x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 =  = x49 + x50 = 1tính x50
Câu 3 (2điểm)
(1đ) Trên mặt phẳng toạ độ, cho 2 điểm M(-3;2) và N(3;-2). Hãy giải thích vì sao gốc toạ độ O và hai điểm M, N là 3 điểm thẳng hàng?
(1đ) Cho đa thức: Q(x) = x 
a./ Tìm bậc của đa thức Q(x) b./ Tính Q
c./ Chứng minh rằng Q(x) nhận giá trị nguyên với mọi số nguyên x
Câu 4 (3điểm)
(1đ) Ba tổ công nhân A, B, C phải sản xuất cùng một số sản phẩm như nhau. Thời gian 3 tổ hoàn thành kế hoạch theo thứ tự là 14 ngày, 15 ngày và 21 ngày. Tổ A nhiều hơn tổ C là 10 người. Hỏi mỗi tổ có bao nhiêu công nhân? (Năng suất lao động của các công nhân là như nhau)
(2đ) Cho hình vuông ABCD. Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đường thẳng AD vẽ tia AM (M CD) sao cho góc MAD = 200. Cũng trên nửa mặt phẳng này vẽ tia AN (N BC) sao cho góc NAD = 650. Từ B kẻ BH AN (H AN) và trên tia đối của tia HB lấy điểm P sao cho HB = HP chứng minh: a./ Ba điểm N, P, M thẳng hàng b./ Tính các góc của AMN
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A. (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Chứng minh rằng: 222333 + 333222 chia hết cho 13
(1đ) Tìm số dư của phép chia 109345 cho 7
Câu 5 B. (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm số nguyên dương n biết
 = 2n
(1đ) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hết cho 6
Đề 1.3
A/ Phần đề chung
Câu 1 (2,5điểm):
(1,75đ) Tính tổng: M = 3
(0,75đ) Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 +  + x100
Câu 2 (1điểm):
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức tính giá trị của 
(0,5đ) Cho tỉ lệ thức chứng minh rằng 
Câu 3 (2,5điểm):
(1,5đ) Cho hàm số y = - và hàm số y = x -4
* Vẽ đồ thị hàm số y = -x * Chứng tỏ M(3;-1) là giao của hai đồ thị hàm số trên
* Tính độ dài OM (O là gốc toạ độ)
b. (1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A à B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
Câu 4 (2điểm): Cho ABC có góc A = 900, vẽ phân giác BD và CE (DAC ; E AB) chúng cắt nhau tại O. a. (0,5đ) Tính số đo góc BOC
b. (1đ) Trên BC lấy điểm M và N sao cho BM = BA; CN = CA chứng minh EN// DM
c. (0,5đ) Gọi I là giao của BD và AN chứng minh AIM cân.
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm): Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm:
P(x) = 2x2 + 2x + 
(1đ) Chứng minh rằng: 2454.5424.210 chia hết cho 7263
Câu 5 B (2điểm): Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm nghiệm của đa thức 5x2 + 10x
(1đ) Tìm x biết: 5(x-2)(x+3) = 1
Đề 1.4
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5điểm):
(0,75đ) Tính tổng M = 5
(0,75đ) Cho các số a1, a2, a3 an mỗi số nhận giá trị là 1 hoặc -1 
Biết rằng a1a2 + a2a3 +  + ana1 = 0. Hỏi n có thể bằng 2002 được hay không?
Câu 2 (2 điểm)
(1đ) Tìm x biết 
(1đ) Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 7y = 5z và x – y + z = 32
Câu 3 (1,5điểm)
Cho hình vẽ, đường thẳng OA là đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a0)
Tính tỉ số 
Giả sử x0 = 5 tính diện tích 
y0
2
1
X0
C
B
A
x
o
1 2 3 4 5
y
Câu 4 (3điểm) 
(1đ) Một ôtô tải và một ôtô con cùng khởi hành từ A à B, vận tốc ôtô con là 40km/h, vận tốc ôtô tải là 30km/h. Khi ôtô tải đến B thì ôtô con đã đến B trước 45 phút. Tính độ dài quãng đường AB.
(2đ) Cho ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm E sao cho NE = NC. Chứng minh rằng:
Ba điểm E, A, D thẳng hàng
A là trung điểm của ED
B/ Phần đề riêng
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) So sánh và + 1
(1đ) Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P(1) = Q(-1)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) So sánh 2300 và 3200
(1đ) Tính tổng A = 1 + 2 + 22 +  + 22010
Đề 1.5
A/ Phần đề chung
Câu 1 (1,5 điểm): (1đ) Tính tổng: A = + 
(0,5đ) Tìm các số a1, a2, a3,  a9 biết
 và a1 + a2 + a3 +  + a9 = 90
Câu 2 (2 điểm)
(1đ) Tìm x, y biết 
(1đ) Chỉ ra các cặp (x;y) thoả mãn = 0
Câu 3 (1,5điểm)
 a. (1đ) Cho hàm số y = f(x) = 	x + 1 với x ≥ -1
	-x – 1 với x < -1
	* Viết biểu thức xác định f
	* Tìm x khi f(x) = 2
 b. (0,5đ) Cho hàm số y = 
	* Vẽ đồ thị hàm số
	* Tìm trên đồ thị điểm M có tung độ là (-2), xác định hoành độ M (giải bằng tính toán).
Câu 4 (3điểm)
(1đ) Một ôtô dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định với vận tốc 40km/h. Sau khi đi được 1/2 quãng đường AB thì ôtô tăng vận tốc lên 50km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến B sớm hơn dự định 18 phút. Tính quãng đường AB.
(2đ) Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng:
* BH = AK
* MBH = MAK
* MHK là tam giác vuông cân
B/ Phần đề riêng 
Câu 5 A (2điểm) Dành cho học sinh chuyên
(1đ) Tìm các số x, y, z thoả mãn đẳng thức
 + + = 0
 	b. (1đ) Tìm x, y, z biết:	x + y = x : y = 3(x – y)
Câu 5 B (2điểm) Dành cho học sinh không chuyên
(1đ) Tìm x biết: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120
(1đ) Rút gọn biểu thức sau một cách hợp lí: A = 
Đáp án 1.5
I. phần đề chung
Câu 1 (1,5đ: mỗi ý đúng 0,75đ)
A = 1
áp dụng tính chất của dãy TSBN ta tính được
a1 = a2 =  = a9 = 10
Câu 2 (2điểm: mỗi ý đúng 1đ)
 a.	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
- Từ tỉ số (4) và tỉ số (2) ð 12 + 4x = 2.5x ð x = 2
- Từ đó tính được y = -
 b. 	- Vì và 
	x2 + 2x = 0 và y2 – 9 = 0 từ đó tìm các cặp (x;y)
Câu 3 (1,5đ)
(1đ) 	- Biểu thức xác định f(x) = 
- Khi f(x) = 2 = 2 từ đó tìm x
 b. (0,5đ)	- Vẽ đồ thị hàm số y = 
x
0
5
 O (0;0)
y
0
2
 A (5;2)
- Biểu diễn O(0;0); A(5;2) trên mặt phẳng toạ độ OA là đồ thị hàm số y = 
- M đồ thị y = -2 = x = -5
Câu 4 (3điểm)
 a. (1đ) 	18 phút = 
	- Gọi vận tốc và thời gian dự định đi nửa quãng đường trước là v1; t1, vận tốc và thời gian đã đi nửa quãng đường sau là v2; t2.
	- Cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là 2 đại lượng TLN do đó:
	V1t1 = v2t2 
	 (giờ) thời gian dự định đi 
cả quãng đường AB là 3 giờ
- Quãng đường AB dài 40 . 3 = 120 (km)
 b. (2đ)
 - HAB = KCA (CH – GN)
	 BH = AK
 - MHB = MKA (c.g.c)
	MHK cân vì MH = MK (1)
 Có MHA = MKC (c.c.c)
	góc AMH = góc CMK từ đó
	góc HMK = 900 (2)
 Từ (1) và (2) MHK vuông cân tại M
II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
(1đ) – Vì 0 với x
 0 với y
	 0 với x, y, z
Đẳng thức xảy ra 
(1đ)Từ x + y = 3(x-y) = x : y
2y(2y – x) = 0 mà y 0 nên 2y – x = 0 x = 2y
	Từ đó x = ; y = 
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ) - Đặt 2x làm TSC rút gọn
 - Biến đổi 120 dưới dạng luỹ thừa cơ số 2 rồi tìm x
 b. (1đ) Biến đổi tử vào mẫu rồi rút gọn được A = 
đáp án đề 1.4 
I. Phần đề chung
Câu 1 (1,5đ)
a. (0,75đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng
	- Đặt 	;	
	- Rút gọn rồi thay giá trị của a, b vào được A = 119
b. (0,75đ) 	Xét giá trị của mỗi tích a1a2, a2a3, ana1
	số tích có giá trị bằng 1 bằng số tích có giá trị bằng -1 và bằng 
vì 2002 2 n = 2002
Câu 2 (2đ)
a. (1đ) Tìm x biết	
	- áp dụng tính chất dãy TSBN cho tỉ số (1) và (3) được tỉ số (4)
	- Xét mối quan hệ giữa tỉ số (4) và (2) 
	6x = 2 . 24 = 48 x = 8
b. (1đ) 	- Đưa về dạng 
	- áp dụng tính chất dãy TSBN tính x, y, z
Câu 3 (1,5đ)
a. (0,75đ) - Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy điểm B(x0;y0) đồ thị hàm số y = f(x) = ax
	y0 = ax0	 = a
	Mà A(2;1) 	 a = 
b. (0,75đ)	 - OBC vuông tại C
	S = = 
	Với x0 = 5 = 6,25 (đvdt)
Câu 4 (3đ) 
a. (1đ)	- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)	t1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
b. (2đ)
- MAD = MCB (c.g.c)
góc D = góc B AD // BC (1)
- NAE = NBC (c.g.c)
góc E = góc C AE // BC (2)
Từ (1) và (2) E, A, D thẳng hàng
- Từ chứng minh trên A là trung điểm của ED
C
E
D
A
B
N
M
II. Phần đề riêng
Câu 5 A (2đ)
a. (1đ)	So sánh và 
	ta có 2 < 	 2 + 6 < + 6 = + 5 + 1
	 8 < ( + 1
b. (1đ)	- Thay giá trị của x vào 2 đa thức
	- Cho 2 đa thức bằng nhau ta tính được m = -
Câu 5 B (2đ)
a. (1đ)	Ta có 2
	 3
	 3200 > 2300
b. (1đ)	- Nhân hai vế của tổng với A với 2
	- Lấy 2A – A rút gọn được A = 
đáp án 1.3
I. Phần đề chung
Câu 1 (2,5đ)
 a. (2đ) 	- Biến đổi M dưới dạng một tổng rồi đặt a = ; b = ; c = 
	- Rút gọn rồi thay giá trị a, b, c vào ta tính được M = 
 b. (0,5đ)	(-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +  + (-1)100 = 1 + 1 +1 +  + 1 = 50
Câu 2 (1đ)
(0,5đ) áp dụng tính chất của tỉ lệ thức
 b. (0,5đ) Từ 
Câu 3 (2,5đ)
(1,5đ) 
* Vẽ đồ thị hàm số y = -x
* Từ 2 hàm số trên ta được phương trình hoành độ -x = x -4
- Thay điểm M(3; -1) vào phương trình hoành độ ta được -. 3 = 3 – 4 = -1
 M(3; -1) là giao của 2 đồ thị hàm số trên.
 * Trên mặt phẳng toạ độ ta thấy
 vuông tại P
 (đvđd)
b. (1đ)
- Đổi 45 phút = 
	- Gọi vận tốc của ôtô tải và ôtô con là v1 và v2 (km/h) tương ứng với thời gian là t1 và t2 (h). Ta có v1.t1 = v2.t2
	- Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng TLN ; t2 – t1 = 
	- Tính được t2 = . 4 = 3 (h)
	 	T1 = 
	 S = v2 . t2 = 3 . 30 = 90km
Câu 4 (2đ)
a. (0,5đ) 	Có góc B + góc C = 900
 góc OBC + góc BCO = (BD, CE là phân giác)
	 góc BOC = 1800 – 450 = 1350
(1đ)
 ABD = MBD (c.g.c)
 góc A = góc M = 900 DM BC (1)
	ECN = ECA (c.g.c)
góc A = góc N = 900 EN BC (2)
	Từ (1) và (2) EN // DM
O
I
E
A
D
C
M
N
B
c. (0,5đ)
	IBA = IBM (c.g.c)
	 IA  ... = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} thì A Z
b. (0,5đ)	76 + 75 – 74 	= 74 (72 + 7 – 1)
	= 74 . 55 55
Bài 1. (4 điểm)
Chứng minh rằng 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0
Bài 2. (4 điểm)
Tìm các số a, b, c biết rằng : và a + 2b – 3c = -20
Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Bài 3. (4 điểm)
Cho hai đa thức f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - x
 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 
	Tính f(x) + g(x) và f(x) – g(x).
Tính giá trị của đa thức sau: 
 A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = -1.
Bài 4. (4 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A bằng 900, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D.
So sánh các độ dài DA và DE.
Tính số đo góc BED.
Bài 5. (4 điểm)
	Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng:
IK// DE, IK = DE.
AG = AD.
đáp án & biểu điểm môn toán 7
Bài 1. 4đ
a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 55 (đpcm)	2đ
b) Tính A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0	 (1)
	 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2)	1đ
Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có : 4A = 551 – 1 => A = 	1đ
Bài 2. 4đ
a) ú => a = 10, b = 15, c =20.	2đ
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z N*) 0,5đ
Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z	 0,5đ
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 
=> 	 0,5đ
Suy ra x = 10, y = 4, z = 2.
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2.	 0,5đ
Bài 3. 4đ
f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - x - 	 1đ
 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + 	 1đ
A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = - 1
A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 ++ (-1)100 = 1 + 1 + 1 ++ 1 = 50 (có 50 số hạng) 2đ
Bài 4. 4đ: Vẽ hình (0,5đ) – phần a) 1,5đ - phần b) 2đ
a) ABD =EBD (c.g.c) => DA = DE
b) Vì ABD =EBD nên góc A bằng góc BED
 Do góc A bằng 900 nên góc BED bằng 900
Bài 5: 4đ
a) Tam giác ABC và tam giác ABG có:
 DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB
 Do đó DE // IK và DE = IK
b)GDE = GIK (g. c. g) vì có: DE = IK (câu a)
 Góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)
 Góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)
 GD = GI. Ta có GD = GI = IA nên AG = AD
Vẽ hình: 0,5đ
Phần a) đúng: 2đ
Phần b) đúng: 1,5đ
Cõu 1: Tỡm cỏc số x, y, z biết.
	a/ (x – 1)3 = - 8	b/ 
	c/ x - 3 = 0	d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Cõu 2: 
a/ Tỡm số dư khi chia 22011 cho 31 
b/ Với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
c/ Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món: 6x2 + 5y2 = 74
Cõu 3: 
	a/ Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta cú tỉ lệ thức: 
	b/ Trờn bảng cú ghi cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kỡ và thay vào bằng hiệu của chỳng, cứ làm như vậy đến khi cũn một số trờn bảng thỡ dừng lại. Hỏi cú thể làm để trờn bảng chỉ cũn lại số 1 được khụng? Giải thớch?
Cõu 4: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A. Từ E và F kẻ đường vuụng gúc EK và FN với đường thẳng HA.
	a/ Chứng minh rằng: EK = FN.
	b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để EF = 2AI.
Cõu 5:
a/ Cho bốn số khụng õm thỏa món điều kiện a + b + c + d = 1. Gọi S là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối của hiệu từng cặp số cú được từ bốn số a, b, c, d. Hỏi S cú thể đạt được giỏ trị lớn nhất bằng bao nhiờu.
b/ Cho tam giỏc nhọn ABC với = 600. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2 – AB. AC.
-----------------------Hết-----------------------
(Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
HƯỚNG DẪN CHẤM chọn học sinh năng khiếu 
MễN: TOÁN 7
========================================
Cõu
Phần
Nội dung cần trỡnh bày
Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ
(x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 
0,5
b
0,5đ
 Điều kiện: x 
=> => (Thỏa món điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
0,5
c
0,5đ
x - 3 = 0 Điều kiện x 0 
=> = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa món điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
0,5
d
0,5đ
12x = 15y = 20z => => 
=> x = 20; y = 16; z = 12
0,5
2
(2,5đ)
a, 1đ
Ta cú 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 1 (mod31) 
=> 22011 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2.
1
b
0,75đ
Vỡ a nguyờn dương nờn ta cú 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3)
Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2 6
Khi đú ta cú 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thỡ 4a + a + b chia hết cho 6
0,25
0,25
0,25
c
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 => 6x2 74 => x2 
 mà x nguyờn => x2 
Mặt khỏc ta cú x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 => x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 => y2 = 10 (loại vỡ y nguyờn)
Nếu x2 = 9 => y2 = 4 => (x, y) 
0,25
0,25
0,25
3
1,75 đ
a
1đ
Ta cú = => = = = = . 
Vậy nếu cú tỉ lệ thức ta cú tỉ lệ thức: 
0,75
0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả cỏc số được ghi trờn bảng
Ta cú S = 1 + 2 + 3 +  + 2008 = = 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thỡ tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nờn tổng mới phải là một số chẵn. 
Vậy trờn bảng khụng thể cũn lại số 1
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ)
Vẽ hỡnh và GT-KL đỳng, đẹp
0,25
a
1,5
Chứng minh KAF = HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh NFI = HCA ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN 
0,5
0,5
0,5
b
0,75đ
Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = 
Mà AI = (gt) => AI = EI = FI => và 
=> = 900 => = 900 
Vậy EF = 2AI khi tam giỏc ABC vuụng tại A
0,25
0,25
0,25
5
(1,25đ)
a
0,75đ
Giả sử 
Ta cú S = 
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d 
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d 0 => S 3a + b
Mặt khỏc a + b + c + d = 1 => a 1. 
Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b 2.1 + 1 = 3
Dấu bằng xảy ra khi 
Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d cú một số bằng 1 cũn ba số bằng 0
0,25
0,25
0,25
b
0,5đ
Kẻ BH AC
Vỡ 600 => = 300 => AH = (1)
Áp dụng dịnh lớ Pytago ta cú
AB2 = AH2 + BH2 và BC2 = BH2 + HC2
=> BC2 = AB2 – AH2 + CH2 => BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2
=> BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AH.AC + AH2 
=> BC2 = AB2 + AC2 – 2AH.AC (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
0,25
0,25
Ghi chỳ: Đỏp ỏn trờn chỉ là một trong những cỏch làm đỳng, nếu học sinh làm đỳng bằng cỏch khỏc cho điểm tối đa
Câu 1(1,5 điểm ) 
 So sánh các số sau: 
 2300 và 3200 
Câu2 (3,5 điểm )
Tìm các số a1, a2, a3,.,a100 , biết: 
===.= 
Và a1+ a2 + a3+ + a100 = 10100
Câu 3(3,0 điểm )
Tính giá trị của đa thức sau, biết x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2
Tìm m, biết P(1) = Q(- 1)
Câu5 (8 điểm )
Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đường cao .Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C.Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh
a) ABI = BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE
c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 6 (2 điểm )
Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương 
=====Hết====
đáp án – biểu điểm
Câu
đáp án
điểm 
1
2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100.Do đó 2300 <3200
0,5
0,5
0,5
2
===.= 
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có: = - 1
 = - 1 = 2 – 1 = 1 
 a1 = a2 == a100 = 101
1,5
1
1
3
Từ P(1) = Q(-1) ,suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 m =
2,0
4
Biến đổi mỗi đa thức theo hướng làm xuất hiện thừa số x + y – 2 
M = ( x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y ) + (x+y -2 ) + 1 
 = x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
 =x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008
0,5
1,0
1,0
0,5
5
I
B
E
F
C
A
H
M
- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng được 
a) Ta có IAB = 1800 - BAH =1800 – (900 - ABC) =900 + ABC =EBC
ABI =BEC (c – g – c)
b) ABI =BEC( câu a ) nên BI = EC (hai cạnh tương ứng ).
ECB =BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB ,ta có :
MCB + MBC =BIH + IBH = 900, do đó CEBI.
c) Trong tam giác BIC: AH, CF , BE là ba đường cao.Vậy AH, CF , BE đồng quy tại một điểm.
1,0
2,5
3,5 
1 
6
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong đó n N và N 2
Ta có A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n +1)2 + (n+2)2 = 5(n2 + 2) 
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n2 + 2) không chia hết cho 5, vì thế 5(n2 + 2) không là số chính phương, hay A không phải là số chính phương .
2
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.
Đề số 2 (
Bài làm nộp vào sáng thứ ba ngày 23/11/2010
Bài 1:
 a, Cho a là số chính phương. Chứng minh rằng: a(a-2005) chia hết cho 12.
 b, Tìm 2 số hữu tỷ a, b biết rằng: a-b = 2(a+b) = 3.
Bài 2: Một con cá voi: Đầu dài 3m.
 	 Mình dài bằng ba đầu và nửa đuôi.
 Đuôi dài bằng một đầu và nửa mình.	
Tìm chiều dài con cá voi đó.
Bài 3:
Trong một hình vuông cạnh 1 mét người ta gieo vào đó một cách tuỳ ý 51 điểm. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 3 điểm trong số 51 điểm đã cho nằm trong hình vuông có cạnh dài 0,2 mét.
Bài 4:
 Tìm số nguyên dương x thoả mãn:
 + +  + = 
Bài 5: 
(chua co loi giai)
Bài 1: Tớnh:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Câu 3: a) Cho với a, b, c là các số hữu tỉ.
 	Chứng tỏ rằng: . Biết rằng 
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị lớn nhất.
Câu 4: (3 điểm) Cho DABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB.
a) Chứng minh rằng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng của 
(chua co loi giai)
Cõu 1: (2,5 điểm)
	a/ Tớnh một cỏch hợp lý: 	(1,5 điểm)
	b/ Biết rằng: 14 + 24 + 34 + ... 104 = 25333
Tớnh: 24 + 44 + 64 + ... + 204 	(1 điểm)
Cõu 2: (2,5 điểm):
	a/ Cho 3 số x; y; z là 3 số khỏc khụng thoả món điều kiện: 	(1,5 điểm)
	Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: 
	b/ Tỡm Giỏ trị nguyờn của x để giỏ trị của biểu thức: P 
	Cú giỏ trị lớn nhất? Tớnh giỏ trị lớn nhất đú?
Cõu 3: (1 điểm):
	Cho hàm số f(x) xỏc định với mọi x ạ 0
	Và với mọi x ạ 0 ta đều cú f(x) + 3f() = x2. Hóy tớnh f(2)
Cõu 4: (4 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn cú gúc A = 1000. Gọi M là 1 điểm nằm trong tam giỏc sao cho gúc MCB = 200 và gúc MBC = 100. Vẽ tam giỏc đều BME (E và A cựng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là BM). Chứng minh rằng:
a/ 3 điểm C, A, E thẳng hàng
b/ Tớnh số đo gúc AMB
(chua co loi giai)