15 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 (Có lời giải chi tiết)

 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
1 
Trang 1 
MỤC LỤC 
ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 ................................................................... 2 
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ........................................................................................ 8 
ĐỀ SỐ 3. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 13 
ĐỀ SỐ 4. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 17 
ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 21 
ĐỀ SỐ 6. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 25 
ĐỀ SỐ 7. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 30 
ĐỀ SỐ 8. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 33 
ĐỀ SỐ 9. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN ...................................................................................... 37 
ĐỀ SỐ 10. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 44 
ĐỀ SỐ 11. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 50 
ĐỀ SỐ 12. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 55 
ĐỀ SỐ 13. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 59 
ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 64 
ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN .................................................................................... 69 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
2 
Trang 2 
ĐỀ SỐ 1. HUYỆN ĐỨC PHỔ - NĂM 15 – 16 
Câu 1: (5 điểm) 
a) Tính giá trị biểu thức 
1 1
2014 2016
a aP    , với 
1
2015
a  . 
b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 
6
1x 
 và 
1
3
x 
 là một số nguyên. 
Câu 2: (5 điểm) 
a) Cho 2; 2a b  . Chứng minh ab a b  
b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích của hình thứ nhất và diện tích của hình thứ hai tỉ lệ 
với 4 và 5, diện tích hình thứ hai và diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 7 và 8, hình thứ nhất và 
hình thứ hai có cùng chiều dài và tổng các chiều rộng của chúng là 27 cm, hình thứ hai và 
hình thứ ba có cùng chiều rộng, chiều dài của hình thứ ba là 24 cm. Tính diện tích của mỗi 
hình chữ nhật đó. 
Câu 3: (3 điểm) 
Cho ∆DEF vuông tại D vàDF DE , kẻ DH vuông góc với EF (H thuộc cạnh EF). Gọi M 
là trung điểm của EF. 
a) Chứng minh   MDH E F  
b) Chứng minh EF DE DF DH   
Câu 4: (2 điểm) 
Cho các số 
1 2 3 15
0 ....a a a a     . Chứng minh rằng 1 2 3 15
5 10 15
...
5
a a a a
a a a
   

 
Câu 5: (5 điểm) 
Cho ∆ABC có  120A   . Các tia phân giác BE, CF của ABC và ACB cắt nhau tại I (E, F lần 
lượt thuộc các cạnh AC, AB). Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho   030BIM CIN  . 
a) Tính số đo của MIN . 
b) Chứng minh CE + BF < BC 
------------------------------------------Hết--------------------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
3 
Trang 3 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu NỘI DUNG ĐÁP ÁN Điểm 
1 
2.5 đ 
a) Tính giá trị biểu thức 
1 1
2014 2016
a aP    , với 
1
2015
a  . 
Thay 
1
2015
a  vào biểu thức 
1 1 1 1
2015 2014 2015 2016
P     
Ta có 
1 1 1 1
2014 2015 2015 2016
P     
1 1
2014 2016
P   
2016 2014 2
2014.2016 2014.2016
P

  
1 1
1007.2016 203
0112
P   
 0.25 
0.5 
0.5 
0.5 
0.75 
2.5 đ 
b) Tìm số nguyên x để tích hai phân số 
6
1x 
 và 
1
3
x 
 là một số nguyên. 
Đặt
6 1
A
1 3
x
x

 

2 1
1 1
x
x

 

2( 1)
1
x
x



2 2
1
x
x



2( 1) 4
1
x
x
 


4
2
1x
 

Để A nhận giá trị nguyên thì 1x  là Ư(4) =  1; 2; 4   
Suy ra  0; 2;1; 3;3; 5x     
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.5 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
4 
Trang 4 
2 
2đ 
2. a) Cho 2; 2a b  . Chứng minh ab a b  
Từ 
1 1
2
2
a
a
   
1 1
2
2
b
b
   
Suy ra 
1 1
1
a b
  1
a b
ab

  
Vậy ab a b  
 0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
3đ 
b) 
 Gọi diện tích ba hình chữ nhật lần lượt là 
1 2 3
, ,S S S , chiều dài, chiều rộng 
tương ứng là 
1 1 2 2 3 3
, ; , ; ,d r d r d r theo đề bài ta có: 
 1 2
2 3
4 7
;
5 8
S S
S S
  và 
1 2 1 2 2 3 3
; 27; , 24d d r r r r d     
 Vì hình thứ nhất và hình thứ hai cùng chiều dài 
 1 1 1 2 1 2
2 2
4 27
3
5 4 5 9 9
S r r r r r
S r

       
Suy ra chiều rộng 
1 2
12 , 15r cm r cm  
 Vì hình thứ hai và hình thứ ba cùng chiều rộng 
2 2 3
2
3 3
77 7.24
21
8 8 8
S d d
d cm
S d
      
Vậy diện tích hình thứ hai 2
2 2 2
21.15 315S d r cm   
 Diện tích hình thứ nhất 2
1 2
4 4
.315 252
5 5
S S cm   
 Diện tích hình thứ ba 2
3 2
8 8
.315 360
7 7
S S cm   
0.5 
0.5 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
5 
Trang 5 
3đ 
a) Chứng minh   MDH E F  
 Vì M là trung điểm của EF suy ra MD ME MF  
 MDE cân tại M   E MDE 
 Mà  HDE F cùng phụ với E 
Ta có   MDH MDE HDE  
Vậy   MDH E F  
b) Chứng minh EF DE DF DH   
 Trên cạnh EF lấy K sao cho EK ED , trên cạnh DF lấy I sao choDI DH 
Ta có EF DE EF EK KF    
 DF DH DF DI IF    
 Ta cần chứng minh KF IF 
 - EK ED  DEK cân  
 EDK EKD 
 -     090EDK KDI EKD HDK    
  KDI HDK 
0.5 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
I
K
M
H
D E
F
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
6 
Trang 6 
 - DHK DIK   (c-g-c) 
   090KID DHK  
 Trong ∆KIF vuông tại I  KF FI điều phải chứng minh 
0.25 
0.25 
4 
(2đ) 
Ta có 
1 2 3 4 5 5
5a a a a a a     
6 7 8 9 10 10
5a a a a a a     
11 12 13 14 15 15
5a a a a a a     
Suy ra 
1 2 15 5 10 15
........ 5( )a a a a a a      
Vậy 1 2 3 15
5 10 15
...
5
a a a a
a a a
   

 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
5 
(5đ) 
- Vẽ hình đúng, đủ, chính xác. 
a) Tính số đo của MIN . 
Ta có 
  180 60ABC ACB A    
   0
1 1
30
2 2
B C  
  0150BIC  
Mà   030BIM CIN   090MIN  
b) Chứng minh CE BF BC  
-  0150BIC     030FIB EIC  
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
0.5 
0.25 
0.25 
120°
NM
I
F E
A
C
B
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
7 
Trang 7 
Suy ra BFI BMI   (g-c-g)  BF BM 
- CNI CEI   ( g-c-g)  CN CE 
Do đó CE BF BM CN BM MN NC BC       
Vậy CE BF BC  
0.5 
0.5 
0.5 
0.25 
0.25 
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám 
khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
8 
Trang 8 
ĐỀ SỐ 2. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN 
Câu 1. 
a. Thực hiện phép tính: 
3 3
0,375 0,3
1,5 1 0,7511 12
5 5 5
0,265 0,5 2,5 1,25
11 12 3
  
 

     
b. So sánh: 50 26 1  và 168 . 
Câu 2. 
a. Tìm x biết: 2 3 2 2 1x x x     
b. Tìm ;x y Z biết: 2 5xy x y   
c. Tìm x; y; z biết:2 3x y ; 4 5y z và 4 3 5 7x y z   
Câu 3. 
a. Tìm đa thức bậc hai biết    1 .f x f x x   
Từ đó áp dụng tính tổng 1 2 3 ....S n     . 
b. Cho 
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c
  
  Chứng minh: 
2 3
x y z
a b c
  . 
Câu 4. 
Cho tam giác ABC (
 90oBAC  ), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H 
qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 
a. AE AF ; 
b. HA là phân giác của MHN ; 
c. // ;CM EH // .BN FH 
------------------------------------------Hết--------------------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
9 
Trang 9 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
Câu Ý Nội dung Điểm 
Câu 1 
1,5 
điểm 
a. 0,5 
điểm A = 
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4
53 5 5 5 5 5 5
100 10 11 12 2 3 4
    

     
1 1 1 1 1 1 1
3 3
8 10 11 12 2 3 4
53 1 1 1 1 1 1
5 5
100 10 11 12 2 3 4
A
                  
 
                    
165 132 120 110
3
1320 3
553 66 60 55
5
100 660
        
 
          
263
3.
31320
53 49 5
5.
100 660
 


263
3.
3 3945 3 18811320
1749 1225 5 5948 5 29740
3300

    
  
0.25 
0.25 
b. 1 
điểm 
Ta có: 50 49 7  ; 26 25 5  
Vậy: 50 26 1 7 5 1 13 169 168        
0.5 
0,5 
Câu 2 
4 
điểm 
a. 1 
điểm 
Nếu 2x  ta có: 2 2 3 2 1 6x x x x       
Nếu 
3
2
2
x  ta có: 2 2 3 2 1 2x x x x        (loại) 
Nếu 
3
2
x  ta có: 
4
2 3 2 2 1
5
x x x x       
Vậy: 6x  ; 
4
5
x  
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
b. 1.5 Ta có: 2 5 ( 2) ( 2) 3xy x y x y y        0. 5 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
10 
Trang 10 
điểm  (y 2)(x 1) 3.1 1.3 ( 1).( 3) ( 3).( 1)          
2y  3 1 1 3 
1x  1 3 3 1 
x 2 4 2 0 
y 1 1 3 5 
0. 5 
0.5 
c. 1.5 
điểm 
Từ: 2 3 ;4 5 8 12 15x y y z x y z     
4 3 5
1 1 1 1 1 1
8 12 15 2 4 3
x y z x y z
     
4 3 5 7
12
1 1 1 7
2 4 3 12
x y z 
  
 
1 3
12
8 2
 ... 2 1 15 2 16 8 2 2.x x x x x          
Suy ra: 
18 25 9
9 16 25
y z 
  
Do đó, ta có: 
18 25
25 32 57.
9 16
y
y y

      
18 9
9 50 41.
9 25
z
z z

      
Vậy 2 57 41 100.B x y z       
0,5 
0,25 
0,5 
0,5 
0,25 
2 
(4,0đ) 
1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được: 
        
2
23 3 9 3
10 50 25 5
x x y y x y x y x y x y
                           
Suy ra: 
3
.
5
x y   
Thay 
3
5
x y  vào hai đẳng thức đã cho ta được 
1 1
; .
2 10
x y   
Thay 
3
5
x y  vào hai đẳng thức đã cho ta được 
1 1
; .
2 10
x y  
0,75 
0,25 
0,5 
0,5 
2. Từ  
1
3 0
2
x x
       
suy ra – 3x và 
1
2
x  cùng dấu. 
Dễ thấy 
1
3
2
x x   nên ta có: 
 – 3x và 
1
2
x  cùng dương 3 0 3x x     
 – 3x và 
1
2
x  cùng âm 
1 1
0
2 2
x x     
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
66 
Trang 66 
 Vậy 3x  hoặc 
1
2
x  
0,25 
3 
(5,0đ) 
1. Ta có: 
 
 
 
   
2 7 8 7 2 3 57 8 7 5
.
2 3 22 2 3 2 2 3 2 2 3
n nn
n n n n
  
   
   
Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 
 
5
2 2 3n 
 lớn nhất. 
Từ đó suy ra: 2.n  
Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi 2.n  
0,75 
0,25 
0,75 
0,25 
2. Vì   5p x  với mọi x nguyên nên  0 5p d  
p(1) a b c d 5     (1) 
( 1) 5p a b c d       (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 2( ) 5b d  và 2( ) 5a c  
Vì  2 5b d  , mà  2;5 1  nên 5 5b d b   
 2 8 4 2 5 p a b c d     mà d 5;b 5  nên 8 2 5.a c  
Kết hợp với 2( ) 5 6 5 5a c a a     vì 6;5 1 . Từ đó suy ra 5c  
Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3. Vì a b c  nên 1 .
a a a a
b c b c b c a

  
   
 (1) 
 Tương tự, ta có: 1 .
b b b b
c a c a c a b

  
   
 (2) 
 1 .
c c c c
a b a b a b c

  
   
 (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
2 2 2
2.
a b c a b c
b c c a a b a b c
 
   
    
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
67 
Trang 67 
4 
(5,0đ) 
1. 
Tam giác ABC cân tại A nên    ; ;ABC ACB NCE ACB  (đối đỉnh) 
Do đó: ( . . )MDB NEC g c g DM EN     . 
0,75 
0,75 
2. Ta có ( . . )MDI NEI g c g MI NI     
Vì BD CE nênBC DE . 
Lại có ,DI MI IE IN nên DE DI IE MI IN MN     
Suy ra .BC MN 
0,5 
0,75 
0,25 
3) Ta chứng minh được: 
 ( . . ) , .ABO ACO c g c OC OB ABO ACO      
( . . ) .MIO NIO c g c OM ON     
Ta lại có: .BM CN Do đó ( . . )BMO CNO cc c   
 MBO NCO  , Mà:  MBO ACO suy ra  NCO ACO , mà đây là hai góc 
kề bù nên COAN. 
Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc 
với AC tại C nên O cố dịnh. 
0,75 
0,5 
0,5 
0,25 
5 
(2,0đ) 
Ta có đẳng thức:     102 102 101 101 100 100a b a b a b ab a b      với mọi a, b. 
Kết hợp với: 100 100 101 101 102 102a b a b a b     
0,5 
0,5 
CI
B
E
M
N
A
O
D
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
68 
Trang 68 
Suy ra:     1 1 1 0.a b ab a b       
100 101 102
100 101 102
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
a b b b b
b a a a a
                   
Do đó 2014 2015 2014 20151 1 2.P a b     
0,5 
0,5 
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo 
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm. 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
69 
Trang 69 
ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN 
Bài 1: (4,0 điểm). 
a) Tính giá trị biểu thức A = 
1
2 3,5
3
     
1 1
: 4 3
6 7
      
+7,5 
b) Rút gọn biểu thức: B = 
4 2 9
7 7 7 4
2.8 .27 4.6
2 .6 2 .40.9


c) Tìm đa thức M biết rằng:  2 2 25 2 6 9M x xy x xy y     . 
Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn    
2012 2014
2 5 3 4 0x y    . 
Bài 2: (4,0 điểm). 
a) Tìm x : 
1 1 1
x
2 5 3
   
b) Tìm x, y, z biết: 2 3 ;x y 4 5y z và 11x y z   
c) Tìm x, biết :    
1 11
2 2
n n
x x
 
   (Với n là số tự nhiên) 
Bài 3: (4,0 điểm). 
a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng 
lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. 
b) Tìm x, y nguyên biết : 2 2xy x y   
Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB AC ,  60B   ). Hai phân giác AD và CE của 
ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI 
tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. 
a) Tính AIC 
b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. 
c) Chứng minh IDE cân. 
Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. 
------------------------------------------Hết--------------------------------------------- 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
70 
Trang 70 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
 Nội dung Điểm 
Bài 1 
(4,0đ) 
. 
Câu a: (1 điểm) 
1 1 1
2 3,5 : 4 3 7,5
3 6 7
A
                  
7 7 25 22 15
:
3 2 6 7 2
                 
35 43 15
:
6 42 2

  
245 15 490 645 155
43 2 86 86 86
 
     
Câu b: ( 1 điểm) 
B= 
4 2 9
7 7 7 4
2.8 .27 4.6
2 .6 2 .40.9


=
13 6 11 9
14 7 10 8
2 .3 2 .3
2 .3 2 .3 .5


=
 
 
11 6 2 3
10 7 4
2 .3 . 2 3
2 .3 . 2 3.5


 = 
2
3
Câu c: (2 điểm) 
 2 2 25 2 6 9M x xy x xy y     
 2 2 26 9 5 2M x xy y x xy      
 2 2 2 2 26 9 5 2 11M x xy y x xy x xy y        
Ta có    
2012 2014
2 5 3 4 0x y    
Ta có : 
 
 
   
2012
2012 2014
2014
2 5 0
2 5 3 4 0
3 4 0
x
x y
y
       
  
Mà   
2012 2014
2 5 3 4 0x y        
2012 2014
2 5 3 4 0x y    
0.5 đ 
0,5đ 
0,5đ 
0.5 
0.5 
0,5 
0.25 
0.5 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
71 
Trang 71 
=> 
 
 
2012
2014
1
22 5 0
2
13 4 0 1
3
xx
y y
       
       
. Vậy 
1
2
2
1
1
3
x
y
 

  
Vậy 
2 2
5 5 4 4 25 110 16 1159
M 11
2 2 3 3 4 3 9 36
                                    
0.25 
2. 
(1,0đ) 
1 1 1
x
2 5 3
   
1 1 1
5 2 3
x    
1 1
5 6
x   
TH1: 
1 1
5 6
x   
1
30
x  
TH2: 
1 1
5 6
x   
1 1 11
6 5 30
x     
Vậy 
1 11
;
30 30
x x  
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
0,25đ 
b. 
(1,5đ) 
Ta có : 2 3 x y suy ra 
3 2
x y
 hay 
15 10
x y
 
 4 5 y z suy ra 
5 4
y z
 hay 
10 8
y z
 
Vậy 
15 10 8
x y z
  
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
15 10 8
x y z
  = 
15 10 8
x y z 
 
= 
11 1
33 3
 
Suy ra 
10 8
5, ,
3 3
x y z   
0.25đ 
0.5đ 
0.5đ 
0.25 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
72 
Trang 72 
c 
1,5 
điểm 
1 11( 2) ( 2)n nx x    
 1 11( 2) ( 2) 0n nx x     
1 10( 2) 1 ( 2) 0nx x       
TH 1: n 1(x 2) 0  suy ra 2x   
TH2: 101 ( 2) 0x   
 10( 2) 1x   
  2 1x   suy ra 1x  
  2 1x    suy ra 3x   
Vậy 2; 1; 3x x x   
0.25 
0.5 
0.25 
0.5 
Bài 3 
(4.0đ) 
a 
(2.0đ) 
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 
Theo bài ra ta có : 13x y z   
và 2 3 4 2
ABC
x y z S   
Suy ra 
6 4 3
x y z
  
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 
6 4 3
x y z
  =
13
1
6 4 3 13
x y z 
 
 
suy ra 6; 4 ; 3x y z   
KL: 
0,25 đ 
0,75 đ 
0,75 
0.25 
b. 
(2,0đ) 
2 – – 2xy x y  
4 2 2 4xy x y   
 2 2 1 2 1 5x y y    
   2 1 2 1 5y x   
HS xét 4 trường hợp tìm ra           1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2 ,x y    
( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) 
Vậy          1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2 ,x y    
0,5 đ 
0,5 đ 
1 đ 
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
73 
Trang 73 
Bài 4 
(6.0đ) 
1 
(2.0đ) 
a/ Ta có  60ABC   suy ra 
  120BAC BCA   
AD là phân giác của BAC suy ra  
1
IAC BAC
2
 
CE là phân giác của ACB suy ra  
1
ICA BCA
2
 
Suy ra  
1
IAC ICA 120 60
2
     
Vây 120AIC   
0.5đ 
0.5đ 
0.5đ 
0.25đ 
0.25đ 
2 
(2đ) 
b/ Xét AHP và AHK có 
 PAH KAH ( AH là phân giác của BAC ) 
AH chung 
 PHA KHA 90   
Suy ra AHP AHK  (g-c-g) suy ra PH KH ( 2 cạnh tương 
ứng). Vậy 3HK cm 
Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 
2 2 2 2 24 3 25AK AH HK     
Suy ra 5 AK cm 
0.5 đ 
0,5 đ 
0.5 
0.25 
0.25 
c 
(2.0đ) 
Vì  120AIC   
 Sản phẩm dành tặng Tập thể thầy cô giáo tham gia soạn giáo án Dạy thêm Toán 7 ! 
[Document title] 
Toán Họa tổng hợp 
ĐỀ KIỂM TRA HSG MÔN TOÁN 7 
74 
Trang 74 
Do đó  AIE DIC 60   
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF AE 
Xét EAI và FAI có 
AE AF 
 EAI FAI 
AI chung 
Vậy EAI FAI   (c-g-c) 
suy ra IE IF (hai cạnh tương ứng) (1) 
 AIE AIF 60   suy ra   FIC AIC AIF 60    
Xét DIC và FIC có 
 DIC FIC 60   ; Cạnh IC chung;  DIC FCI 
Suy ra DIC FIC   ( g-c-g) 
Suy ra ID IF (hai cạnh tương ứng) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I 
0,25 đ 
0,5 đ 
0.25 
0.5 
0.25 
0.25 
Bài 5 
(2,0đ) 
 Giả sử 10 là số hữu tỷ 
10
a
b
 ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; ; 1a b  ) 
2
2
 10
a
b
 Suy ra 2 210a b 
2 2 2a 2 a 4 10b 4 b 2 b 2       
Vậy (a;b) 1 trái giả sử. 
Nên 10 là số vô tỷ 
0.25đ 
0.5đ 
0.25đ 
0.25đ 
0.5đ 
0.25đ 
- Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo 
cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.