Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn: Toán 7

Bài tập bồi dưỡng HSG
Môn: Toán 7
1, Tìm các số biết
 và 
2, a, Chứng minh rằng nếu thì a = b =c.
b, Biết . Tính và 
3, Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời . Chứng minh rằng 4 số đó lập thành một tỉ lệ thức.
4, Biết . Chứng minh rằng: .
5, Cho 4 số khác không: a1, a2, a3, a4. thoả mãn .
Chứng minh rằng:
6, a. Cho đa thức : Tính giá trị của đa thức tại x=1999
 b. Cho đa thức : . Biết 13a + b + 2c=0
 Chứng minh rằng : 
7, Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau :
 a. = 3+ 63
 b . thuộc 
8, a. Tìm các số nguyên dương n sao cho 2 số : 
 x = 2n+2003
 y = 3n+2005
 đều là những số chính phương 
 b. Cho a, b, c là các số thoả mãn :
 Tính giá trị của biểu thức : P = (1+)(1+)(1+)
9, Cho tam giác ABC có góc ABC bằng 30, góc ACB bằng 20. Đường trung trực của AC cắt BC ở E và cắt tia BA ở F 
 Chứng minh rằng : AF= E và AC=BE 
10 , Tìm các cặp số nguyên ( x,y ) biết : 2xy + 2y + x = 66
11, Cho tam giác ABC( AB < AC) trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N di động sao cho BM = CN . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BC, MN , đường IK cắt các cạnh AB , AC ở E , F 
Chứng minh tam giác AEF cân 
Chứng minh trung điểm K của MN thuộc một đường thẳng cố định khi M,N di động trên AB, AC
 12, a. Tìm các cặp số (x,y) biết x khác 0 và 
 b. Tìm các cặp số nguyên x thoả mãn :
13, a. Chứng minh rằng :
 n3 - 20052005 + 2006 n - 2 chia hết cho 3 với mọi số nguyên n
 b.Tìm mọi số nguyên n thoả mãn : 
 (n+5)2=64(n-2)3
14, Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phương.
 Chứng minh rằng a 24 
15, Biết và > 2. Tìm x để có đẳng thức sau:
 x(x – 1).x(x – 1) = (x-2)x(x – 1)
16, Cho tam giác ABC vuông ở C. Từ A, B kẻ hai tia phân giác cắt AC và BC lần lượt tại E và D. Từ D, E hạ đường vuông góc xuống AB cắt AB ở M, N. Tính góc MCN.
17. Cho tam giác ABC cân tại A có góc ACB bằng 1000. Kẻ tia phân giác trong của góc CAB cắt CB tại D. Chứng minh rằng: AD + DC = AB