Bài tập Toán Lớp 7 - Bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Giải SBT Toán 7 bài 8: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Câu 1: Cho tam giác cân tại A. Kẻ AD vuông góc với BC. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ADB và ADC, ta có:
∠(ADB) =∠(ADC) = 90o
AB = AC (gt)
Ad cạnh chung
Suy ra: ΔADB= ΔADC(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠(BAD) =∠(CAD) (hai góc tương ứng)
Vậy ADI là tia phân giác ∠(BAC)
Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng Ak là tia phân giác của góc A.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ADB và AEC, ta có:
∠(ADB) =∠(AEC) = 90o
AB = AC (gt)
∠(DAB) =∠(EAC)
Suy ra: ΔADB= ΔAEC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒AD=AE (hai cạnh tương ứng)
xét hai tam giác vuông ADK và AEK. Ta có:
∠(ADK) =∠(AEK) = 90o
AD = AE (chứng minh trên)
AK cạnh chung
Suy ra: ΔADK= ΔAEK(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒∠(DAK) =∠(EAK) (hai góc tương ứng)
Vậy AK là tia phân giác của góc BAC
Câu 3: Tam giác ABC có M là trung điểm BC,AM là tia phân giác góc A. Kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Chứng minh rằng:
a.	MH = MK
b.	∠B =∠C
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠(AHM) =∠(AKM) =90o
Cạnh huyền AM chung
∠(HAM) =∠(KAM) (gt)
⇒ ΔAHM= ΔAKM (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠(MHB) =∠(MKC) =90o
MH = MK (chứng minh trên)
MC = MB (gt)
⇒ ΔMHB= ΔMKC (cạnh huyền, góc nhọn)
∠B =∠C (hai góc tương ứng)
Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở I. chứng minh rằng AI là tia phân giác góc A.
Lời giải:
Ta có: AB = AC (gt) (1); AM = 1/2 AB (gt) (2);
AN = 1/2 AC (gt)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AM = AN
Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
∠(AMI) =∠(ANI) =90o
AM = AN (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
⇒ ΔAMI= ΔANI (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠(A1) =∠(A2) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của ∠(BAC)
Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chứng cắt nhau tại D. chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:
∠(ABD) =∠(ACD) =90o
Cạnh huyền AD chung
AB = AC
⇒ ΔABD= ΔACD (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠(A1) =∠(A2) (hai góc tương ứng)
Suy ra AD là tia phân giác góc A
Câu 6: Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.
Lời giải:
Kẻ MH ⊥ AB, MK ⊥AC
Xét hai tam giác vuông AHM và AKM, ta có:
∠(AHM) =∠(AKM) =90o
Cạnh huyền AM chung
∠(HAM) =∠KAM) (gt)
⇒ ΔABD= ΔACD (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: MH = MK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông MHB và MKC, ta có:
∠(MHB) =∠(MKC) =90o
MB=MC
MH=MK
⇒ ΔMHB= ΔMKC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ∠B =∠C (hai góc tương ứng)
Vậy tam giác ABC cân tại A
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tai BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:
BH = CK
ΔABH= ΔACK
Lời giải:
Vì ΔABC cân tại A nên∠(ABC) =∠(ACB) (tính chất tam giác cân)
Ta có: ∠(ABC) +∠(ABD) =180o (hai góc kề bù)
∠(ACB) +∠(ACE) =180o (hai góc kề bù)
Suy ra: ∠(ABD) =∠(ACE)
Xét ΔABD và ΔACE, ta có:
AB = AC (gt)
∠(ABD) =∠(ACE) (chứng minh trên)
BD=CE (gt)
Suy ra: ΔABD= ΔACE (c.g.c)
⇒∠D =∠E (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔBHD và ΔCKE, ta có:
∠(BHD) =∠(CKE)
BD=CE (gt)
∠D =∠E (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBHD= ΔCKE (c.g.c)
Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAHB và ΔACK, ta có:
AB = AC (gt)
∠(ABD) =∠(ACE) =90o
BH=CK
Suy ra: ΔABH= ΔACK (cạnh huyền, góc nhọn)
Câu 8: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cát nhau tại I. chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Kẻ: ID⊥AB, IE⊥BC, IF⊥AC
Xét hai tam giác vuông ΔIBD và ΔIEB, ta có:
∠(DBI) =∠(EBI) (gt)
∠(IDB) =∠(IEB) =90o
BI cạnh chung
Suy ra: ΔIDB= ΔIEB(cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE ( hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIEC và ΔIFC, ta có:
∠(ECI) =∠(FCI)
∠(IEC) =∠(IFC) =90o
CI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIEC= ΔIFC(cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông ΔIDA và ΔIFA, ta có:
ID=IF
∠(IDA) =∠(IFA) =90o
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIDA= ΔIFA(cạnh huyền.cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠(DAI) =∠(FAI) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác góc A
Câu 9: Cho tam giác AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.
Lời giải:
Xét ΔBMI và ΔCMI, ta có:
∠(BMI) =∠(CMI) =90o (gt)
BM=CM
MI cạnh chung
Suy ra: ΔBMI= ΔCMI(c.g.c)
Suy ra: IB = IC ( hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHA và ΔIKA, ta có:
∠(HAI) =∠(KAI)
∠(IHA) =∠(IKA) =90o
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ΔIHA= ΔIKA(cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: IH= IK (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông ΔIHB và ΔIKC, ta có:
IB=IC
∠(IHB) =∠(IKC) =90o
IH=IK (chứng minh trên)
Suy ra: ΔIHB= ΔIKC (cạnh huyền.cạnh góc vuông)
Suy ra: BH=CK (hai cạnh tương ứng)