Bài tập Toán Lớp 7 - Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải SBT Toán 7 bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Lời giải:
Vì tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC.
Suy ra AB là đường cao kẻ từ đỉnh A và CB là đường cao kẻ từ đỉnh C.
Vì B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB nên B là trực tâm của tam giác ABC.
Câu 2: Cho hình bên
a, Chứng minh: CI ⊥ AB
b, Cho ∠(ACB)= 40o. Tính ∠(BID), ∠(DIE).
Lời giải: 
a. Trong ΔABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ΔABC
Suy ra: CI là đường cao thứ ba.
Vậy CI ⊥ AB.
b. Trong tam giác BEC có ∠(BEC)= 90o
⇒ ∠(EBC) + ∠C= 90o (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∠(EBC)= 90o - ∠C= 90o - 40o = 50o hay ∠(IBD)= 50o
Trong tam giác vuông IDB có ∠(IDB) = 90o
⇒ ∠(IBD) + ∠(BID)= 90o (tính chất tam giác vuông)
⇒ ∠(BID) = 90o - ∠(IBD) = 90o - 50o = 40o
Mà ∠(BID) + ∠(DIE) = 180o (2 góc kề bù)
Nên ∠(DIE)= 180o - ∠(BID)= 180o - 40o = 140o.
Câu 3: Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC.
Lời giải: 
Trong ∆ABC ta có H là trực tâm nên:
AH ⊥ BC, BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
Trong ∆AHB, ta có:
 	AC ⊥ BH
 	BC ⊥ AH
Vì hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C nên C là trực tâm của tam giác AHB.
Trong ∆HAC, ta có:
 	AB ⊥ CH
 	CB ⊥ AH
Vì hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B nên B là trực tâm của ∆HAC.
Trong ∆HBC, ta có:
 	BA ⊥ HC
 	CA ⊥ BH
Vì hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam giác HBC.
Câu 4: Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng đó là tam giác cân
Lời giải: 
Xét hai tam giác vuông BDC và CEB, có:
∠(BDC) = ∠(CEB) = 90o
BD = CE (gt)
BC cạnh huyền chung
Suy ra: ΔBDC = ΔCEB
(cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: ∠(DCB) = ∠(EBC)
(hai góc tương ứng bằng nhau)
Hay ∠(ACB) = ∠(ABC)
Vậy ΔABC cân tại A.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tìm trực tâm của tam giác ABC, AHB, AHC.
Lời giải: 
*Tam giác ABC có (BAC) = 90o
Vì CA là đường cao xuất phát từ đỉnh B nên giao điểm của hai đường này là A.
Vậy A là trực tâm của ΔABC.
*Tam giác AHB có (AHB) = 90o
Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, BH là đường cao xuất phát từ đỉnh B nên giao điểm của hai đường này là H.
Vậy H là trực tâm của ΔAHB.
*Tam giác AHC có (AHC) = 90o
Vì AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, CH là đường cao xuất phát từ đỉnh C nên giao điểm của hai đường này là H.
Vậy H là trực tâm của ΔAHC.
Câu 6: Cho hình dưới. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?
Lời giải:
Trong ΔAEB, ta có: AC ⊥ EB
Suy ra AC là đường cao xuất phát từ đỉnh A.
Trong ΔAEB, ta có: BD ⊥ AE
Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B.
Trong ΔAEB, ta có: EK ⊥ AB
Suy ra EK là đường cao xuất phát từ đỉnh E
Theo tính chất ba đường cao trong tam giác nên các đường thẳng AC, BD và EK cùng đi qua một điểm.
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng d song song với BC.
Lời giải: 
Vì ΔABC cân tại A và AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao
Ta có:	AM ⊥ BC
d ⊥ AM (gt)
Vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau nên ta có: d // BC.
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường cao AE của ∆ABC, đường cao AF của ∆ACD. Chứng minh rằng ∠(EAF) = 90o.
Lời giải:
Ta có:	ΔABC cân tại A
AE ⊥ BC (gt)
Vì AE là đường cao của tam giác ABC nên AE cũng là đường phân giác của ∠(BAC)
Lại có:	ΔADB cân tại A
AF ⊥ BD (gt)
Vì AF là đường cao nên AF cũng là đường phân giác của ∠(BAD)
Mà ∠(BAC) và ∠(BAD) là hai góc kề bù nên: AE ⊥ AF.
Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC.
Lời giải:
Vì ΔABC cân tại A nên đường phân giác của góc ở đỉnh A cũng là đường cao từ A.
Suy ra: AD ⊥ BC
Ta có: CH ⊥ AB (gt)
Tam giác ABC có hai đường cao AD và CH cắt nhau tại D nên D là trực tâm của ∆ABC
Suy ra BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B đến cạnh AC.
Vậy BD ⊥ AC.
Câu 10: Tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Lời giải: 
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao.
Suy ra: AM ⊥ BC
Ta có: MB = MC = 1/2 BC = 1/2 .10 = 5 (cm)
Trong tam giác vuông AMB có (AMB) = 90o
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2 = AM2 + MB2
Suy ra: AM2 = AB2 - MB2
= 132 - 52 = 169 - 25 = 144
Vậy AM = 12(cm)