Các dạng bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau và lũy thừa

Dạng1: Tìm hai số biểt tổng (hoặc hiệu) và tỉ số giữa chúng
Bài1:Tìm hai số x, y, z biết :
1) và x + y = 60 2) và y – x = 26 
3)7x = 4y và y – x = 24 4), và x + y – z = 69 
5)x: y: z : t = 15: 7: 3: 1 và x – y + z – t = 10 
6) và 5z – 3x – 4y = 50 
7)2a = 3b, 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30 
8)x: y: z = 3: 8: 5 và 3x + y – 2z = 14 
9) và 5x + y – 2z = 28 
10)3x = 2y, 7y = 5z và x – y + z = 32 
11), và 2x - 3y + z = 6 
12) và x + y + z = 49 
13) và 2x + 3y – z = 50 
14) 15)và xy = 90
16)
17)x: y: z = 3: 4: 5 và 2x2 + 2y2 – 3z2 = - 100
18)Tìm các số a1, a2, .., a9, biết : và 
a1 + a2 + a3+ .+ a9= 90.
Dạng2: Chứng minh đẳng thức từ một tỉ lệ thức cho trước
Bài1:Cho ( giả thiết các số đều có nghĩa). Chứng minh rằng :
1) 2) 3) 4)
5) 6)
Bài2:Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ dương và . Chứng minh rằng :
a) b)( a + 2c)(b+d) = (a + c)(b + 2d) 
Bài3:Cho ( b, c, d; c + d 0). Chứng minh rằng : 
1) 2) 3)
4) 5) 
Bài4: Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức nếu có một trong các đẳng thức sau:
a) 
b)(a + b + c + d)(a – b- c + d) = (a-b + c – d)(a + b – c – d) 
Bài5:Cho . Chứng minh rằng : 
Bài6:Cho , a1+ a2++ a9 0. Chứng minh rằng :
a1=a2=.= a9.
Bài7: Cho với ab, ca. Chứng minh rằng : a2 = bc
Bài18:Biết và . Chứng minh rằng thì abc + a’b’c’ = 0.
Bài19: Cho bốn số khác không thoả mãn a1, a2, a3, a4 thoả mãn : a22 =a1.a3
 a23= a2. a4 . Chứng minh rằng : = 
Bài20:Chứng minh rằng nếu thì 
1) 2)
Bài21:Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c và . Chứng ming rằng bốn số đã cho lập lên một tỉ lệ thức.
Bài22:Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2+ c2 = 1 và . Chứng minh rằng :
a) b)
Bài23:Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng :
a) b)
Bài24:Chứng minh rằng nếu thì 
Bài25:Cho dãy tỉ số bằng nhau Chứng minh rằng 
Bài26:Cho các số a, b, c, d thoả mãn . Chứng minh rằng ad = bc hoặc ac = bd.
Bài27:Cho: (2x1- 3y)2004 + (2x2- 3y2)2004 + ..(2x2005 – 3y2005)2004 0
Chứng minh rằng := 1,5
Bài28:Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) ( b 0, d 0) . Thì 
.
Dạng3: Tính tỉ số và giá trị của biểu thức 
Bài1:Cho x, y , z là các số dương phân biệt. Hãy tính , biết rằng 
Bài2:Cho a, b, c là các số khác không sao cho: 
Tính giá trị của biểu thức M = 
Bài3:Cho biểu thức P = . Tính giá trị của P biết