Cách giải phương trình bậc ba trên trường số phức

II.Cách giải phương trình bậc ba trên trường số phức.
Cho phương trình: x3 + ax2 +bx + c = 0 (1) 
Cách giải được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Làm mất số hạng ax2 đưa phương trình về dạng y3 + py + q =0.
Đặt ta được và 
Đặt: và ta đưa phương trình (1) về dạng:
y3 + py + q = 0 (2). Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải phương trình (2).
Bước 2: Đặt y = u + v phương trình (2) trở thành:
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0 (3) hay u3 + v3 +( u + v )( 3uv + p ) + q = 0 (4).
Nếu tìm được u,v thoả mãn hệ phương trình:thì u,v thoả mãn phương trình(4) Do đó thoả mãn phương trình (3):nghĩa là y=u + v là nghiệm của phương trình (2). 
Bước3: Giải hệ gồm hai phương trình (5) và (6).
Chia hai vế của phương trình (6) cho 3 rồi lập phương hai vế ta được hệ:
 Theo định lý Viét (5) và (7) chứng tỏ u3 , v3 là hai nghiệm của
phương trình bậc hai: Vậy : 
Do đó: 
Suy ra: 
Công thức nghiệm trên đây được gọi là công thức Cacđanô.
Chú ý: 
-Trên trường số phức mỗi căn bậc ba có ba giá trị. Tuy nhiên không thể chọn các cặp giá trị u, v tuỳ ý mà chỉ lấy những cặp giá trị thoả mãn đẳng thức (6). Gọi z là một giá trị phức của căn bậc ba của (1), Chẳng hạn ta có z3 = 1. Nếu đã chọ được cặp u, v thoả mãn đẳng thức (6) thì:
 như vậy, nếu đặt u1 = u, v1 = v thì dễ thấy các cặp (u2,v2); (u3,v3) sau đây; u2 =uz, v2 =vz2; u3 = vz2 , v3 =uz là những nghiệm của hệ gồm các phương trình (5) và (6). Khi giải phương trình bậc ba có thể áp dụng công thức Cacđanô cùng với chú ý trên. Song ta nên nhớ các bước giải nêu trên vì có khi ta quên công thức.
Một số bài tập về phương trình bậc ba
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.4x3 + 5x2 - 2x - 7 = 0 (1)	b.-2x3 + 11x2 - 2x - 7 = 0 (2)
c. x3 + 5x2 + 2x - 8 = 0 (3)	d.-x3 + 5x2 +22x - 26 = 0 (4)
e.4x3 + 5x2 + 2x +3 = 0 (5)	f.-2x3 + 5x2 - 7 = 0 (6)
g. x3 - 5x2 - x - 7 = 0 (7)	h.4x3 + 3x +7 = 0 (8)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a.8x3 -1 = 0 (1)	b.9x3 + 8 = 0 (2)
c. x3 + 3x2 + 3x +1 = 0 (3)	d.x3 - 3x2 +3x - 1 = 0 (4)
e. x3 + 3x2 + x+3 = 0 (5)	f.x3 + 5x2 +10x +50 = 0 (6)
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a.4x3 - 10x2 + 6x - 1= 0 (1)	b.8x3 - 36x2 + 27 = 0 (2)
c. x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 (3)	d. x3 - 6x - 9 = 0 (4)
c. x3 + 6x2 + 30x + 25 = 0 (5)	h. x3 - 3x2 - 3x + 11 = 0 (6)