Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

 Toán Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Định lí 1: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm 
 của tam giác.
 Định lí 2 : Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân 
 giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.
 Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường 
 phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
 Trên hình dưới đây, H là trực tâm của các tam giác.
 A H C
 I
 F
 E A
 F
 H B
 N P
 K
 B C E
 I H
 Tam giác nhọn thì trực tâm Tam giác vuông thì trực tâm chính Tam giác tù thì rực tâm nằm 
 nằm bên trong tam giác. là đỉnh góc vuông của tam giác đó. ngoài tam giác đó.
 II. BÀI TẬP
 A
 Bài 1: N
 K
 Cho hình bên có AM  BC tại M , CN  AB tại N .
 B C
 a) Chứng minh BK  AC . M
 b) Cho MA MB , ·ACB 550 . Tính M· KN, K· BN . 
 Bài 2: Chứng minh định lý: “một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc 
 nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.”
 Bài 3: Cho tam giác ABC Cµ 900 có đường cao CD. Với AM và CN lần lượt là trung 
 tuyến của tam giác ADC và tam giác DCB. Kẻ BK  AB sao cho BK cắt MN tại K.
 a) Chứng minh: CMB KBM .
 b) Chứng minh: AM  CN .
 Bài 4: Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C vẽ các đường thẳng song song với cạnh 
 đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF . Chứng minh nếu O là điểm cách đều 
 D, E, F thì O là trực tâm của tam giác ABC.
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 1 Toán Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 5: Cho tam giác ABC có các đường cao BE,CF cắt nhau tại H (EÎ AC; F Î AB). Gọi 
 I,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AH,BC.
 a) Chứng minh FK ^ FI;
 b) Cho AH = 6 cm; BC = 8 cm. Tính IK.
 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trến tia đối của tia 
 AC lấy 
 điểm N sao cho AN AM , MN cắt BC ở D.
 a) Chứng minh: NDC vuông cân.
 b) Chứng minh: CM  NB .
 c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho ·ABE 300 . Trên tia đối của AB lấy điểm F sao cho 
 AF AE . Vẽ điểm I sao cho FC là trung trực của EI. Tính B· FI .
 Bài tập bổ sung
 Bài 7: Cho ABC cân ở A có AD là trung tuyến, đường cao BE cắt AD ở H. 
 a) Chứng minh CH  AB. 
 b) Vẽ điểm I sao cho A là trung điểm của CI, vẽ đường cao AK của BAI. Tính K· AD. 
 c) AB cắt DK tại J. Chứng minh AB DK và J là trung điểm chung của AB và DK. 
 d) Gọi O là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm L sao cho OL OB.
 Chứng minh K, A, L thẳng hàng.
 e) Cho biết AC 17cm, BC 16cm. Tính KI, BO. 
 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ C kẻ tia Cx vuông góc với cạnh BC; gọi F là 
 giao điểm của tia Cx và phân giác trong của góc B; kéo dài BF cắt AC ở E. Kẻ CD vuông 
 góc với EF (DÎ EF). Kéo dài BA cắt CD tại S. Chứng minh:
 a) CD là tia phân giác của E· CF;
 b) DE = DF;
 c) SE // CF.
 Hết
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 2 Toán Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: a) K là trực tâm của DABC Þ BK ^ AC A
 1 2
 · · N
 b) DAMB cân tại M Þ ABC = BAM = 45° 
 H
 K
 · ·
 BAC = 180° - (ABC + ACB) = 180° - 100° = 80° 
 55°
 B M C
 ·
 Þ MAC = 80° - 45° = 35° 
 · · ·
 KCH = ACB - NCB = 55° - 45° = 10° 
 K·CH = K·BN = 10° MKN = 180° - 45° = 135°
 ; A
 Bài 2: Xét ABC có các đường cao BD,CE bằng nhau.
 E D
 ABD ACE (cạnh góc vuông- góc nhọn)
 AB AC 
 Do đó ABC cân tại A.
 B C
 Bài 3: 
 a) CM  AB, BK  AB CM // BK C· MB K· BM (so le trong)
 Xét MDN, KBN có: D· NM B· NK (đối đỉnh); A
 DN NB (do CN là trung tuyến của DCB )
 · · 0
 MDN KBN 90 
 D
 MDN KBN (g.c.g)
 N
 MD BK (hai cạnh tương ứng) K
 M
 CM MD ADC
 Mà (do AM là trung tuyến của ) C B
 CM BK MD 
 Xét CMB, KBM có: CM KB (cmt); C· MB K· BM (cmt); MB chung
 CMB KBM c.g.c 
 b) Ta có: CMB KBM cmt C· BM K· MB (hai góc tương ứng)
 Mà hai góc ở vị trí so le trong NM / / BC 
 Lại có BC  AC (do ABC vuông tại C) NM  AC 
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 3 Toán Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Xét ANC có NM  AC (cmt), CD  AN (gt), NM  CD = M 
 M là trực tâm của ANC
 A
 AM  CN (tính chất ba đường cao) D E
 Bài 4: O
 Chỉ ra DADB = DBCA(g.c.g) Þ AD = BC B C
 Chỉ ra DAEC = DCBA(g - c - g) Þ AE = BC 
 F
 Từ đó AD = AE ; lại có OD = OE nên OA là đường trung trực của DE hay OA ^ DE; 
 mà DE/ / BC Þ AO ^ BC 
 Chứng minh tương tự CO ^ AB; BO ^ AC nên O là trực tâm của DABC 
 Bài 5: 
 A
 a) DFKC cân tại K Þ K· FC = F· CK
 I E
 DFIH cân tại I Þ I·FH = I·HF mà I·HF = N· HC (đối đỉnh)
 F H
 Þ I·FH = N· HC (= I·HF). 
 ì · ·
 ï IFH = NHC B N K C
 ï
 Ta có: í K· FC = K· CF Þ I·FH +K· FC = 90° . Þ IF ^ FK. 
 ï
 ï N· HC +K· CF = 90°
 î
 b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông IFK ta có:
 æ ö2 æ ö2
 2 2 2 AH BC 2 2
 IK = FI +FK = ç ÷ +ç ÷ = 3 +4 = 25 Þ IK = 5 cm.
 è 2 ø è 2 ø
 Bài 6: 
 N
 F
 a) Do N thuộc tia đối của tai AC mà 
 · ·
 AC  AB AN  AB BAN 90 hay NAM 90 A
 AN AM AMN M· NA 45
 Mà vuông cân tại A I
 K
 M E
 Lại có ABC vuông cân tại A ·ACB 45 hay ·ACD 45
 N· DC 180 M· NA D· CA 180 45 45 90 B D C
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 4 Toán Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Xét NDC có N· DC 90;M· NA D· CA 45 NDC vuông cân tại D.
 b) Do N· DC 90 ND  BC; BA  NC và ND  BA M 
 M là trực tâm của NCB 
 CM  NB (tính chất ba đường cao của tam giác)
 c) Gọi K là trung điểm của EI BFK vuông tại K có ·ABE 30 B· FK 60.
 Ta có AE AF (gt) ; F· AE 90 AEF vuông cân tại A ·AEF 45 
 Mà B· FK ·AFE E· FK 60 45 E· FK 60 E· FK 15.
 Do FC là trung trực của EI FE FI IFE cân tại F
 FK vừa là trung trực vừa là phân giác (tính chất tam giác cân)
 · ·
 Þ KFI = EFK = 15° 
 Þ B·FI = B·FK + K·FI = 60° + 15° = 75°
 ·
 Vậy BFI = 75°
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 5