Chuyên đề hệ thức Viét và các ứng dụng

Chuyên đề hệ thức viét và các ứng dụng :
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Định lý viét:
Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 +bx + c = 0 (a 0 ) thì :
2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng .
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hhai nghiệm của phương trình : 
X2 – SX + P = 0 . Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P 
Các dạng toán :
Dạng 1 Không giải phương trình , tính tổng và tích các nghiệm số .
Phương pháp giải :
* Tính để phương trình có nghiệm .
* áp dụng định lí vi-ét: S = 
Dạng 2 : Giải phương trình bằng phương pháp nhẩm nghiệm :
Phương pháp giải :
áp dụng định lí vi-ét: 
* Nếu a + b + c = 0 Thì x1 = 1 ; x2 = .
* Nếu a – b + c = 0 Thì x 1 = -1 ; x2 = -
*Nhẩm nếu có 2 số m,n để m+n = S, m.n = P thì phương trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n .
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1;x2 của phương trình bậc hai.
*)Biểu thức giữa x1;x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không thay đổi.
*)Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P(tổng và tích các nghiệm).
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2:
ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi : P = 
 (Hoặc ac < 0).
+)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi :
+) Phương trỡnh có hai nghịệm âm khi : 
+)Phương trình có hai nghiệm dương khi :
+) Phương trình có hai nghiệm không âm khi 
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương khi:P<0 và S < 0
* Chỳ ý: Nếu bài toán yêu cầu có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện nào đó thì cần có Δ > 0
Dạng5: Xác định tham số (m chẳng hạn) để phương trình bậc
 hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trước.
Phương pháp giải:
Bước 1- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1;x2 : (*)
Bước 2-áp dụng định lý Vi-ét ta được tính S = x1+x2; P = x1.x2 
Bước 3- Từ ĐK (T) và S tính x1,x2 theo m thế vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) rồi kết luận.
Ví dụ 1:Cho phương trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số) 
a/ Giải phương trình (1) với m = 3.
b/ Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 
(Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh)
LG:
a)Với m = 3 ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + 3 - 2 = 0
 4x2 - 4x + 1 = 0
 (Hoặc tính được hay )
Suy ra PT có nghiệm kép x = 1/2
b)Để PT có 2 nghiệm phân biệt thì 
Mà theo ĐL Vi-ét ta có: 
Từ ta có: 
 thoả mãn (*)
Vậy m phải tìm là -2.
Dạng 6*:thức liên hệ giữa các nghiệm x1;x2 của phương 
trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
 (Giả sử tham số là m)
Bước1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2:
Bước 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2 
Bước3 Khử m từ bước 2 bằng phương pháp thế (Rút m theo x thế vào S hoặc P) hoặc cộng đại số ta sẽ được biểu thức cần tìm.
Ví dụ1:Cho phương trình x2 - mx + 2m - 3 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
+)Phương trình trên có nghiệm khi: D =m2 - 8 m + 12 ≥ 0
 Û(m- 2)(m-6) ≥ 0Û
+)Theo hệ thức Vi-ét ta được :
+)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta được : x1x2=2(x1+x2) - 3
 Cách 2:Nhân cả hai vế của(1) với 2 rồi trừ vế với vế cho (2) ta được: 
 3 =2(x1+x2)- x1x2
Ví dụ 2:Cho phương trình: (m - 1)x2- 2(m - 4 )x +m - 5 = 0
	Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
Trước hết ta cần tìm m để pt có 2 nghiệm x1;x2 :
	 ÛÛ
Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1;x2.. Theo hệ thức Vi-ét ta được : Û Từ đó ta được: 2(x1+x2) - 3 x1x2=1
Ví dụ 3:Cho phương trình: m x2- (2m + 3 ) x+ m - 4= 0
a)Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Giải:
a)Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
	ÛÛ
Vậy với thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.
b)Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: Û
Û Cộng 2 vế pt trên ta được:
4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Ví dụ 4 :Giả sử x1;x2 là nghiệm của phương trình:
x2- 2 (m - 1 ) x+m 2 - 1= 0
Tìm hệ thức giữa x1;x2 không phụ thuộc vào m
Giải:
Phương trình có nghiệm 
 	Û ≥ 0Û m 
 áp dụng hệ thức Vi-ét ta được:
 Từ (1)suy ra m= Thay vào (2) ta được:
 P = Û 4P = S2 +4S
 Vậy hệ thức cần tìm là: (x1+x2) 2 +4(x1+x2 =) 4 x1x2
	Phương pháp giải : Trong một phương trình có hai ẩn số . Ta xem 1 ẩn là tham số . rồi giải phương này theo ẩn còn lại phương pháp giải này được gọi là “Đặt tham số mới “ 
Bài 34 : CMR Chỉ có một cặp số duy nhất thoa mãn phương trình :
Cách 1 : đặt tham số mới : Xem x là ẩn , y là tham số (y ) ta có Vì - PT chỉ có nghiệm khi . Khi đó phương trình có nghiệm kép x = -2 
Vậy cặp số (2 ; 9)là cặp số duy nhất thoả mãn PT đã cho .
Cách 2: (Tổng bình phương )
(1) 
Dạng 7. So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số a.
Bước 1: Xét dấu hiệu các nghiệm của pt với a.
Bước 2: Xét dấu của tổng hoặc tích hoặc cả tổng và tích các hiệu ở bước 1.
Bước 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết quả của bước 2 theo tham số.
Bước 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm và kết luận 
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1:
	x2 – (m – 1)x – m = 0 
( Bài 16 trong bộ đề)
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 3:
2x2 – 4x + 5(m – 1) = 0
Chú ý: Nếu tìm x đơn giản có thể tìm x theo m rồi so sánh
Bài 3*: Tìm giá trị của m để phương trình: x2 + mx + m – 1 = 0 có 2 nghiệm lớn hơn m.
Bài 4*: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có một nghiệm lớn hơn 2:
 mx2 – (2m+1)x + (m+1) = 0
Chuyờn đề: PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI 
CHỨA THAM SỐ
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m, ta xột 2 trường hợp:
a) Nếu a = 0 
Khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : 
	- Cú một nghiệm duy nhất
	- hoặc vụ nghiệm
	- hoặc vụ số nghiệm
b)Nếu a 0 
Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac
 < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm
 = 0 (/ = 0 ): phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - (hoặc x1,2 = -)
 > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt:
 x1 = ; x2 = 
 (hoặc x1 = ; x2 = )
2. Định lý Viột.
Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo lại: Nếu cú hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2:
 x2 – S x + p = 0 
3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau:
Hai nghiệm x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 
Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) 
Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) 
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) 
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 
4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = 
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - 
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm 
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m
b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
 Cách làm :
- Lập tổng S = x1 + x2 
- Lập tích p = x1x2
- Phương trình cần tìm là : x2 - S x + p = 0 
c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):
 x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
 (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
 x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
= 
 = 
 (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
(Chú ý : Các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện )
d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm
+) Cách 1:
Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: (hoặc ) (*)
Thay x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số
Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*) để kết luận
 +) Cách 2: 
Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số 
Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình 
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: 
Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :
Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2
+) Cách 3: 
Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2
Áp dụng
Bài 1/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = -20 
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú
Bài 2/ Cho phương trỡnh: x2 – (m - 2)x + m – 5 = 0.(x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Chứng tỏ phương trỡnh cú nghiệm với mọi m.
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu.
Bài 3/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – 5x + 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú
	b/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu.
Bài 4/ Cho phương trỡnh: (m – 4)x2 – 6x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm 
	b/ Giải phương trỡnh khi m = 3
Bài 5/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 4)x + m – 6 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại.
	b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
Bài 6/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 3)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 4. 
	b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
	c/ Định giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp ba nghiệm kia.
Bài 7/ Cho phương trỡnh: 5x2 – 2x + m = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = -16 
	b/ Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú.
	c/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương.
Bài 8/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 2)x + m – 4 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nhiệm đối nhau.
Bài 9/ Cho phương trỡnh: 3x2 – x + – 3 = 0
	Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh:
	a/	`	b/ 
Bài 10/ Cho phương trỡnh: x2 – 9x + m – 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = -9 
	b/ Tớnh giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp đụi nghiệm kia.
Bài 11/ Cho phương trỡnh: mx2 – 4x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú
Bài 12/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 5)x + m – 7 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại. 
	b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
c/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dương.
Bài 13/ Cho phương trỡnh: (m – 1)x2 – (2m + 1)x + 1 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 2 
	b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
c/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 3. Tớnh nghiệm cũn lại.
Bài 14/ Cho phương trỡnh: x2 – 5x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 2; m = 8. 
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm kộp. Tớnh nghiệm kộp đú
	c/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp bốn nghiệm kia.
Bài 15/ Cho phương trỡnh: x2 – 8x + m – 2 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 10. Tớnh nghiệm cũn lại.
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp ba nghiệm kia.
Bài 16/ Cho phương trỡnh: x2 – (m – 1)x + m – 5 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 2 
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại.
	c/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m.
Bài 17/ Cho phương trỡnh: x2 – 4x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = -3 
	b/ Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm bằng 2. Tớnh nghiệm cũn lại.
c/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm.
	d/Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm này gấp bốn nghiệm kia.
Bài 18/ Cho phương trỡnh: x2 – 3x + m – 3 = 0. (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = -7 
b/ Xỏc định m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thoả món: 
Bài 19/ Cho phương trỡnh: x2 – 2mx – 4m – 11 = 0; (x: là ẩn, m: là tham số)
	a/ Giải phương trỡnh khi m = 1 
	b/ Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m.
c/ Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1, x2 thoả món: