Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 2: Tam giác - Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (góc – cạnh – góc)

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 5. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC
 (Gĩc – cạnh – gĩc)
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Nếu một cạnh và hai gĩc kề cạnh cạnh đĩ của tam giác này bằng một cạnh và hai gĩc kề của 
 tam giác kia thì hai tam giác đĩ bằng nhau.
 B B'
 A C A' C'
 ▪ Xét DABC và DA 'B 'C ' cĩ
 µ 
 Bˆ B
 BC B C VABC VA B C (g.c.g)
 µ 
 Cˆ C
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai gĩc kề
 ▪ Bước 1: Vẽ một cạnh với độ dài cho trước.
 ▪ Bước 2: Vẽ hai tia thỏa mãn số đo gĩc kề cho trước.
 ▪ Bước 3: Giao điểm của hai tia vừa vẽ chính là đỉnh thức 3 của tam giác.
Ví dụ 1. Vẽ tam giác ABC biết rằng BC 5cm , Bˆ 75 , Cˆ 40 .
Lời giải
+ Vẽ cạnh BC 5 cm;
+ Trên cùng nữa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx sao cho C· Bx 75 , vẽ tia Cy 
sao cho B· Cy 40 ;
+ Vẽ tia Bx cắt Cy tại A .
Ví dụ 2. Vẽ tam giác MNP biết rằng MN 4 cm, Mˆ 60 , Nˆ 30 .
Lời giải
+ Vẽ cạnh MN 4 cm;
+ Trên cùng nữa mặt phẳng bờ MN vẽ tia Mx sao cho N· Mx 60 , vẽ tia 
 Ny sao cho M· Ny 30 ; Toán 7 Tài liệu dạy học
+ Vẽ tia Mx cắt Ny tại P .
Dạng 2: Tìm hoặc chứng minh tam giác theo trường hợp gĩc – cạnh – gĩc
 ▪ Xét hai tam giác cần chứng minh bằng nhau.
 ▪ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau gĩc – cạnh – gĩc.
 ▪ Kết luận hai tam giác bằng nhau (theo thứ tự đỉnh).
Ví dụ 3. Trong các hình sau những tam giác nào bằng bằng nhau? vì sao?
 Hình a) Hình b) Hình c) Hình d)
Lời giải
a) Xét VJGH và VHIJ ta cĩ
 ▪ G· JH I·HJ (vì GJ P HI )
 ▪ JH là cạnh chung
 ▪ G· HJ I·JH (vì GH P IJ )
 VJGH VHIJ (g.c.g).
b) Vì K· LO N· MO KL P MN L· KO M· NO
Xét VOKL và VONM ta cĩ
 ▪ O· LK O· MN (gt)
 ▪ KL MN (gt)
 ▪ L· KO M· NO (chứng minh trên)
 VOKL VONM (g.c.g).
c) Xét VPQR và VDEF ta cĩ
 ▪ P· QR F· ED 90
 ▪ PQ FE (gt)
 ▪ Q· PR E· FD (gt)
 VPQR VDEF (g.c.g).
Ví dụ 4. Trong các ví dụ sau cĩ những tam giác nào bằng nhau? Giải thích vì sao? Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
a) Xét VABD và VCBD ta cĩ
 A· DB B· DC (gt)
 BD là cạnh chung
 A· BD D· BC (gt)
 VABD VCBD (g.c.g).
b) Ta cĩ EG EF FG ; HF HG FG mà EF HG EG HF
Xét VIEG và VIHF ta cĩ
 I·EG I·FH (gt)
 EG HF (CM trên)
 I·GE I·FH (gt)
 VIEG VIHF (g.c.g).
 IE IH
Xét VIEF và VIHG ta cĩ
 IE IH (CM trên)
 I·FH I·GE (gt)
 EF HG (gt)
 VIEF VIHG (g.c.g).
Dạng 3: Sử dụng trường hợp bằng nhau gĩc – cạnh – gĩc để chứng minh tính chất khác
 ▪ Chọn hai tam giác cĩ cạnh là hai đoạn thẳng hoặc hai gĩc cần chứng minh.
 ▪ Chứng minh hai tam giác đĩ bằng nhau rồi suy ra các cạnh, các gĩc tương ứng bằng 
 nhau.
 ▪ Kết hợp tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng 
 ba gĩc trong một tam giác, để chứng minh các tính chất khác. Toán 7 Tài liệu dạy học
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC (AB AC) . Trên tia AB,AC lần lượt lấy các điểm M ,N sao cho 
 AM AN . Nối BM và CN , chúng cắt nhau tại I . Chứng minh: 
a) BM CN ; b) VBMC VCNB và VBIM VCIN ;
c) AI là phân giác của gĩc Aˆ .
Lời giải
a) Ta cĩ BM AB AM ; CN AC AN
Mà AB AC ; AM AN (gt)
 BM CN .
b) Xét VABN và VACM ta cĩ
 AB AC (gt); B· AC là gĩc chung; AN AM (gt)
 VABN VACM (c-g-c)
 BN CM ; A· BN A· CM
Xét VBMC và VCNB ta cĩ
 BN CM (CM trên); BM CN (CM trên); BC là cạnh chung
 VBMC VCNB (c-c-c)
 B· MC C· NB
Xét VBIM và VCIN ta cĩ
 B· MC C· NB (CM trên); BM CN (CM trên); M· BI N· CI (CM trên)
 VBIM VCIN (g-c-g)
 MI NI
c) Xét VAMI và VANI ta cĩ
 AM AN ; MI NI ; AI là cạnh chung
 VAMI VANI (c-c-c)
 M· AI N· AI .
Vậy AI là tia phân giác của gĩc A .
Ví dụ 6. cho tam giác ABC vuơng tại B,AC 2AB , kẻ phân giác AE(E BC) . Từ E vẽ 
 EI  AC ; Toán 7 Tài liệu dạy học
a) Chứng minh AI AB ; Từ đĩ suy ra I là trung điểm AC ;
b) Tính các gĩc A,C của tam giác ABC .
Lời giải
a) Xét VABE vuơng tại B và VAIE vuơng tại I ta 
cĩ
 AE là cạnh huyền chung
 B· AE E· AI (gt)
 VABE VAIE (cạnh huyền - gĩc nhọn)
 AC
 AI AB 
 2
 I là trung điểm của AC
b) Xét VEAI và VECI ta cĩ
 AI IC ; E· IA E· IC 90 ; EI là cạnh chung
 VEAI VECI (c-g-c)
 E· CI E· AI E· AB
 B· AC B· CA 3A· CB
Lại cĩ B· AC A· CB 90
 A· CB 30 B· AC 60
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC , D là trung điểm AB . Đường thẳng kẻ qua D và song song với 
 BC cắt AC tại E , đường thẳng kẻ qua E và song song với AB cắt BC tại F . Chứng minh:
a) AD EF ; b) VEFD VFEC ; c) F là trung điểm BC .
Lời giải
a) AD P FE D· AE F· EA;AF P ED
 F· AE D· EA
Xét VADE và VEFC ta cĩ
 D· AE F· EA ; AE EC ; F· AE D· EA
 VDAE VFEA (g-c-g) Toán 7 Tài liệu dạy học
 AD EF
 DE FC và A· DE E· FC . (1)
b) Ta cĩ EF P AB A· DE D· EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra D· EF E· FC
Xét VEFD và VFEC ta cĩ
 EF là cạnh chung; D· EF E· FC ; ED FC
 VEFD VFEC (c-g-c).
 DF AC và E· DF E· CF A· ED
 DF P AE B· DF D· AE F· EC 
c) Xét VBDF và VFEC ta cĩ
 BD FE ( AD ); B· DF F· EC ; DF EC
 VBDF VFEC (c-g-c)
 BF FC . Vậy F là trung điểm cảu BC .
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC (AB BC) cĩ M là trung điểm của BC . Vẽ BI và CK vuơng 
gĩc với đường thẳng AM . Chứng minh:
a) BI CK ; b) CI P BK .
Lời giải
a) Xét VBIM vuơng tại I và VCKM vuơng tại K cĩ
 BM CM ; B· MI C· MK (đối đỉnh)
 VBIM VCKM (cạnh huyền - gĩc nhọn)
 BI CK
 IM MK .
Xét VBMK và VCMI cĩ
 IM KM ; B· MK I·MC (đối đỉnh); BM CM VBMK VCMI (c-g-c)
 C· IM B· KM CI P BK .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Toán 7 Tài liệu dạy học
Bài 1. Vẽ tam giác ABC biết BC 4 cm, Bˆ 45 ,Cˆ 80
Lời giải
- Vẽ cạnh BC 4cm ;
- Trên cùng nữa mặt phẳng bờ BC vẽ tia Bx sao cho C· Bx 45 , vẽ tia Cy 
sao cho B· Cy 80 ;
- Vẽ tia Bx cắt Cy tại A .
Bài 2. Cho gĩc nhọn xOy . Trên tia Ox , Oy lần lượt lấy hai điểm A,B sao cho OA OB . Từ A 
kể đường thẳng vuơng gĩc Ox cắt Oy tại E . Từ B kể đường thẳng vuơng gĩc Oy cắt Ox tại F . 
Các đoạn AE và BF cắt nhau tại I . Chứng minh:
a) AE BF ; b) VAFI VBEI ; c) OI là tia phân giác của A· OB .
Lời giải
 a) Ta cĩ OA OB;O· AE O· BF ;Oˆ gĩc chung
 VOFB VOEA (c-g-c)
 AE BF .
 b) Theo câu a ta cĩ VOFB VOEA
 OE OF mà OA OB AF BE
 A· FI B· EI
 lại cĩ F· AI E· BI 90
 VAFI VBEI (c-g-c)
 AI BI .
 c) Xét VOAI vuơng tại A và VOBI vuơng tại B ta cĩ
 OI là cạnh huyền chung; AI BI
 VOAI VOBI I·OA I·OB .
 Vậy OI là tia phân giác của A· OB . 
Bài 3. Cho tam giác MNP cĩ Mˆ Nˆ . Kẻ ME là phân giác của gĩc Mˆ (E NP) , kẻ NF là 
phân giác của gĩc Nˆ (F MP) . Chứng minh ME NF .
Lời giải Toán 7 Tài liệu dạy học
 P· MN
 ME là phân giác của P· MN E· MN 
 2
 P· NM
Tương tự ta cĩ F· NM 
 2
 F· NM E· MN .
Xét VMFN và VNEM ta cĩ
 F· NM E· MN ; MN là cạnh chung; F· MN E· NM .
 VMEN VNFM (g c g) ME NF .
Bài 4. Cho tam giác ABC , đường phân giác Aˆ cắt đường phân giác Bˆ tại O . từ O hạ 
OE  AB(E AB),OF  AC (F AC),OI  BC (I BC) . Chứng minh OE OF OI . 
Lời giải
Xét VAOE vuơng tại E và VAOF vuơng tại F ta cĩ
OA là cạnh huyền chung; E· AO F· AO
 VAOE VAOF . (cạnh huyền - gĩc nhọn) 
 OE OF . (1)
Xét VBOE vuơng tại E và VBOI vuơng tại I ta cĩ
OB là cạnh huyền chung; E· BO I·BO
 VBOE VBOI . (cạnh huyền - gĩc nhọn) 
 OE OI . (2)
Từ (1) và (2) suy ra OE OF OI .
Bài 5. Cho gĩc x·Oy và điểm M nằm trong gĩc đĩ. Qua điểm M kẻ đường thẳng song song Ox , 
và đường thẳng này cắt Oy tại B . Qua điểm M kẻ đường thẳng song song Oy , và đường thẳng 
này cắt Ox tại A
a) Chứng minh MA OB;MB OA .
b) Trên tia đối của tia OA lấy điểm C sao cho AC OA . Đường thẳng CM cắt Oy tại D . 
Chứng minh CM DM .
Lời giải
a) Xét VOAM và VMBO , ta cĩ Toán 7 Tài liệu dạy học
 A· OM M· BO (vì MB POA )
OM là cạnh chung.
 A· MO M· OB (vì AM POB )
 VOAM VMBO (g.c.g)
 MA OB;MB OA .
b) Ta cĩ AC BM ( AO ). (1)
Lại cĩ MB OA AC . (2)
C· AM A· OB (vì MB POA ), mà M· BD A· OB (vì MB POA ). Suy ra C· AM M· BD . (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra VCAM VMBD .
 CM DM .
Bài 6. Cho tam giác OAB . Trên tia đối của tia OA lấy điểm C sao cho OC OA , trên tia đối của 
tia OB lấy điểm D sao cho OD OB .
a) Chứng minh: CD P AB ;
b) Gọi M là một điểm nằm giữa A , B . Tia MO cắt CD tại N . Chứng minh MA NC ; 
 MB ND .
c) Từ M kẻ MI  OA , từ N kẻ NF  OC . Chứng minh MI NF .
Lời giải
a) Xét VABO và VCDO ta cĩ
OA OC ; A· OB C· OD (đối đỉnh); OB OD
 VABO VCDO ~(c.g.c)
 A· BO C· DO
 CD P AB .
b) Xét VAOM và VCON ta cĩ
O· AM O· CN (vì CD P AB ); OA OC ; A· OM C· ON (đối đỉnh)
 VAOM VCON (g.c.g)
 MA NC . Mà AB CD (vì VABO VCDO )
 MB ND . Toán 7 Tài liệu dạy học
c) Xét VMOI vuơng tại I và VNOF vuơng tại F , ta cĩ
OM ON (vì VAOM VCON ); M· OI N· OF (đối đỉnh)
 VMOI VNOF (cạnh huyền - gĩc nhọn)
 MI NF .