Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 5: Tính chất tia phân giác của một góc

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lý thuận: Điểm nằm trên tia phân giác của một gĩc thì cách 
đều hai cạnh của gĩc đĩ.
2. Định lý đảo: Điểm nằm bên trong một gĩc và cách đều hai cạnh 
của gĩc thì nằm trên tia phân giác của gĩc đĩ.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
Ví dụ 1. Cho gĩc x·Oy nhọn. Từ một điểm M trên tia phân giác của gĩc O , kẻ các đường vuơng 
gĩc MA , MB đến hai cạnh của gĩc này.
a) So sánh MA và MB . b) Chứng minh OA OB .
Lời giải
a) Với bài tốn này ta hồn tồn cĩ thể thực hiện một trong hai các 
chứng minh sau
Cách 1: Xét x·Oy cĩ Oz là tia phân giác. Ta cĩ M Oz và A , B 
lần lượt là hình chiếu của M lên OA và OB nên MA MB (định 
lý thuận).
Cách 2: Xét VOAM vuơng tại A và VOBM vuơng tại B cĩ
+ OM là cạnh chung.
+ A· OM B· OM (OM là tia phân giác của x·Oy ).
Vậy VAOM VBOM (cạnh huyền - gĩc nhọn) nên MA MB (do hai cạnh tương ứng).
b) Ta cũng thể thực hiện tương tự cách 2 để cĩ VAOM VBOM (cạnh huyền - gĩc nhọn) và từ đĩ 
suy ra OA OB . Ngồi ra ta cũng cĩ thể sử dụng ý vừa cĩ được từ câu b để sử dụng định lí Py-ta-
go.
Ví dụ 2. Tam giác ABC cĩ BD , CE lần lượt là phân giác của các gĩc B và C (D AC , 
 E AC ). Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh I cách đều hai cạnh AB và AC .
Lời giải
Gọi H , P , Q lần lượt là các hình chiếu AB , BC , AC .
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác A· BC nên I 
cách đều hai cạnh BA và BC nên ta cĩ IP IH . Toán 7 Tài liệu dạy học
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác A· CB nên I cách đều hai cạnh CA và CN nên ta cĩ 
 IP IQ .
Vậy IH IQ nên I cách đều AB và AC .
Dạng 2: Chứng minh một tia là tia phân giác của một gĩc
 ▪ Cách 1: áp dụng định lý đảo.
 ▪ Cách 2: Chứng minh hai gĩc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau hoặc cùng bằng 
 một gĩc thứ ba, hoặc cùng phụ, cùng bù với một gĩc khác 
Ví dụ 3. Tam giác ABC cĩ BD , CE lần lượt là phân giác của các gĩc B và C (D AC , 
 E AB ). Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh I thuộc tia phân giác của gĩc B· AC .
Lời giải
Gọi H , P , Q lần lượt là các hình chiếu AB , 
 BC , AC .
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác 
 A· BC nên I cách đều hai cạnh BA và BC nên 
ta cĩ IP IH .
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác A· CB 
nên I cách đều hai cạnh CA và CN nên ta cĩ 
 IP IQ .
Vậy IH IQ nên I cách đều AB và AC .
Vậy I nằm trên đường phân giác của B· AC (định lí đảo).
Ví dụ 4. Cho gĩc nhọn x·Oy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Các tia phân giác 
của các gĩc x·AB và y·BA cắt nhau tại M . Chứng minh M thuộc tia phân giác của gĩc x·Oy .
Lời giải
Gọi H , P , Q lần lượt là các hình chiếu AB , Oy , Ox .
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác x·AB nên M 
cách đều hai cạnh AB và Ox nên ta cĩ MH MQ .
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác y·BA nên M cách 
đều hai cạnh AB và Oy nên ta cĩ MH MP .
Vậy MP MQ nên M cách đều Ox và Oy . Toán 7 Tài liệu dạy học
Vậy M thuộc tia phân giác gĩc x·Oy .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho gĩc m· An nhọn. Trên tia Am lấy điểm P sao cho AP 3 cm. Qua P kẻ đường 
thẳng vuơng gĩc với Am cắt tia phân giác của gĩc m· An tại H . Kẻ HQ vuơng gĩc với An (
Q An ).
a) So sánh HP và HQ . b) Tính độ dài đoạn thẳng AQ .
Lời giải
a) Xét m· An cĩ AH là tia phân giác, đồng thời P , Q lần lượt 
là hình chiếu của H lên Am và An nên HP HQ (định lý 
thuận).
b) Xét VHAP vuơng tại P và VQ vuơng tại Q cĩ
+ AH là cạnh chung.
+ H· AP H· AQ (AH là tia phân giác của P· AQ ).
Vậy VHAP VHAQ (cạnh huyền - gĩc nhọn) nên AP AQ (do hai cạnh tương ứng).
Bài 2. Cho gĩc nhọn x·Oy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Các tia phân giác 
của các gĩc xAB và yBA cắt nhau tại M . Chứng minh M cách đều hai cạnh của gĩc x·Oy .
Lời giải
Gọi H , P , Q lần lượt là các hình chiếu AB , Oy , Ox .
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác x·AB nên M 
cách đều hai cạnh AB và Ox nên ta cĩ MH MQ .
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác y·BA nên M 
cách đều hai cạnh AB và Oy nên ta cĩ MH MP .
Vậy MP MQ nên M cách đều Ox và Oy .
Bài 3. Cho gĩc x·Oy khác gĩc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B , trên tia Oy lấy hai điểm C 
và D sao cho OA OC , OB OD . Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC . Chứng 
minh
a) BC AD . b) VIAB VICD . c) OI là tia phân giác của gĩc x·Oy . Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
a) Xét VOCB và VOAD ta cĩ
 ▪ OC OA (giả thiết).
 ▪ Oˆ chung.
 ▪ OB OD (giả thiết).
Vậy VOCB VOAB (cạnh - gĩc - cạnh). Nên 
 AD BC (hai cạnh tương ứng).
 OA OC
b) Ta cĩ OD OC OB OA
 OB OD
 AB CD .
 O· CB O· AD (VOCB VOAB)
 · ·  · ·
Ta cĩ OCB ICD 180 (kề bù) ICD IAB .
 O· AD I·AB 180 (kề bù)
Xét VICD và VIAB cĩ
 ▪ I·DC I·BA (VOCB VOAB ).
 ▪ AB CD (chứng minh trên).
 ▪ I·CD I·AB (chứng minh trên).
Vậy VICD VIAB (gĩc - cạnh - gĩc).
 IC IA (hai gĩc tương ứng).
c) Xét VICO và VIAO cĩ
 ▪ IC IA (chứng minh trên).
 ▪ I·CO I·AO (VOCB VOAB ).
 ▪ OC OA (giả thiết).
Vậy VICO VIAO (cạnh - gĩc - cạnh). Vậy C· OI A· OI (hai gĩc tương ứng).
Vậy OI là tia phân giác của gĩc x·Oy .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên các cạnh AB , AC lần lượt lấy hai điểm P , Q sao 
cho AP AQ . Hai đoạn thẳng CP , BQ cắt nhau tại O . Chứng minh
a) Tam giác OBC là tam giác cân.
b) AO là tia phân giác của gĩc BAC . Toán 7 Tài liệu dạy học
c) AO đi qua trung điểm của đoạn BC và vuơng gĩc với nĩ.
Lời giải
a) Xét VBQC và VCPB cĩ
 ▪ BC là cạnh chung.
 ▪ Q· CB P· BC (hai gĩc đáy của tam giác cân VABC ).
 ▪ QC BP (Do AB AP AC AQ ).
Vậy VBQC VCPB (cạnh - gĩc - cạnh).
Vậy O· BC O· CB (hai gĩc tương ứng). Vậy VOBC cân tại O .
b) Xét VAOB và VAOC ta cĩ
 ▪ AO là cạnh chung.
 ▪ OB OC (VOBC cân tại O ).
 ▪ AB AC (VABC cân tại A ).
Do đĩ VAOB VAOC (cạnh - cạnh - cạnh).
 O· AB O· AC (hai gĩc tương ứng).
Vậy AO là tia phân giác của B· AC .
c) Xét đoạn thẳng BC cĩ hai điểm A và O phân biệt và cách đều hai điểm B và C . Vậy AO là 
đường trung trực của BC nên đi quả trung điểm và vuơng gĩc với BC .
Bài 5. Cho gĩc x·Oy bằng 60 nhận Oz là tia phân giác. Từ một điểm N trên tia Oz , kẻ các 
đường vuơng gĩc NE , NF đến Ox và Oy .
a) So sánh NE và NF .
b) Tam giác EOF là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
a) So sánh NE và NF .
Xét VOFN vuơng tại F và VOEN vuơng tại E ta cĩ
 ▪ ON là cạnh chung.
 ▪ F· ON E· ON (Oz là phân giác của gĩc x·Oy ).
Vậy VOFN VOEN (cạnh huyền- gĩc nhọn).
Vậy NF NE (hai cạnh tương ứng). Toán 7 Tài liệu dạy học
b) Vì VOFN VOEN (cmt)
Suy ra: OF OE (hai cạnh tương ứng)
Suy ra: VOFE cân tại O.
Bài 6. Cho hai gĩc x·Oy và y·Oz kề bù. Các tia Om , On lần lượt là phân giác của các gĩc x·Oy và 
y·Oz . Trên tia Om lấy điểm A , trên tia On lấy điểm B sao cho AB vuơng gĩc vĩi Oy tại C 
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng xy .
a) So sánh AH và AC . b) Chứng minh AB AH BK .
Lời giải
a) DAOH = DOAC (cạnh huyền – gĩc nhọn), suy ra AH = AC .
b) DOBC = DOBK (cạnh huyền – gĩc nhọn), suy ra BC = BK .
Mà AC = AH nên AB = AC + CB = AH + BK .
Bài 7. Cho tam giác ABC . Các tia phân giác BM , CN của các gĩc B và C (M AC , 
 N AB ) cắt nhau tại H . Gọi D , E , F lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB , 
 AC và BC . Chứng minh HD HE HF .
Lời giải
Chứng minh HD HE HF .
Ta cĩ: HD  AB ; HF  BC .
 BH là phân giác của A· BC .
Suy ra: HD HF (định lí) (1)
Ta cĩ: HE  AC ; HF  BC .
CH là phân giác của B· CA .
Suy ra: HE HF (định lí) (2) Toán 7 Tài liệu dạy học
Từ (1) và (2) suy ra: HD HE HF .
Bài 8. Cho hai đường thẳng song song a , b và một cát tuyến c . Hai tia phân giác của một cặp gĩc 
trong cùng phía cắt nhau tại I . Chứng minh I cách đều ba đường thẳng a , b , c .
Lời giải
Chứng minh I cách đều ba đường thẳng a , b , c .
Gọi A;B lần lượt là giao điểm của đường thẳng c với đường thẳng a;b
Ta cĩ: I thuộc đường phân giác x·AB
Suy ra: I cách đều hai đường thẳng a và c . (1)
Ta cĩ: I thuộc đường phân giác y·BA
Suy ra: I cách đều hai đường thẳng b và c . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: I cách đều ba đường thẳng a , b , c .
Bài 9. Cho tam giác ABC . Các tia phân giác BM , CN của các gĩc B và C (M AC , 
 N AB ) cắt nhau tại H . Chứng minh tia phân giác của gĩc BAC đi qua điểm H .
Lời giải
Chứng minh Chứng minh tia phân giác của gĩc BAC đi qua điểm H .
Kẻ HK  AB;HI  BC;HL  AC
Ta cĩ: HK  AB; ; HI  BC .
 BH là phân giác của A· BC .
Suy ra: HK HI (định lí) (1)
Ta cĩ: HI  BC ; HL  AC .
CH là phân giác của B· CA .
Suy ra: HI HL (định lí) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HK HLF . Toán 7 Tài liệu dạy học
Suy ra: H thuộc đường phân giác của gĩc BAC .
Bài 10. Cho gĩc m· On khác gĩc bẹt. Trên hai tia Om , On lấy hai điểm C và D sao cho 
OC OD . Hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai cạnh của Oµ tại C và D cắt nhau ở E .
a) Chứng minh OE là tia phân giác của m· On .
b) Chứng minh OE vuơng gĩc với CD . 
Lời giải
a) Chứng minh OE là tia phân giác của gĩc mOn .
Xét VODE vuơng tại D và VOCE vuơng tại C ta cĩ
 ▪ OE là cạnh chung.
 ▪ OD OC (gt).
Vậy VODE VOCE (cạnh huyền- cạnh gĩc vuơng).
Vậy ED EC (hai cạnh tương ứng).
Mà ED  On;EC  Om
Suy ra: OE là phân giác của gĩc mOn .
b) Chứng minh OE vuơng gĩc với CD .
Xét VODE cĩ OD OC
Suy ra: VODE cân tại O .
Cĩ OE là đường phân giác
Nên OE đồng thời là đường cao.
Suy ra: OE vuơng gĩc với CD .