Chuyên đề: Phép biến đổi đồng nhất phân thức đại số

Chuyên đề: PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
I-MỤC TIÊU:
HS:-Nắm vũng các phép biến đổi đông nhất phân thức đại số 
 -rút gọn phân thức
 -cộng trừ nhân chia phân thức
 -Rèn luyện kỷ năng chứng minh tính giá trị biểu thức nhanh hợp lý theo mỗi bài toán 
II-THỜI LƯỢNG:7t lý thuyết,ôn luyện &1tKT
Tiết 1,2,3.
Phần I:
ĐỊNH NGHĨA ,TÍNH CHẤT CƠ BẢN ,RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Ví dụ 1:Cho phân thức 
M = 
Hãy rút gọn phân thức M
HD:Chú ý rằng ;(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+ac+bc) Do đó ta đặt a2+b2+c2 =x;ab+ac+bc = y
Khi đó ;(a+b+c)2= x + 2y.Ta có M = a2+b2+c2+ab+ac+bc
(ĐK:a2+b2+c2 )
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số là phân số tối giản.
HD:Để C/m:Phân số tối giản ta C/mTử và mẫu chỉ có ước chung lớn nhất là 1
Gọi d là Ước chung của n3+2n và n4+3n2+1.Ta có n3+2n => 
n4+3n2+1-(n4+2n2)= n2+1
Từ (1) và (2)=>(n4+3n2+1)- (n4+2n2) 
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng : 1+x+x2+x3++x31= (1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)(1+x16) (1)
HD:Gọi vế trái là A và vế phải là B
Ta có (1-x).A = 1-x32=> (1-x).B = (1-x).(1+x)(1+x2)(1+x16)=1-x32
Nếu x thì A và B đều viết được dưới dạng phân thức ,do đó A = B
Nếu x = 1thì cả hai vế của (1) đều bằng 32,do đó A= B .Trong cả hai trường hợp ,đẳng thức (1)đều đúng
Luyện tập:
Bài 1:Cho a>b>0 thỏa mãn 3a2+3b2 = 10ab .Tính giá trị của biểu thức P = 
HD:Tính P2 == mà P>0 =>P = (Vì a>b>0)
Bài 2:Cho x>y>0 và 2x2+2y2 = 5xy .Tính giá trị của biểu thức E = 
HD:Như bài 1
Bài 3:Cho a,b,c đôi một khác nhau,thõa mãn ab+ac+bc =1.Tính giá trị của biểu thức:
A = ;b) B = 
HD:a)Ta có 1+a2= ab+ac +bc +a2==(a+b)(a+c)
Tương tự 1+b2==(b+a)(c+b);1+c2 = ..=(c+a)(c+b)
Thay vào biểu thức A= 
b)Ta có a2+2bc-1 = a2+2bc-ba-ca-bc = =(a-b)(a-c)
Tương tự : b2+2ca-1== (b-a)(b-c) ;c2+2ab-1= (c-a)(c-b)
Thay vào và rút gọn ta có B =.= -1
Bài 3:Rút gọn các phân thức.
HD:
Bài 4:Chứng minh rằng phân số Tối giản với mọi n là số tự nhiên
HD:Gọi d là UCLN(2n+1,2n2-1)=>2n+1 d và 2n2-1 d => n(2n+1)-(2n2-1) d => n +1 d
=>2n +2 d => (2n +2) – (2n +1)d => 1d => d =1.
Bài 5:Chứng minh rằng phân số : không tôi giản với mọi n là số nguyên dương
HD:Tử và mẫu có chứa nhân tử chung là n2+n+1>1
Bài 6:Rút gọn biểu thức:A = Cho biết :x+y+z = 0
HD:(x+y+z) = 0 => (x+y+z)2 = 0 =>x2+y2+z2 = -2xy-2xz-2yz .
 Thay vào mẫu thức ta có A =
Bài 7:Rút gọn biểu thức P = 
HD:n4+4 =(n2+2)2-4n2= (n2+2+2n)(n2+2-2n)=[n(n+2)+2][n(n-2)+2] Do đó P = =
PHẦN II
CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ:
Tiết 4,5,6,7
Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức :A = 
Giải:Do đặc điểm của bài toán không quy đồng mẫu thức mà ta cộng lần lượt tùng phân thức
A = 
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức B = 
Giải:Đương nhiên ta không thể nào QĐMT mà ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp.
Ta có : => B = =1- 
Ví dụ 3:Cho A = 
Thực hiện phép tính A+B+C
Giải:Rút gọn biểu thức A = =;Tính B+C == 
Tính A+B+C = = 
Ví dụ 5:Cho a,b,c thỏa mãn ĐK:abc =2005.Tính giá trị biểu thức 
P = 
Giải:Ta không thể QĐMT .Thay 2005 =abc 
=>P = 
Luyện tập
Bài 1:Rút gọn các biểu thức:
HD:A = 
Bài 2:Rút gọn biểu thức A = 
HD:Đặt a-b =x;b-c =y ; c-a = z =>x+y+z = 0 Ta có A = 
Bài 3:Cho .Chúng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái có ít nhất một phân thức bằng 0
HD:Biến đổi vế trái ta được một phân thức có tử thức (a+b-c)(a-b-c) = 0 =>a-b+c =0 hoặc a+c-b = 0.
Bài 4:Cho a,b,c là các số nguyên đôi một khác nhau .Chứng minh rằng biểu thức:
 A = .Có giá trị nguyên
HD:A =(Phân tích tử thành nhân tử)
Bài 5:Rút gọn biểu thức ;
HD:A= 
B= ; 
Bài 6:Rút gọn các biểu thức:
HD:
Bài 7:
a)Tìm các số m,n để :. HD:m=1;n=-1
b)Rút gọn biểu thức:M= 
HD:Tách mỗi phân thức:Tương tự
Bài 8:Cho x+y+z=a và Hãy chứng minh:tồn tại một trong ba số có một số bằng a
HD:theo bài toán ta có :  (x+y)(x+z)(y+z) = 0
Bài 9:Cho a+b+c =0 Rút gọn biểu thức :
A= 
HD:Ta có a+b+c = 0 =>a3+b3+c3=3abc và a3+b3+c3-3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
Từ a+b+c =0 =>b+c=-a =>a2-b2-c2=2bc.Tương tự cho các trường hợp cò lại
b2-c2-a2=2ac; c2-a2-b2 = 2ab 
Thay vào biểu thức:A = 
Bài 10:Cho 
HD:Vận dụng công thức x+y+z = 0 => x3+y3+z3= 3xyz Áp dụng giải :
Bài 11:Cho a3+b3+c3=3abc.Tính giá trị của biểu thức A= 
HD:Từ a3+b3+c3=3abc (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0.. 
Nếu a+b+c =0 thì A = = -1
Nếu a2+b2+c2-ab-ac-bc =0 (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2 = 0 a=b=c Khi đó A = 8
Bài 12:Cho a+b+c = 0 
Tính giá trị của biểu thức :A = .
HD:Gọi M = ,ta có 
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
A = (Vì a3+b3+c3=3abc)
Bài 13:Cho a+b+c =0,x+y+z=0,Chứng minh ax2+by2+cz2=0
HD:Từ x+y+z =0 => x2 = (y+z)2 Tương tự cho các trường hợp còn lại 
Do đó ax2+by2+cz2=a(y+z)2+b(x+z)2+c(x+y)2 =a(y2+2yz+z2)+b(x2+2xz+z2)+c(x2+2xy+y2)=
Khai triển ta có =x2(b+c)+y2(a+c)+z2(a+b)+2(ayz+bxz+cxy)(1)
Thay b+c =-a; .a+b =-c; a+c = -b và ayz+bxz+cxy = 0( vì )vào (1)Ta có ax2+by2+cz2=-ax2-by2-cz2=>=> ax2+by2+cz2=0
Bài 14:Cho 
HD:Từ =>
Nhân hai vế cho (1)
Tương tự cho các trường hợp còn lại:
Cộng (1),(2)và (3)Ta có 
Bài 15: 
HD:Nhân hai vế của Cho a+b+c ta có :
=>Điều phải chứng minh.
********************************************