Chuyên đề Vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông . Định lí Pytago để chứng minh hệ thức hình học

Chuyên đề : Vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông .Định lí Pytago để chứng minh hệ thức hình học.
A.Đặt vấn đề 
I.Lí do chọn đề tài 
* Chúng ta đã biết từ năm 2004 – 2005 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã thay SGK và đổi mới phương pháp dạy học ở THCS .Môn toán nói riêng đã có sự thay đổi vị trí nội dung các kiến thức .
Ví dụ : Phần đường trung bình trong tam giác từ lớp 7 được đưa lên lớp 8; phần định lí Pytago từ lớp 8 được đưa xuống lớp 7 nhằm mục các mục đích sau đây 
 - Tăng cường bài tập tính toán và xây dựng thêm trường hợp bằng nhau của tam giác vuông .
 - Xây dựng thêm tập số vô tỉ để lấp đầy trục số 
*Khi tôi dậy toán hình về phân định lí pytago và các trường bằng nhau của tam giác vuông tôi thấy có rất nhiều bài tập vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí pytago để chứng minh một hệ thức hình học .
*Khi dậy toán các lớp 8;9 về môn hình tôi thấy học sinh học rất yêu những loại toán này .
Do ba lí do trên và qua trình tìm hiểu và đã đưa ra một giải pháp là viết một chuyên để nhằm trang bị cho học sinh những kỹ năng thường dùng để chứng minh một hệ thức hình học dựa vào kiến thức đã có .
II.Đối tượng nghiên cứu 
Học sinh lớp 7 trường THCS Cương Chính 
III.Nhiệm vụ 
 1) Nâng cao chất lượng giảng dạy 
 2) Rèn cho học sinh nhữ thói quen suy nghĩ khi chứng minh một hệ thức hình học 
IV.Phương pháp nghiên cứu 
 1) Phương pháp phân tích 
 2) Phương pháp tổng hợp 
 3) Phương pháp so sánh 
 4) Phương pháp sơ đồ hoá 
B.Nội dung nghiên cứu 
 1) Trước hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản và cách vận dung các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và định lí pytago .Trong phần này đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh nắm kiến thức và bước đầu vận dụng kiến thức giải các bài tập đơn giản .
 2) Giáo viên cần hướng dẫn học sinh những thao tác suy luận khai thác từ những dự kiện đã cho trong bài toán để tìm lời giải của bài toán .
 3) Trong khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán giáo viên cần chuẩn bị cho mình các câu hỏi những kỹ năng và câu hỏi dẫn dắt có tích lôgíc để hướng dẫn học sinh tứng bước suy luận để tìm ra lời giải .
 3) Khi hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần phải trải qua các bước sau :
1) Tìm hiểu đề 
2) Tìm lời giải 
3) Lập chương trình giải 
4) Trình bày lời giải 
5) Kiểm tra lời giải 
Trong phần này tôi chia thành bốn dạng toán cơ bản sau :
Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d ,dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm được kỹ năng sau tách a = m +n , sau đó chứng minh m = c và n = d hoặc m = d và n = c 
Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = m2 , dạng này đòi hỏi học sinh nắm được kỹ năng tìm một đoạn n = b ,trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là m .
Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = c2 + m2, dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm được kỹ năng biến đổi sau :
 a2 + b2 = c2 + m2 a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 ( trong đó n = d) 
Dạng 4: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 + c2 = m2 + 2n2 + 3d2 và b = c,dạng này học sinh năm được kỹ năng biến đổi sau :
Biến đổi vế phải 
 m2 + 2n2 + 3d2 = (m2 +d2) +2(n2+ d2 ) 
 = a2 + 2b2 
 = a2 + b2 + c2 
Thông qua bốn dạng này tối rèn cho học sinh kỹ năng chứng minh hệ thức hình học thì ta cần tiến hành như thế nào, từ đó cũng rền luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi trong hình học .
Bài dạy thực nghiệm
 Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d 
Phương pháp : Tách a = m + n ,chứng minh c = m ; n = d .
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC .Kẻ BD a ; CE a .Chứng minh BD + CE = DE 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GT của bài toán là gì ?
KL của bài toán là gì ?
Từ GT tam giác ABC cân tại A ,cho ta biết thêm được gì ?
Từ GT BDa;CE a ta suy ra được gì ?
Em có nhận xét gì về vị trí của điểm A so với hai điểm D,E ?
Từ điều này ta suy ra được gì ?
KL nói gì ?
Từ (1) và (2) gợi cho ta điều gì ?
Muốn chứng minh AD = CE ta làm như thế nào ?
Như vậy ta phải đi chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau 
Muốn chứng minh AD = CE ta phải chứng minh đièu gì ? 
Muốn chứng minh hai tam giác ABD =CAE 
 Ta phải chứng minh những điều kiện gì ?
Yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh 
Từ hai tam giác này bằng nhau ta có thể chứng minh được AE = BD không ?
Như vậy ta có điều phải chứng minh 
GT ABC cân ( A = 900 ) 
 a đi qua A ;BDa;CE a
KL BD + CE = DE 
HS: AB = AC ; A = 900 ; B = C = 450 
HS: Tam giác ABD vuông tại D ; Tam giác AEC vuông tại E.
HS: A nằm giữa D và E 
HS: DE = AD + AE (1) 
HS: Chứng minh DE = BD + CE (2) 
HS: Chứng minh AD = CE ; AE = BD 
Chứng minh hai tam giác ABD bằng tam giác CAE 
 AD = CE 
 ABD =CAE 
AB = AC ;D = E = 900 ; DAB = ACE 
 DAB + DBA = 900 
 DAB + ACE = 900 
ABD =CAE AE = BD 
Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = m2 
Phương pháp : Chọn một số n = b , trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là m .
 Bài toán 2:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC 
Kẻ BH a ; CK a .Chứng minh rằng BH2 + CK2 = AB2 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GT của bài toán nói gì ?
Ta thấy hệ thức cần chứng minh 
BH2 +CK2 = AB2, hệ thức này gợi cho ta nghĩ tới định lí pytago.Cho nên ta tìm cách gán hai cạnh CK,BH về cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là AB .
Tam giác ABH là tam giác gì ?
Từ kết quả này ta suy thm được gì ?
KL của bài toán nói gì ? 
Điều này gợi ý cho ta được gì ?
Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng minh điều gì ?
Muốn chứng minh hai tam giác này bằng nhau ta phải chứng minh các điều kiện gì ?
 Muốn chứng minh ABH = CAK ta phải chứng minh điều gì ?
Từ hai hệ thức trên ta rút ra được gì ? 
GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh 
GT ABC vuông cân tại A 
 Đường thẳng a đi qua A 
 BH a ; CK a
KL BH2 + CK2 = AB2 
Tam giác ABH vuông tại A 
BH2+AH2 = AB2 
BH2 + CK2 = AB2 
AH = CK 
ABH = CAK 
AB = AC ; K = H = 900 ; 
ABH = CAK 
ABH + HAB = 900 
CAK + ACK = 900 
ABH = CAK 
Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 = c2 + m2(1)
Phương pháp : Để chứng minh các hệ thưc dạng này ta có một số hướng đi như sau 
 Cách 1: (1) a2 – c2 = m2 – b2 n2 = d2 n = d 
 Cách 2: Biến đổi vế phải a2+ b2 = d2 
 Biến đổi vế trái c2 + m2 = d2 
đpcm 
 Bài toán 3:
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC.C/mr: AB2 + CH2 = AC2 + BH2 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GT của bài toán là gì ?
KL của bài toán là gì ?
Từ GT tam giác ABC vuông tại A cho ta biết thêm điều gì ?
Từ GT AH BC, ta suy thêm được gì ?
Từ kết quả này cho ta biết thêm được gì ?
KL của bài toán nói gì ?
Hệ thức này có thể biến đổi ở dạng nào khác không ?
Hiệu AB2 – BH2 có thể thay bởi bình phương của đoạn thẳng nào khác không ?
Hiệu AC2 – CH2 được thay bởi bình phương của đoạn thẳng nào ?
Từ (3) và(4) ta suy ra được gì ?
Như vậy ta có đièu phải chứng minh 
GT ABC ( A = 900 ) 
 AH BC 
KL AB2 + CH2 = AC2+ BH2 
ABC có :A = 900 AB2 + AC2 = BC2 
 B + C = 900 
Tam giác ABH và ACH vuông tại H 
AB2 = BH2 + AH2 (1) 
AC2 = CH2 + AH2 (2) 
AB2 + CH2 = AC2 + BH2 
AB2 – BH2 = AC2 – CH2 
AB2 – BH2 = AH2 (3) 
AC2 – CH2 = AH2 (4) 
AB2 – BH2 = AC2 – CH2 
Dạng 4: : Chứng minh hệ thức có dạng a2 + b2 + c2 = m2 + 2n2 + 3d2 và b = c 
Phương pháp : Biến đổi vế này về vế kia,chẳng hạn như hệ thức trên tôi thường bắt đầu từ vế cồng kềnh nhất để thực hiện phép biến đổi .
Bài tập 4: Cho tam giác ABC cân tại C,từ điểm B kẻ BD AC ( D AC) .Chứng minh 
 AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những điều kiện của bài toán đã cho và ghi GT và KL của bài toán .
Từ giả thiết BD AC cho ta biết thêm được gì ?
Từ kết quả này ta suy thêm được gì ?
KL của bài toán nói gì ?
Ta hãy xuất phát từ VP của hệ thức để biến đổi 
GT ABC ( CB = CA) 
 BD AC ( D AC) 
KL AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2 
ABD ; BDC vuông tại D 
BD2 + CD2 = CB2 
AD2 + BD2 = AB2 
AB2 + BC2 + CA2 = AD2 + 2CD2 + 3BD2
Ta có :VP = AD2 + 2CD2 + 3BD2 
 = (AD2 + BD2 ) + 2( CD2 +BD2 ) 
 = AB2 + 2CB2 
 = AB2 + CB2 + CB2 
 = AB2 + CB2 + CA2 (CA = CB) 
 = VT 
Vậy VP = VT 
Bài tập tự luyện 
Bài 1: Cho đoạn AC và BD cắt nhau tại O và AC vuông góc với BD .Chứng minh rằng :
 AB2 + AD2 + CD2 + CB2 = 2( OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) 
Bài 2: Cho tam giác ABC có điểm O nằm bên trong tam giác .Kẻ OD BC ; OE AC ; OF AB .Chứng minh rằng : BD2 + CE2 + AF2 = BF2 + CD2 + AE2 
C.Kết luận 
 Qua việc giảng dạy toán 7 và do liềm đam mê nghề dạy học cũng như học môn toán, tôi đã được tiếp cận nhiều đối tượng học sinh khác nhau. Bản thân tôi từ phía chủ quan cũng như từ kinh nghiệm thực tiễn ,tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phương pháp giảng dạy theo chương trình đổi mới.Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót,tôi mong các đồng chí bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày một hoàn thiện hơn.
D.Nhận xét và góp ý kiến của tổ 
................................
.