Đề cương ôn học sinh giỏi Toán 7

ĐỀ CƯƠNG ÔN HSG 7
Bài 1: Thực hiện phép tính :
	a) b) 
a/ =0 
b/ =
 =.
Bài 2: Tìm x biết: 2011 –= x
- Nếu x 2011 2011 – x + 2011 = x 2.2011 = 2x x = 2011
 - Nếu x < 2011 2011 – 2011+ x = x 0 = 0 
 Vậy với x < 2011 đều thỏa mãn.
- Kết luận : với x 2011 thì 
Bài 3 : Biết . Tính : 
S = = = = 4. 385 = 1540
Bài 4 Ba đội san đất làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công ciệc trong 6 ngày và đội thứ ba hoàn thành công việc trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy (có cùng năng suất), biết rằng đội thứ nhất nhiều hơn đội thứ hai 2 máy.
Gọi số máy của ba đội theo thứ tự là a,b,c (các máy có cùng năng suất). Vì số máy và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch , do đó ta có:
 4a = 6b = 8c hay 
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
Suy ra: a = b= c = 
Vậy số máy của ba đội theo thứ tự là: 6;4;3 máy 
Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A (< 900 ). Vẽ BH ^ AC (H ÎAC),CK ^ AB (KÎ AB).
	a. Chứng minh rằng AH = AK.
	b.Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chúng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
 a ) Xét hai tam giác vuông D AKC và DAHB có
 AC =AB (D ABC cân tại A) chung 
Þ D AKC = DAHB (cạnh huyền- góc nhọn) 
Þ AH = AK (hai cạnh tương ứng)
b) Xét hai tam giác vuông AIK và AIH có 
 AI cạnh chung
 AH = AK (chứng minh trên )
Þ DAIK = DAIH (cạnh huyền- cạnh góc vuông)
Þ (hai góc tương ứng)
Do đó AK là tia phân giác góc A
Bài 6 :Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy N sao cho BM = CN.
Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân.
Kẻ . Chứng minh BH = CK
Chứng minh rằng AH = AK.
Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao?
a) Kẻ 
Ta có IM = IB + BM ; IN = IC + CN
Mà BM = CN (gt) ; IB = IC ( vì tam giác ABC cân tại A)
Suy ra IM = IN
Xét hai tam giác vuông AIM và AIN, ta có
AI là cạnh chung
IM = IN (chứng minh trên)
Suy ra = 
Suy ra AM = AN
Vâỵ tam giác AMN cân tại A
b) Xét hai tam giác vuông MHB và NKC
Ta có : MB = NC (gt)
 ( Vì tam giác AMN cân tại A)
Suy ra : tam giác vuông MHB bằng tam giác vuông NKC
Vậy BH = CK
c) Xét hai tam giác vuông AHB và AKC
Ta có : AB = AC (gt)
 HB = KC ( câu b)
Suy ra : tam giác vuông AHB bằng tam giác vuông AKC
Vậy : AH = AK 
c) Xét hai tam giác vuông AHO và AKO
Ta có AO là cạnh chung
AH = AK ( câu c) 
Suy ra tam giác vuông AHO bằng tam giác vuông AKO
Suy ra OH = OK
Mà HB = KC. Suy ra OB = OC
Vậy : tam giác OBC cân tại O
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: 
a/ A= b/ 
 a/ = = = = -33 = -27
b/ 
Bài 8: Chứng tỏ rằng đa thức ax2 + bx + c = 0 có một nghiệm 
a/ x = 1 nếu a + b + c = 0. b/ x = -1 nếu a – b + c = 0
a. Đặt f(x) = ax2 + bx + c f(1) = a + b + c Mà a+ b+ c = 0 (gt) Nên f(1) = 0 
 x = 1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c 
b. Đặt f(x) = ax2 + bx + c f(- 1) = a(-1)2 + b(-1) + c = a – b + c
Mà a - b + c = 0 (gt) , nên f(- 1) = 0 x = -1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c = 0 
Bài 9: Cho đa thức P(x) = .Tìm các đa thức Q(x), R(x), sao cho: 
a/ P(x)-Q(x)= b/ P(x)-R(x)= 
 a/ Vì P(x)-Q(x)= Q(x)= P(x)-()= -=- x5+ x4 - x2 – x -
b/ Vì P(x)-R(x) = R(x) = P(x)- = - = 
Bài 10: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 24cm và các cạnh a,b,c tỉ lệ với 3 , 4 , 5. 
a/ Tính các cạnh của .
b/ Tam giác ABC có phải là tam giác vuông không? Vì sao?
a/ Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC (a, b, c nguyên dương)
Theo đề bài ta có : a, b, c tỉ lệ với 3, 4, 5 và a + b + c = 24(cm)
Nên và a + b + c = 24
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có : 
 Suy ra a = 6cm; b = 8cm; c = 10cm
b/ Vì a2 + b2 = 62 + 82 = 100 = 102 = c2
 nên tam giác ABC là tam giác vuông (định lí Pytago đảo)
Bài 11 Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a/ Tia AD là phân giác của góc BAC
b/ AM = BC
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)	
suy ra 	
Do đó 	
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
DBC đều nên 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
suy ra .
Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
suy ra : ABM = BAD (g.c.g) 
 VậyAM = BD, mà BD = BC (gt) 
nê AM = BC	
Bài 12: Tính giá trị các biểu thức sau: A = B = 
A = 
B = = = = 0 
Bài 13: a) Tính tổng đại số sau: S = 1 - 2 + 22 – 23 + 24 – 25 +  21000 .
 b) Tìm x, biết: 
a. Ta có S = 1 - 2 + 22 – 23 + 24 – 25 +  + 21000 (1)
 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – 26 +- 21000 + 21001 (2)
 Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
 3S = 1 + 21001
 Vậy: S = 
b. Ta có: =
Suy ra: x = hay x = 1
Bài 14 Cho . Tìm giá trị của biểu thức C = (x0, y 0, z0)
Đặt = k (k0) suy ra x = 2k , y = 5k , z = 7k C = = . 
 Vậy C = 
Bài 15 Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
 a) Ta kí hiệu PA là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d).Gọi N là điểm 
 của PA và M là giao điểm của đường thẳng NB và d . Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó so 
 sánh NA với NB.
 b)Ta kí hiệu PB là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N’ là điểm của PB . 
 Chứng minh rằng N’B < N’A.
 c) Gọi L là một điểm sao cho LA< LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu, trong PA, PB hay trên d?
a) * So sánh NB với NM + MA.
Ta có: MA = MB ( do d là đường trung trực của AB)
nên: NM + MA = NM + MB = NB.
 * So sánh NA với NB.
Theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
NA< NM + MA = NM + MB = NB
Vậy NA< NB.
b) Chứng minh: N’B < N’A.
(Với K là giao điểm của đường thẳng AN’ và d) 
Ta có: N’B < N’K + KB = N’K + K A = N’A.
Vậy N’B < N’A.
c)Theo câu a) và b) khi LA< LB.
 Điểm L nằm trong PA .
Bài 16: Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a. P = 
	b. Q = 
a. P = = = = 
b. Q = = = = 
Bài 17: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?
Gọi số tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ, 10000đ theo thứ tự là x, y, z (x, y, z ÎN*)
Theo đề bài ta có 
 x + y + z = 16
 Và 2000x = 5000y = 10000z
Biến đổi 2000x = 5000y = 10000z Þ
 Þ 
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: = 
x = 2 .5 = 10 
 y = 2. 2 = 4
 z = 2 . 1 = 2
Vậy số tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ, 10000đ theo thứ tự là 10; 4 ; 2
Bài 18: Theo dõi nhiệt độ trung bình hàng năm của một thành phố A được ghi lại như sau
Nhiệt độ trung bình (x)
23
24
25
Tần số (n)
7
10
3
N=20
a.Tính nhiệt độ trung bình của thành phố trên 
 b.Từ bảng tần số trên em hãy dựng biểu đồ đoạn thẳng .
a. 
b.
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC
Kẻ DH ^ BC 
 DABD = DHBD (cạnh huyền – góc nhọn)
 ÞAD = DH (1)
DDHC vuông tại H
 ÞDH <DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (2)
Từ (1) và (2) ÞAD< DC.