Đề cương ôn tập học kỳ II Toán 7

§Ò C¦¥NG «n tËp häc kú II to¸n 7
Phần 1: ĐẠI SỐ:
CHƯƠNG III: THỐNG KÊ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bảng số liệu thống kê ban đầu.
2/ Đơn vị điều tra.
3/ Dấu hiệu ( kí hiệu là X ).
4/ Giá trị của dấu hiệu ( kí hiệu là x ).
5/ Dãy giá trị của dấu hiệu (số các giá trị của dấu hiệu kí hiệu là N).
6/ Tần số của giá trị (kí hiệu là n).
7/ Tần suất của một giá trị của dấu hiệu được tính theo công thức . Tần suất f thường được tính dưới dạng tỉ lệ phần trăm.
8/ Bảng “tần số” (bảng phân phối thực nghiệm của dấu hiệu).
9/ Biểu đồ ( biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt).
10/ Số trung bình cộng của dấu hiệu.
11/ Mốt của dấu hiệu.
B. KĨ NĂNG:
- Biết được dấu hiệu cần tìm hiểu của mỗi bài toán và số các giá trị là bao nhiêu?
- Tìm được số các giá trị khác nhau và tần số tương ứng của chúng.
- Biết lập bảng tần số, vẽ biểu đồ đoạn thẳng, biểu đồ hình chữ nhật, biểu đồ hình quạt và từ đó rút ra một số nhận xét.
- Biết tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu.
C. BÀI TẬP:
Bài 1: Một bạn học sinh đã ghi lại một số việc tốt (đơn vị: lần ) mà mình đạt được trong mỗi ngày học, sau đây là số liệu của 10 ngày.
Ngày thứ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số việc tốt
2
1
3
3
4
5
2
3
3
1
Dấu hiệu mà bạn học sinh quan tâm là gì ?
Hãy cho biết dấu hiệu đó có bao nhiêu giá trị ? 
Có bao nhiêu số các giá trị khác nhau ? Đó là những giá trị nào ?
Hãy lập bảng “tần số”.
Bài 2: Năm học vừa qua, bạn Minh ghi lại số lần đạt điểm tốt ( từ 8 trở lên ) trong từng tháng của mình như sau:
Tháng
9
10
11
12
1
2
3
4
5
Số lần đạt điểm tốt
4
5
7
5
2
1
6
4
5
Dấu hiệu mà bạn Minh quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ?
Lập bảng “tần số” và rút ra một số nhận xét.
Hãy vẽ biểu đồ bằng đoạn thẳng. 
Bài 3: Một cửa hàng bán Vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán được hàng ngày ( trong 30 ngày ) được ghi lại ở bảng sau.
20
35
15
20
25
40
25
20
30
35
30
20
35
28
30
15
30
25
25
28
20
28
30
35
20
35
40
25
40
30
Dấu hiệu mà cửa hàng quan tâm là gì ? Số các giá trị là bao nhiêu ?
Lập bảng “tần số”.Vẽ biểu đồ đoạn thẳng.
Hỏi trung bình mỗi ngày cửa hàng bán được bao nhiêu bao xi măng ? Tìm mốt của dấu hiệu.
Bài 4: Điểm kiểm tra Toán ( 1 tiết ) của học sinh lớp 7B được lớp trưởng ghi lại ở bảng sau:
Điểm số (x)
3
4
5
6
7
8
9
10
Tần số (n)
1
2
6
13
8
10
2
3
N = 45
Dấu hiệu ở đây là gì ? Có bao nhiêu học sinh làm bài kiểm tra ?
Hãy vẽ biểu đồ đoạn thẳng và rút ra một số nhận xét.
Tính điểm trung bình đạt được của học sinh lớp 7B. Tìm mốt của dấu hiệu.
Bài 5: Điểm trung bình môn Toán cả năm của các học sinh lớp 7A được cô giáo chủ nhiệm ghi lại như sau:
6,5
7,3
5,5
4,9
8,1
5,8
7,3
6,5
5,5
6,5
7,3
9,5
8,6
6,7
9,0
8,1
5,8
5,5
6,5
7,3
5,8
8,6
6,7
6,7
7,3
6,5
8,6
8,1
8,1
6,5
6,7
7,3
5,8
7,3
6,5
9,0
8,0
7,9
7,3
5,5
Dấu hiệu mà cô giáo chủ nhiệm quan tâm là gì ? Có bao nhiêu bạn trong lớp 7A ?
Lập bảng “tần số”. Có bao nhiêu bạn đạt loại khá và bao nhiêu bạn đạt loại giỏi ?
Tính điểm trung bình môn Toán cả năm của học sinh lớp 7A . Tìm mốt của dấu hiệu.
.CHƯƠNG IV: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Khái niệm về biểu thức đại số, khái niệm về biến và cho ví dụ về biểu thức đại số.
2/ Tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của biến.
3/ Các khái niệm về đơn thức, bậc của đơn thức. Nhân hai đơn thức và viết một đơn thức thành đơn thức thu gọn.
4/ Khái niệm về đơn thức đồng dạng. Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.
5/ Khái niệm về đa thức. Thu gọn một đa thức. Bậc của một đa thức. Cộng, trừ đa thức.
6/ Đa thức một biến, sắp xếp một đa thức, hệ số cao nhất, hệ số tự do, khái niệm hằng số.
7/ Cộng, trừ đa thức một biến.
8/ Nghiệm của một đa thức.
B. KĨ NĂNG:
- Biết tìm bậc của một đơn thức và đa thức.
- Thực hiện thành thạo phép nhân hai đơn thức, cộng, trừ các đơn thức đồng dạng, cộng, trừ đa thức.
- Biết tìm nghiệm của một đa thức.
C. BÀI TẬP:
* Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số:
Bài 1: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
	K = 	 L =
Phương pháp:
Bước 1: Dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn.
Bước 2: Xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn.
Bài 2: Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất.
Phương pháp:
Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng.
Bước 2: Xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn.
* Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
a) A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại 	b) B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3
 tại x =0,5 và y = -1.
 tại x = 0,1 và y = -2.
Phương pháp :
	Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số.
	Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số.
	Bước 3: Tính giá trị biểu thức số.
Bài 2 : Cho đa thức
P(x) = x4 + 2x2 + 1; 
Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; 
Tính : P(–1); P(); Q(–2); Q(1); 
* Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến
Bài 1 : Tính tổng và hiệu của hai đa thức và tìm bậc của đa thức thu được .
a)	A = 4x2 – 5xy + 3y2 ; 	B = 3x2 + 2xy - y2
Phương pháp :
Bước 1: Viết phép tính cộng, trừ các đa thức.
Bước 2: Áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc.
Bước 3: Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp để kết hợp các hạng tử đồng dạng lại với nhau.
Bước 4: Cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng.
Bài 2 : Tìm đa thức M, biết :
M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 	 b) 	
Phương pháp :
M + ( Đa thức đã biết ) = Đa thức tổng	b) M – ( Đa thức trừ ) = Đa thức hiệu
 M = ( Đa thức tổng ) - ( Đa thức đã biết ) 	 M = ( Đa thức hiệu ) + ( Đa thức trừ ) 
c) ( Đa thức bị trừ ) – M = Đa thức hiệu
 M = ( Đa thức bị trừ ) – ( Đa thức hiệu )
* Dạng 4: Cộng , trừ đa thức một biến:
Bài 1: tính tổng và hiệu của hai đa thức sau:
a) A(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – 3	; B(x) = 8x4 + x3 – 9x + 	
Tính : A(x) + B(x); 	A(x) - B(x); 	B(x) - A(x);
 b) 
	Tính C(x) + D(x) ; C(x) - D(x) ; D(x) - C(x) 
 c) 
	Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) ; Q(x) - P(x) 
Phương pháp:
 Cách 1:
 - Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
 - Sau đó thực hiện tương tự như các bước ở phép cộng, trừ đa thức nhiều biến.
 Cách 2: ( Thực hiện theo cách sắp xếp )
Bước 1: Thu gọn các đơn thức ( nếu có ) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Bước 2: Viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau.
Bước 3: Thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột.
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
* Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến
1. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không
Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Phương pháp :
	Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó.
	Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức.
2. Tìm nghiệm của đa thức một biến
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau.
	F(x) = 3x – 6; 	H(x) = –5x + 30	G(x)=(x-3)(16-4x)
K(x)=x2-81	M(x) = x2 +7x -8	N(x)= 5x2+9x+4
Phương pháp :
Bước 1: Cho đa thức bằng 0.
Bước 2: Giải bài toán tìm x.
Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức.
Chú ý :
– Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
* Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x0) = a 
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1.
Phương pháp :
	Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức.
	Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a.
	Bước 3: Tính được hệ số chưa biết.
Phần II: HÌNH HỌC
CHƯƠNG II: TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Định lí tổng ba góc trong một tam giác. Tính chất góc ngoài của tam giác.
 +có (đ/I tổng ba góc trong một tam giác)
	 	 + Tính chất của góc ngoài Acx:
2/ Định nghĩa tính chất của tam giác cân.
	* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC cân tại A.
	* Tính chất:
	+ AB = AC	+ 
	+ 	+ 
3/ Định nghĩa tính chất của tam giác đều:
	* Định nghĩa: Tam giác ABC có AB = AC = BC là tam giác đều.
	* Tính chất:
	+ AB = AC = BC 
+ 
4/ Tam giác vuông:
	* Định nghĩa: Tam giác ABC có là tam giác vuông tại A.
	* Tính chất:
	+ 
	* Định lí Pytago:
	vuông tại A BC2 = AB2 + AC2
	* Định lí Pytago đảo:
	 có BC2 = AB2 + AC2 vuông tại A 
5/ Tam giác vuông cân:
	* Định nghĩa: 
Tam giác ABC có và AB = AC là vuông cân tại A.
	* Tính chất:
	+ AB = AC = c 
+ BC2 = AB2 + AC2 BC = 
	+ 
6/ Ba trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác:
+ Trưòng hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh( c-c-c).
	 và có: 
	 = ( c-c-c)
+Trưòng hợp 2: Cạnh - góc - cạnh ( c-g-c).
	 và có: 
	 = ( c-g-c)
+Trưòng hợp 3: Góc - cạnh - góc ( g-c-g).
	 và có: 
	 = ( g-c-g)
7/ Bốn trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
+ Trưòng hợp 1: Hai cạnh góc vuông.
	( ) và () 
có: 
	 = ( Hai cạnh góc vuông )
+ Trưòng hợp 2: Cạnh góc vuông – góc nhọn.
	( ) và () 
có: hoặc 
	 = ( Cạnh góc vuông- góc nhọn )
+ Trưòng hợp 3: Cạnh huyền – góc nhọn.
	( ) và () 
có: hoặc 
	 = ( Cạnh huyền - góc nhọn )
+ Trưòng hợp 4: Cạnh huyền - cạnh góc vuông.
	( ) và () 
có: hoặc 
	 = ( Cạnh huyền - cạnh góc vuông )
B. KĨ NĂNG:
- Biết vận dụng các trưòng hợp bằng nhau của hai tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau.
- Biết vận dụng định nghĩa, tính chất để chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, tam giác vuông cân.
- Biết vận dụng định lí Pytago để chứng minh và tính toán.
CHƯƠNG III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
Xét có 
Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
. Khi đó AB > AH
hoặc AB = AH ( điều này xảy ra ).
. Khi đó
Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
* Với ba điểm A,B,C bất kì, luôn có :
 AB + AC > BC
hoặc AB + AC = BC ( điều này xảy ra A nằm giữa B và C ).
Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
* Trong , ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại điểm G và 
	* Điểm G là trọng tâm của .
Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận.
* Trong , ba đường phân giác đồng quy tại điểm I và điểm I cách đều ba cạnh :
	IK = IL = IM 
	* Điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp .
 8. Tam giác ABC cân tại A thì đường cao xuất phát từ đỉnh A cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác.
 9. Tam giác ABC đều thì đường cao xuất phát từ mỗi đỉnh cũng là đường trung trực, cũng là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác. Đồng thời giao điểm ba đường cao vừa cách đều ba đỉnh và ba cạnh của tam giác đều.
B. KĨ NĂNG:
- Vận dụng thành thạo các kiến thức đã học ở chương III vào giải toán.
Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III
Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
Cách1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v. 
Chứng minh tam giác cân: 
Cách1: Chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. 
Cách 2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác 
Cách 3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v.
Chứng minh tam giác đều: 
Cách 1: Chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau.
Cách 2: Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600.
Chứng minh tam giác vuông:
Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông.
Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo.
Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”.
Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:
Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz.
Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy.
Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng).
C. BÀI TẬP:
Bài 1 : Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm.
Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?
Chứng minh: ?
( Học sinh tự làm )
Bài 2: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh : ABM = ACM
Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK
Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh IBM cân.
Hướng dẫn:
Chứng minh : ABM = ACM
( Theo trường hợp c-c-c hoặc c-g-c hoặc g-c-g )
Chứng minh BH = CK
Chứng minh ( Cạnh huyền – góc nhọn )
BH = CK ( Hai cạnh tương ứng )
Chứng minh IBM cân.
Chứng minh 
Bài 3 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : 
AB // IK
AKI cân
 AIC = AKC
Hướng dẫn:
Chứng minh AB và IK cùng vuông góc với AC.
Xét AKI cần c/m AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.
 AKI cân tại A.
hoặc c/m ( Hai cạnh góc vuông )
 AI = AK AKI cân tại A
C/m cùng bằng với 
C/m AIC = AKC ( c-g-c)
()
Bài 4 : Cho ABC cân tại A (), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
Chứng minh : ABD = ACE
Chứng minh AED cân
Chứng minh AH là đường trung trực của ED
Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh 
Hướng dẫn:
Chứng minh : ABD = ACE ( Cạnh huyền – góc nhọn )
Từ câu a AE = AD ( hai cạnh tương ứng )
 AED cân tại A.
Cần c/m HE = HD ( C/m nhiều cách )
 H thuộc đường trung trực của ED.(1)
	Và AE = AD ( cmt )
	 A thuộc đường trung trực của ED.(2)
	Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung trực của ED.
C/m cùng bằng với ( C/m nhiều cách ).
Bài 5 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho 
BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : 
HB = CK
HK // DE
 AHE = AKD
Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI DE.
Hướng dẫn:
a) C/ m ( Cạnh huyền – góc nhọn)
 HB = CK ( Hai cạnh tương ứng )
b) C/m ( c-g-c )	d) C/m AHE = AKD ( c-g-c )	
 ( Hai góc tương ứng )	
c) C/ m : DH là khoảng cách từ D đến HK.
 EK là khoảng cách từ E đến HK
 Mà DH = EK ( ở câu a )	
HK // DE ( D và E nằm cùng phía đối với HK ).
	Do đó: AI là đường trung trực của DE.
	AI DE.
Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:
MA = MB
OM là đường trung trực của AB.
Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH?
Hướng dẫn:
C/m ( c-g-c )
 	 MA = MB ( hai cạnh tương ứng )
C/m tương tự như câu c bài 4 hoặc áp dụng tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên cũng là đường trung trực.
Áp dụng định lí Pytago để tính OH.
Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 900, vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh:
a) ABM = ECM
b) EC BC
c) AC > CE
d) BE //AC
Hướng dẫn:
C/m ABM = ECM ( c-g-c )
( vì ABM = ECM ờ câu a ) 
Mà (gt) EC BC
AB = EC ( . . . )
Mà AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC.
 AC là đường xiên kẻ từ A đến BC.
AC > AB ( Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên )
Do đó AC > EC
 d) C/m ( c-g-c ) và ở vị trí so le trong BE //AC
Bài 8 : Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ^ BC ( H Î BC)
Chứng minh BH = HC và 
Tính độ dài BH biết AH = 4 cm.
Kẻ HD ^ AB ( d Î AB), kẻ EH ^ AC (E Î AC).Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao?
( Học sinh tự làm )
 Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. 
a) Chứng minh rằng là tam giác cân .
b) Kẻ BHAD ( H AD ), kẻ CK AE ( K AE ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.
c) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Tam giác IBC là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC.
e) Khi và BD = CE = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác ADE và xác định dạng của tam giác IBC.
( Xem lại bài giải của bài tập 70/ sgk/ 141 tập 1 )
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN.
a) Chứng minh rằng là tam giác cân .
b) Kẻ BHAM ( H AM ), kẻ CK AN ( K AN ). Chứng minh rằng BH = CK, AH = AK.
c) Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao ?
d) Khi và BM = MN = CN, hãy tính số đo các góc của tam giác ABC. 
( Cách chứng minh và tính toán tương tự như bài 9 )
Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.Chứng minh:
a) Các hình chiếu của BD và CE trên BC bằng nhau.
b) BE = CD.
c) 
d) AM là tia phân giác của góc BAC.
e) 
Hướng dẫn:
a) Vẽ 
BH và CK là hai hình chiếu của BD và CE trên cạnh BC.
C/m ( cạnh huyền –góc nhọn )
	 BH = CK 
b) C/m ( c-g-c ) BE = CD
c) C/m ( g-c-g )
 Cần C/m BD = CE ; 
Và ( vì ở câu b )
d) C/m ( c-c-c hoặc c-g-c )
AM là tia phân giác của góc BAC.
e) C/m DE // BC DE = HK (tính chất đoạn chắn)
Ta có BE > BK ; CD > CH ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
Mà BE = CD ( cmt )
Suy ra: BE + CD > BK + CH 
 hay BE + BE > (BH + HK) + CH
 2BE > ( BH + CH ) + HK
 2BE > BC + DE
Bài 12 : Cho ∆ ABC (AB <AC ) . Có AD là phân giác của góc A ( D BC ). Trên tia AC lấy điểm E sao cho 
AE = AB 
 a) Chứng minh : BD = DE 
 b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED . Chứng minh và ∆ DBK = ∆ DEC .
 c) ∆ AKC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó? 
 d) Chứng minh AD KC .
Hướng dẫn:
a) C/m ( c-g-c ) BD = DE ( hai cạnh tương ứng )
b) C/m ( g-c-g )
* Xét ∆ DBK và ∆ DEC 
Ta đã có BD = DE ( cmt) và ( đối đỉnh )
	Cần C/m: 
 ∆ DBK = ∆ DEC ( g-c-g ).
c) ∆ AKC là tam giác cân tại A
 Cần C/m: AK = AC ( dựa vào tính chất cộng đoạn thẳng )
d) Áp dụng ∆ AKC cân tại A
 Mà AD là đường phân giác nên cũng là đường cao.
 AD KC 
Bài 13 : Cho ∆ ABC có = 90° . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F 
a) Chứng minh FA = FB 
b) Từ F vẽ FH AC ( HAC ) Chứng minh FHEF 
c) Chứng minh FH = AE 
d) Chứng minh EH = ; EH // BC 
Hướng dẫn:
a) C/m ( Hai cạnh góc vuông )
	 FA = FB ( hai cạnh tương ứng )
b) Ta có AB AC, FH AC AB // FH
 Mà EF AB ( vì EF là đường trung trực của AB )
	 EF FH
c) FH = AE ( Áp dụng tính chất đoạn chắn )
d) C/m ( hai cạnh góc vuông )
 	 EH = BF (1)
 C/m ( cạnh góc vuông – góc nhọn )
	 EH = FC (2)
 Mà BC = BF + FC ( tính chất cộng đoạn thẳng ) (3)
 Từ (1), (2) và (3) suy ra EH = 
* C/m: EH // BC 
Có ( vì ở câu d )
Mà ở vị trí so le trong.
 EH // BC 
HẾT