Đề tài Giúp học sinh lập được hệ phương trình trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1. Đặt vấn đề: 
Là giáo viên dạy Toán, tôi mong muốn học sinh yêu thích môn mình dạy. Muốn thế, phải làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách tự nhiên, không gò ép. Nhưng trong thực tế, không phải nội dung nào cũng dễ thực hiện được điều đó. Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một nội dung gây khó khăn cho cả giáo viên và học sinh. Ngay từ lớp 8, học sinh đã được làm quen với nội dung này và các em thường ít tiếp thu được. Cho nên khi nghe đến việc giải bài toán bằng cách lập phương trình thì học sinh thường rất lo ngại và không mấy hứng thú. Trong chương trình lớp 9, các em lại gặp nội dung này với hai phần: giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở chương III, giải bài toán bằng cách lập phương trình (bậc hai) ở chương IV. Vậy làm thế nào để giúp học sinh giải tỏa được những lo lắng và trở nên hứng thú khi học nội dung này? Đó là vấn đề mà tôi băn khoăn. Nhận thấy cái cốt lõi là phải lập được phương trình và cần làm tốt ngay từ chương III để tạo tiền đề cho học sinh học nội dung này ở chương IV nên tôi đã chonï nội dung “Giúp học sinh lập được hệ phương trình trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9” để làm đề tài nghiên cứu trong năm học này.
 2. Mục đích đề tài:
Xuất phát từ lý do trên nên tôi đã cố gắng nghiên cứu tìm ra một số phương pháp để dạy nội dung này đạt hiệu quả, nhằm giúp các em lập được hệ phương trình trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, từ đó giúp các em yêu thích môn Toán hơn.
 3. Lịch sử đề tài:
Đây là vấn đề được nhiều người quan tâm. Rất nhiều người đã áp dụng kinh nghiệm riêng của mình vào bài giảng để đạt kết quả tốt nhưng chưa viết thành sách phổ biến rộng rãi.
 4. Phạm vi đề tài:
Đề tài nghiên cứu áp dụng đối với học sinh lớp 91 trường THCS Bình Hiệp năm học 2006-2007.
II. NỘI DUNG CÔNG VIỆC ĐÃ LÀM
 1. Thực trạng đề tài:
a) Tình hình cụ thể của lớp:
Đầu năm học 2006-2007 tôi được BGH nhà trường phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 91. Do đó tôi đã tìm hiểu sơ bộ về lớp thông qua kết quả khảo sát đầu năm học và thu được kết quả như sau: cả lớp có 40 học sinh thì có đến 15 học sinh yếu môn Toán, cụ thể: Lâm, Trúc Phương, Phước Thành, Trí, Cường, Dung, Đậm, Hảo, Hân, Ngọc, Sĩ, Thu, Tuấn, Vân, Vịnh.
b) Những khó khăn chủ yếu của học sinh:
Từ thực tế giảng dạy các năm trước tôi nhận thấy rằng các em thường gặp khó khăn ở những vấn đề sau:
- Điều kiện của ẩn số: các em chưa xác định được điều kiện đầy đủ của ẩn, thường chỉ xác định là ẩn lớn hơn 0.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết: các em không biết đại lượng cần biểu diễn đó là đại lượng nào.
- Lập hệ phương trình: các em xác định được ý nào là ý diễn đạt phương trình của bài toán nhưng không biết thể hiện thành phương trình như thế nào.
 2. Nội dung cần giải quyết:
Từ thực trạng đó, điều mà tôi phải làm được khi dạy nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là:
- Giúp học sinh xác định được điều kiện đầy đủ của ẩn.
- Giúp hoc sinh xác định được đại lượng chưa biết cần biểu diễn qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Giúp học sinh thể hiện được ý diễn đạt phương trình của bài toán thành phương trình.
 3. Biện pháp giải quyết:
Để lập được hệ phương trình, phương pháp chung là hướng học sinh tự phân tích theo quy trình như sau:
- Bước 1: Chọn ẩn: đề bài yêu cầu tìm những đại lượng nào thì gọi những đại lượng đó là ẩn.
- Bước 2: Đặt điều kiện cho ẩn: dựa vào điều kiện tồn tại 
thực tế, đặt điều kiện ban đầu cho ẩn, sau đó trong quá trình làm, xuất hiện thêm điều kiện nào thì đặt thêm điều kiện ngay ở dòng đó.
- Bước 3: Xác định hai ý diễn đạt hai phương trình của hệ. 
- Bước 4: Thể hiện hai ý trên thành hai phương trình bằng chữ.
- Bước 5: Xác định các đại lượng chưa biết cần biểu diễn qua ẩn và các đại lượng đã biết và biểu diễn các đại lượng đó.
- Bước 6: Lập hai phương trình của hệ.
Các bước này giáo viên ghi trên bảng phụ, treo ở một góc bảng để nhắc học sinh các bước thực hiện, giáo viên không phải nhắc học sinh từng bước. Dần dần học sinh tự ghi nhớ, trở thành kỹ năng khi phân tích một bài toán, giáo viên cũng không treo bảng phụ nhắc học sinh các bước thực hiện nữa.
Cụ thể, nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình được thể hiện qua bốn tiết dạy:
Bài mới ( 2 tiết):
GV cần thực hiện tốt hai tiết dạy sau:
& Tiết 1: Dạng “tăng – giảm” (“hơn – kém”), dạng chuyển động và dạng “sớm – muộn”:
r Dạng “tăng – giảm” (“hơn – kém”):
Học sinh cần nắm: ý diễn đạt phương trình thường là cái này lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) cái kia bao nhiêu, hay đại lượng này tăng bao nhiêu, đại lượng kia giảm bao nhiêu. Khi đó:
- Nếu “a” lớn hơn “b” là “c” (hay “b” nhỏ hơn “a” là “c”) thì “a” trừ “b” bằng “c”
- Nếu đại lượng nào đó tăng thêm “a” thì “cái mới” lớn hơn “cái cũ” là “a”, tức là “cái mới” trừ “cái cũ” bằng “a”
- Nếu đại lượng nào đó giảm “a” thì “cái mới” nhỏ hơn “cái cũ” là “a”, tức là “cái cũ” trừ “cái mới” bằng “a”
Ví dụ 1 (trang 20 SGK): 
- Bước 1: tìm số tự nhiên có hai chữ số tức là cần tìm chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị. Vậy gọi x, y lần lượt là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị.
- Bước 2: bản thân x, y là chữ số thì chỉ lấy các giá trị 
nguyên từ 0 đến 9, mà x là chữ số hàng chục nên không thể lấy giá trị bằng 0.
- Bước 3: 
Ý 1: hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị
Ý 2: số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị, tức số cũ lớn hơn số mới 27 đơn vị
- Bước 4:
Phương trình 1: 2.“chữ số hàng đơn vị” – “chữ số hàng chục” = 1
Phương trình 2: “số cũ” – “số mới” = 27
- Bước 5: 
Số cũ là = 10x + y
Số mới là = 10y + x ( lúc này y là chữ số hàng chục nên y0)
- Bước 6:
Phương trình 1: 2y – x = 1
Phương trình 2: (10x + y) – (10y + x) = 27
Vậy hệ phương trình cần lập là 
r Dạng chuyển động:
Học sinh cần nắm: 
- Bài toán chuyển động gồm 3 đại lượng là quãng đường (s), vận tốc (v), thời gian (t) quan hệ với nhau bởi công thức s = v.t
- Thường có hai dạng chuyển động: chuyển động cùng chiều gặp nhau, chuyển động ngược chiều gặp nhau.
Nếu chuyển động ngược chiều gặp nhau thì khi gặp nhau “quãng đường vật thứ nhất đi” cộng “quãng đường vật thứ hai đi” bằng “khoảng cách giữa hai địa điểm”
Nếu chuyển động cùng chiều gặp nhau thì khi gặp nhau “quãng đường vật đi nhanh hơn” trừ “quãng đường vật đi chậm hơn” bằng “khoảng cách giữa hai địa điểm”
Ví dụ 2 (trang 21 SGK): đây là bài toán chuyển động ngược chiều gặp nhau.
- Bước 1: đề bài yêu cầu tìm vận tốc của mỗi xe nên gọi x, y (km/h) lần lượt là vận tốc của xe tải, xe khách.
- Bước 2: bản thân x, y là vận tốc nên chỉ lấy các giá trị lớn hơn 0
- Bước 3: 
Ý 1: Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km tức vận tốc xe khách lớn hơn vận tốc xe tải là 13km/h
Ý 2: chuyển động ngược chiều gặp nhau
Bước 4:
Phương trình 1: “vận tốc xe khách” – “vận tốc xe tải” = 13
Phương trình 2: khi gặp nhau, “quãng đường xe tải đi” + “quãng đường xe khách đi” = 189
- Bước 5: Khi gặp nhau, 
“Quãng đường xe tải đi” = “vận tốc xe tải”. “thời gian xe tải đi”
“Quãng đường xe khách đi” = “vận tốc xe khách”. “thời gian xe khách đi”
Cần biết: Khi gặp nhau, thời gian xe tải đi? thời gian xe khách đi?
Thời gian xe khách đi là 1 giờ 48 phút, tức là giờ
Thời gian xe tải đi là 1 giờ + giờ = giờ
 Từ đó biểu thị được:
Khi gặp nhau:
Quãng đường xe tải đi là x. 
Quãng đường xe khách đi là y. 
- Bước 6:
Phương trình 1: y – x = 13
Phương trình 2: x. + y. = 189
Vậy hệ phương trình cần lập là 
r Dạng “sớm – muộn”:
HS cần nắm:
Nếu “sớm” a (đơn vị thời gian) tức là thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là a, ta có phương trình “thời gian dự định” trừ “thời gian thực tế” bằng “a”
Nếu “muộn” a (đơn vị thời gian) tức là thời gian thực tế nhiều hơn thời gian dự định là a, ta có phương trình “thời gian thực tế” trừ “thời gian dự định” bằng “a”
Bài tập 30 (trang 22 SGK):
- Bước 1: đề bài yêu cầu tìm độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A nên ta gọi x (km), y (giờ) lần lượt là 2 đại lượng cần tìm.
- Bước 2: bản thân x là quãng đường nên x > 0, y là thời điểm nên y 0.
- Bước 3: 
Ý 1: Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định
Ý 2: Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định 
- Bước 4:
Phương trình 1: “thời gian đi” – “thời gian dự định” = 2 (khi vận tốc bằng 35 km/h)
Phương trình 2: “thời gian dự định” – “thời gian đi” = 1 (khi vận tốc bằng 59km/h)
- Bước 5:
Thời gian dự định là 12 – y (y < 12)
Thời gian đi khi vận tốc bằng 35 km/h là 
Thời gian đi khi vận tốc bằng 50 km/h là 
- Bước 6:
Phương trình 1: - (12 – y) = 2
Phương trình 2: (12 – y) - = 1
Vậy hệ phương trình cần lập là 
Lưu ý: có thể giải cách khác bằng cách gọi y là thời gian dự định.
Bài tập về nhà: 37, 40, 47, 48 trang 9, 10, 11 SBT là các bài tập thuộc 3 dạng ở trên. Ngoài ra bài tập 28, 29 trang 22 SGK là dạng dễ, học sinh tự làm được.
& Tiết 2: Dạng “làm chung – làm riêng”: 
Học sinh cần nắm: nếu làm riêng thì thời gian mỗi đội làm sẽ lớn hơn thời gian làm chung để xong công việc và phần việc làm được trong một đơn vị thời gian của mỗi đội sẽ nhỏ hơn phần việc cả hai đội cùng làm. Ý diễn đạt phương trình thường là mối quan hệ giữa phần việc đội I làm, phần việc đội II làm và phần việc cả hai đội cùng làm trong 1 đơn vị thời gian.
Ví dụ 3 (trang 22 SGK): 
- Bước 1: đề bài yêu cầu tìm thời gian mỗi đội làm một mình xong công việc nên ta gọi x, y (ngày) lần lượt là hai đại lượng cần tìm.
- Bước 2: bản thân x, y là thời gian nên x, y > 0. Ngoài ra x, y là thời gian làm riêng nên phải lớn hơn thời gian làm chung xong công việc tức x, y > 24. Vậy điều kiện đủ là x, y > 24.
- Bước 3: 
Ý 1: làm chung trong 24 ngày thì xong công việc
Ý 2: Mỗi ngày, phần việc đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B
- Bước 4:
Phương trình 1: “phần việc đội A làm” + “phần việc đội B làm” = “phần việc cả hai đội cùng làm” (trong 1 ngày).
Phương trình 2: “phần việc đội A làm” =1,5. “phần việc đội B làm” (trong 1 ngày).
- Bước 5: 
Phần việc đội A làm trong 1 ngày: 
Phần việc đội B làm trong 1 ngày: 
Phần việc cả hai đội làm trong 1 ngày: 
- Bước 6:
Phương trình 1: + = 
 Phương trình 2: = 1,5. 
Vậy hệ phương trình cần lập là 
?7 (trang 23 SGK):
Dựa vào bài làm ở ví dụ 3, học sinh làm ?7 mà không cần phân tích lại bài toán. Các em rút ra nhận xét rằng với cách làm ở ?7 thì hệ phương trình thu được đơn giản hơn ta có thể giải trực tiếp mà không cần đặt ẩn phụ, tuy nhiên giá trị của ẩn tìm được không phải là câu trả lời cho bài toán mà cần phải suy luận thêm một bước nữa mới đi đến kết luận được. Đa số các em chọn cách làm ở ví dụ 3, không chọn cách làm ở ?7.
Củng cố: Bài tập 33 (trang 24 SGK):
- Bước 1: đề bài yêu cầu tìm thời gian mỗi người làm một mình xong công việc nên ta gọi x, y (giờ) lần lượt là hai đại lượng cần tìm.
- Bước 2: bản thân x, y là thời gian nên x, y > 0. Ngoài ra x, y là thời gian làm riêng nên phải lớn hơn thời gian làm chung xong công việc tức x, y > 16. Vậy điều kiện đủ là x, y > 16.
- Bước 3: 
Ý 1: làm chung trong 16 giờ thì xong công việc
Ý 2: Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc.
- Bước 4:
Phương trình 1: “phần việc đội A làm” + “phần việc đội B làm” = “phần việc cả hai đội cùng làm” (trong 1 giờ).
Phương trình 2: 3.“phần việc đội A làm trong 1 giờ” + 6.“phần việc đội B làm trong 1 giờ” = 25% 
- Bước 5: 
Phần việc đội A làm trong 1 giờ: 
Phần việc đội B làm trong 1 giờ: 
Phần việc cả hai đội làm trong 1 giờ: 
- Bước 6:
Phương trình 1: + = 
 Phương trình 2: 3. + 6. = 
Vậy hệ phương trình cần lập là 
Bài tập về nhà: 32, 38 trang 23, 24 SGK là các bài tập tương tự như trên. 
Luyện tập (2 tiết):
Với hai tiết trước, học sinh đủ điều kiện để nắm vững quy trình phân tích để lập được hệ phương trình. Do đó, trong 2 tiết luyện tập này, chủ yếu là để học sinh lên làm các bài tập, tự các em phân tích để lập phương trình, giáo viên chỉ là người nhận xét cuối cùng. Cần lưu ý là phải để cho học sinh có thói quen tự phân tích và trình bày cách phân tích của mình trước lớp. Mặt dù trình bày được bài giải là quan trọng, song trình bày cách phân tích quan trọng hơn vì ở đó chứng tỏ việc nắm bài của các em, chứng tỏ bài giải là do các em hiểu mà làm được chứ không phải do chép bài của bạn.
Không nên chú trọng quá về số lượng bài tập giải trong 1 tiết, mỗi dạng chỉ nên giải 1 hoặc 2 bài, cốt là làm sao cho học sinh nắm thật vững để tự các em có thể làm các bài tập tương tự ở nhà được. Nhờ đó mà học sinh yếu không bị áp lực vì khối lượng công việc quá lớn trong thời gian ngắn, các em có đủ thời gian để bắt kịp bài toán.
Nội dung luyên tập được phân bố như sau:
& Tiết 1: Dạng “tăng – giảm” (“hơn – kém”) và một 
số bài toán đơn giản:
Trong tiết này học sinh cần hoàn thành các bài tập 31, 34, 35, 36 trang 23, 24 SGK
Bài tập về nhà: 35, 36, 39 trang 9, 10 SBT là các bài tập đơn giản học sinh thực hiện ở nhà được, ngoài ra cần yêu cầu học sinh khá giỏi làm thêm các bài 38, 42, 43 trang 9, 10 SBT.
& Tiết 2: Dạng “làm chung – làm riêng” và dạng chuyển động:
Trong tiết này học sinh cần hoàn thành các bài tập 32, 38, 37 trang 23, 24 SGK.
Bài tập về nhà: 44, 45, 47, 48 trang 10 SBT là các bài tập tương tự học sinh thực hiện ở nhà được, ngoài ra cần yêu cầu học sinh khá giỏi làm thêm các bài 46, 49 trang 9, 10 SBT.
4. Kết quả đạt được:
Qua bốn tiết dạy trên tôi đã cho các em làm bài kiểm tra khảo sát và thu được kết quả như sau (thống kê trên 40 học sinh):
Điểm
0 - 5
6
7
8
9
10
Số học sinh
0
7
6
12
2
13
Tỉ lệ %
0
17,5
15
30
5
32,5
Điều đáng mừng là các em: Lâm, Trúc Phương, Phước Thành, Trí, Cường, Dung, Đậm, Hảo, Hân, Ngọc, Sĩ, Thu, Tuấn, Vân, Vịnh đều đạt từ 6 điểm trở lên.
Qua đó nhận thấy các em đã nắm vững cách phân tích để lập được hệ phương trình trong giải bài toán bằng cách lập phương trình, qua đó các em đã không còn lo ngại khi gặp nội dung này và chắc chắn một điều là các em cũng hứng thú đối với bộ môn Toán hơn.
III. KẾT LUẬN
 1.Tóm lược giải pháp:
Để giúp học sinh lập được hệ phương trình trong giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9 giáo viên cần:
- Xây dựng bài giảng theo hệ thống từng dạng, mỗi dạng lưu ý học sinh ý diễn đạt phương trình thường là những ý nào và những ý đó biểu diễn thành phương trình như thế nào.
- Cần hướng học sinh làm việc theo quy trình.
- Dựa vào quy trình làm việc đã hướng cho học sinh, cần để học sinh tự phân tích bài toán theo quy trình đó, cốt sao cho các em tự lập được hệ phương trình, giáo viên chỉ hướng dẫn khi thực sự cần thiết.
- Dành nhiều thời gian cho học sinh tìm hiểu đề, phân tích bài toán và trình bài cách phân tích trước lớp để lập được hệ phương trình.
- Không tham số lượng bài tập giải tại lớp mà quên đi học sinh yếu, cần để các em nắm thật chắc, thật vững để có thể tực làm các bài tập tương tự ở nhà được.
 2. Phạm vi, đối tượng áp dụng:
Có thể áp dụng vào các tiết dạy ở nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 ở các trường THCS, nhất là các trường có nhiều học sinh yếu.
 3. Kiến nghị:
Vì đề tài không sử dụng phương tiện trang thiết bị phức tạp nên giáo viên dễ dàng áp dụng trong tiết dạy. Đề nghị BGH nhà trường phổ biến để giáo viên tham khảo, đóng góp, lựa chọn áp dụng, bổ sung nhằm thực hiện giảng dạy nội dung giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình đạt kết quả cao.
Với đề tài trên mong hội đồng góp ý giúp bản thân có kinh nghiệm tốt hơn cho những năm sau. Xin chân thành cảm ơn.
 Bình Hiệp, ngày 5 tháng 7 năm 2007
 Người viết
 Nguyễn Thị Mỹ Hiền