Đề tài Sáng kiến kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng “diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng” Hình học lớp 7

Sáng kiến kinh nghiệm
Hướng dẫn học sinh sử dụng 
“Diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng”
 Hình học lớp 7
Phần mở đầu 
 I : Đặt vấn đề
 Cùng với khoa học công nghệ , giáo dục đào tạo được Đảng và Nhà nước ta xem là quốc sách hàng đầu .Giáo dục đã thực sự cố gắng thực hiện nhiệm vụ chính yếu để góp phần tích cực vào việc “Nâng cao dân trí , đào tạo nhân lực , bồi dưỡng nhân tài”.
 Chiến lược phát triển giáo dục từ nay đến năm 2010 cũng đề ra ba nhiệm vụ chủ yếu , trong đó có nhiệm vụ “ tập trung nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục”.Để thực hiện tốt nhiệm vụ này nói riêng và phát triển sự nghiệp giáo dục nói chung thì một trong các giải pháp là “Đổi mới phương pháp dạy học” nhằm nâng cao chất lượng đào tạo.
 Trong những năm gần đây ngành giáo dục đã có nhiêu biện pháp thiết thực để nâng cao chất lượng dạy và học : Phong trào đổi mới phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh . Nhiều nhà trường ,nhiều giáo viên đã tìm ra các phương pháp thích ứng để áp dụng vào địa phương mình mong muốn đem lại hiệu quả cao nhất để nâng cao chất lượng đào tạo góp phần vào việc thực hiện mục tiêu của Giáo dục - Đào tạo . Hoà chung với phong trào đó trường chúng tôi cũng phát động thi đua “ Đổi mới phương pháp dạy học”.Trong phong trào đó đã có những kinh nghiệm được áp dụng ở trường và các trường bạn . Bản thân tôi cũng mạnh dạn nêu ra một kinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn học sinh lớp 7 sử dụng “ Diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng ”
 Có thể nói học sinh lớp 7 còn bỡ ngỡ trong chứng minh hình học , cho nên các em còn lúng túng trong việc tìm tòi lời giải một bài toán hình học .Vì thế học sinh gặp không ít khó khăn khi tiếp cận nó , đặc biệt là giải quyết những bài tập hình học khó.Việc định hướng , hướng dẫn cho các em trong tìm tòi lời giải là việc làm cần thiết và vô cùng quan trọng.Song đưa ra một phương án duy nhất để tranh luận nhằm tìm ra một hướng dẫn chuẩn mực , tối ưu không đơn giản chút nào,bởi hướng dẫn của mỗi giáo viên là đa dạng, phong phú không có khuôn mẫu nhất định.Do đó tuỳ vào đối tượng học sinh và yêu cầu của bài toán mà giáo viên đưa ra những phương pháp giải phù hợp đảm bảo tính khoa học, tính sư phạm và hiệu quả cho học sinh.Một trong những phương pháp đó là sử dụng “Diện tích tam giác để so sánh độ dài độ dài các đoạn thẳng”.
 Với phạm vi chương trình hình học lớp 7, hạn chế của đề tài và khả năng có hạn của bản thân nên tôi chỉ đưa ra một số hướng dẫn nhằm giúp học sinh trong việc sử dụng khái niệm diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm 
 - Giúp học sinh lớp 7 biết sử dụng khái niệm diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng.
 - Đúc rút các kinh nghiệm, đổi mới phương pháp dạy học,nâng cao nghiệp vụ tay nghề.
III. Phạm vi của đề tài 
Do đặc thù của đối tượng học sinh lớp 7 nên chỉ áp dụng cách tính diện tích tam giác được học trong các lớp dưới để phục vụ cho đề tài.
Các ví dụ đưa ra trong đề tài là những ví dụ mang tính minh hoạ ,bạn đọc có thể tìm các ví dụ hoặc các bài tập khác để áp dụng.
Đề tài có thể áp dụng thêm cho học sinh các lớp 8 và lớp 9 hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán.
B. Nội dung chính
 Chương I:Thực trạng và nguyên nhân 
 I.Thực trạng
 Qua bốn năm thực hiện công tác đổi mới chương trình SGK, đổi mới phương pháp dạy họcđã có nhiều giáo viên chú ý tới các cách chứng minh so sánh các đoạn thẳng bằng nhiều phương pháp khác nhau trong đó có phương pháp sử dụng diện tích tam giác nhưng do dùng nhiều phương pháp nên hiệu quả chưa cao.Học sinh còn lẫn lộn giữa các cách chứng minh.
 Do bản thân tôi đã dạy nhiều năm, đặc biệt được dạy môn toán lớp 7(mới)ba năm liền.Cùng với yêu cầu của tình hình phát triển của môn toán ,nhu cầu học hình của các em học sinh và của các bậc phụ huynh.
Trong quá trình dạy toán ở bậc THCS tôi theo dõi thấy học sinh khó khăn , lúng túng , ngại khó trong giải các bài toán hình có liên quan dến diện tích tam giác .
Trong một số bài tập , bài thi học sinh giỏi huyện , tỉnh đã sử dụng hoặc nếu sử dụng khái niệm diện tích tam giác vào để chứng minh thì bài toán trở nên đơn giản , dễ làm , cách giải nhanh hơn , dễ hiểu hơn .
*Kết quả điều tra thống kê như sau: 
 a.Kết quả học lực 
Năm học
Số lớp
Số
HS
Tỷ lệ học lực
Tỷ lệ
Lên lớp
Ghi chú
Yếu
TB
Khá
Giỏi
2003 - 2004
4
143
5,6 %
81,1%
10,5%
2,8%
98%
2004 - 2005
4
138
5%
81,3%
10,8%
2,9%
98%
2005 - 2006
4
152
4,9 %
82,0%
10,3%
2,8%
 b.Điều tra tâm lý học của các em học sinh lơp 7 qua các năm học 
 +, Lý do em thích học các môn học ( 100 em )
Do bố mẹ bắt buộc : 28 em
Do bạn rủ học : 18 em
Do bản thân em thích học : 14 em
Do thích thầy dạy toán : 18 em
Do muốn tìm hiểu môn khoa học này : 14 em
Do yêu thích môn hình học : 10 em
 +, Khả năng học môn toán ( 100 em)
Có khả năng học giỏi môn toán : 13 em
Có khả năng nếu chịu khó học : 41 em
Không có khả năng học môn hình học : 28 em
Ngại môn hình học : 18 em
c. Kết quả kiểm tra học kì môn toán
Năm học
Số lớp
ơ
Số HS
Tỷ lệ %
Ghi chú
Yếu kém
TB
Khá
Giỏi
2003 - 2004
4
143
8,39
84,62
5,59
1,40
2004 – 2005
4
138
7,24
86,96
3,63
2,17
2005 - 2006
4
152
3,92
84,46
9,92
1,7
(Kì I)
II.NGUYÊN NHÂN
Có một số bộ phận các em học sinh thích môn hình học nên đã ảnh hưởng nhiều tới phong trào học tập của học sinh . Nhu cầu học tập của xã hội ngày càng cao , nguyện vọng của cha mẹ là cho con học các môn học tự nhiên nhất là môn toán để được vào học các trường chuyên lớp chọn .
Phong trào đổi mới phương pháp dạy học đã đi vào ổn định và đòi hỏi chất lượng càng cao để dáp ứng với yêu cầu của xã hội .
Trong các đề thi tuyển học sinh giỏi các cấp , trong các bài tập có nhiều bài toán hình học có sử dụng diện tích của tam giác để chứng minh .
Việc sử dụng diện tích tam giác để chứng minh hình học nói chung , so sánh độ dài các đoạn thẳng nói riêng là một cách giải bài toán hình.
Các em còn ngại khi sử dụng phương pháp khái niệm diện tích tam giác vì chưa biết sử dụng như thế nào? sử dụng ở dạng toán nào? cách phân tích như thế nào?
Đối với học sinh lớp 7 khái niệm diện tích tam giác được học ở các lớp dưới là diện tích tam giác bằng nửa tích độ dài đường cao với cạch đáy tương ứng . Bước đầu làm quen với cách chứng minh hình học nên còn gặp nhiều khó khăn.
Do số lượng và chất lượng giáo viên chưa đáp ứng với yêu cầu đổi mới nên ảnh hưởng tới đến chất lượng đào tạo nói chung , chất lượng học môn toán nói riêng .
Chương 2 : Một số bài toán 
 Bài toán 1.1
 Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là một điểm bất kì thuộc cạnh BC . Gọi E và F theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến 2 cạnh AB và AC. Vẽ đường cao BI của tam giác ABC . Chứng minh DE + DF = BI.
Phân tích hướng dẫn như sau : Mới đầu xem qua bài toán , đa số các em cho đây là bài toán khó , nhưng khi giáo viên phân tích hướng dẫn ta sử dụng diện tích tam giác S ABC = S DBA + S DAC thì các em định hướng được cách giải ngay .
Giải : S DAB = DE . AB A I
 S ABC = BI . AC E F
 S DAC = DF . AC B D	C
Mà SABC = S DBA + S DAC hay BI.AC = ( DE.AB + DF.AC )
Vậy : BI.AC = DE.AC + DF.AC
 BI.AC = ( DE + DF ) . AC 
Suy ra BI = DE + DF
Bài toán 1.2 :
 Cho tam giác ABC , M là một điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB . Chứng minh rằng khoảng cách từ C đến AM gấp hai lần khoảng cách từ B đến AM .
Phân tích hướng dẫn : Vẽ AEBC; CKAM; BHAM; và so sánh tích độ dài các đoạn thẳng như AE .BM và AE.CM hay CK . AM và BH.AM.Từ đó dẫn đến cách giải như sau:
Giải: Ta có S ABM = AE . BM A
 SACM = AE.MC 	K
 Mà MC = 2 MB SAMC = 2SABM C B
Mặt khác SABM = AM.BH E M 
 SACM = AM .CK H 
 CK = 2BH 
Bài toán 1.3 : Cho tam giác đều ABC, M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác . MH, MK, MI lần lượt là khoảng cách từ điểm M đên các cạnh AB, AC, BC, của tam giác. Gọi AE là chân đường cao của tam giác ABC. Chứng minh: MH + MK + MI = AE
Đối với bài toán này giáo viên chỉ cần 	A
gợi ý là học sinh biết ngay cách giải.
SABC = S MBA + S MAC + S BMC 	K
ABC đều AB = AC = BC = a 	H M 
AE.a = MH.a + MK.a +MI.a
Hay AE = MH + MK + MI	B
 	I E C
Đối với học sinh khá bài toán 1.3 có thể phát biểu như sau :
 Bài toán 1.3* :Chứng minh rằng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong các tam giác đều đến ba cạnh của tam giác k phụ thuộc vào điểm M .(Cách giải tương tự như trên :AE = MH + MK+ MI trong đó AE là đường cao của tam giác ABC AE không đổi).
Bài toán 1.4 : Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c và chiều cao tương ứng là ha, hb, hc . Từ điểm O bất kỳ nằm trong tam giác hạ từ các đoạn thẳng vuông góc có độ dài là x, y, z đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC. Chứng minh : x/ ha + y/ hb + z/ hc = 1
 ở bài toán 1.3 yêu cầu ta chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác bằng độ dài đường cao của tam giác đó.Còn bài tập 1.4 yêu cầu ta xét mối quan hệ giữa tổng các tỉ số giữa các khoảng cách từ O đến 3 cạnh của tam giác với ba đường cao tương ứng nên giáo viên hướng dẫn học sinh xét mối quan hệ giữa các tỷ số : A
+ += = 1 hb 	 b 
+ + = = 	c ha	O C
 B a
 + + = 1
 Một tính chất nữa của diện tích tam giác : Trong tam giác ABC trên cạnh BC đặt n đoạn thẳng bằng nhau BB1, B1B2,, BnC thì tam giác ABB1, AB1B2,, ABnC có diện tích bằng nhau .Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất này vào một số bài toán chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau .
 Bài toán 2.1 : Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến. Trên cạnh AB lấy điểm D, Vẽ DE // BC ( E AC), DE cắt AM tại I. Chứng minh : ID = IE.
 Đối với hoạt động giải toán hình ở lớp 8 thì bài toán này là đơn giản vì các em sử dụng các tam giác đồng dạng. Còn đối với học sinh lớp 7 thì bài toán này không dễ tí nào.
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh 
khai thác giả thiết : DE // BC Khoảng cách A
từ B và C đến DE là bằng nhau MB = MC
SABM = SAMC ; SIBM = SIMC	D	I	E
SABM – SIBM = SAMC – SIMC Hay SAIB = S AIC
Mà SAIB = SAID + SDIB ta kí hiệu S AIB = S1 + S2 B M C
Tương tự SAIC = SAIB + SIBC ta kí hiệu SAIB = S3+S4
Vậy ta có S1 + S2 = S3 + S4 (1) 
* Nếu DI > IE S1 >S3 và S2 > S4 S1 + S2 > S3 + S4 trái với (1)
* Nếu DI < IE S1<S3 và S2 < S4 S1 + S2 < S3 + S4 trái với (1)
Vậy DI = IE 
 Bài toán 2.2: Tính các cạnh của tam giác ABC biết chu vi của nó là 414 cm.Tỷ số khoảng cách từ các đỉnh A, C tương ứng với các phân giác góc ABC là 6:11. tỷ số khoảng cách từ các điểm A, B tương ứng với phân giác góc ABC là 8:7.
* Đối với học sinh lớp 7 thì đây là bài toán khó. Để hướng dẫn cho các em hiểu và giải được không đơn giản chút nào. Với giả thiết là chu vi của tam giác ABC là 414 cm để tính độ dài các cạnh thì phải thiết lập được tỷ số giữa các cạnh của tam giác ABC. Với suy nghĩ như vậy giáo viên cần khéo léo dẫn dắt để các em nhận thấy tỉ số giữa các cạnh của tam giác ABC có quan hệ với nhau như thế nào? 
Vậy với giả thiết ta có :
= ; = 
Qua K vẽ KM BA , KN BC 
Suy ra : KM = KN (vì BK là phân giác góc ABC )
Ta có : 2 SABK = AH . BK = KM .AB M
 2 SBCK = CK . BK = KN .BC 	A	K
 = mà = ; = (1) E F H 
Chứng minh tương tự ta có : B N C 
= = 	
Mà = => = (2) Từ (1) và (2) ta có 
 = và ‏‎ = 
 Ngoài các dạng toán trên , việc sử dụng diện tích tam giác còn giúp học sinh giải các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng trong hình học lớp 7. Đây là loại toán mà học sinh khi gặp phải thì rất ngại và để giải được không thể không sử dụng diện tích tam giác ( Trong phạm vi đề tài này chỉ xét khái niệm diện tích tam giác ) . Để giúp các em tự tin trong giải toán cực trị này tôi xin trình bày một số bài toán mà khi sử dụng diện tích tam giác thì sẽ đạt kết quả khả quan hơn . 
Bài toán 3.1 : Chứng minh rằng trong một tam giác đường cao ứng với cạnh lớn thì nhỏ hơn đường cao ứng với cạnh nhỏ . 
Với giả thiết : AB < AC < BC A
Ta phải chứng minh : CM > BE > AH K E
( CK , BE , AH là đường cao của ABC)
Nhiều em học sinh khi gặp bài toán này đã nghĩ 
ngay đến việc vẽ thêm đường phụ để chứng minh 
 và kết quả là bài giải rất dài , phức tạp . B H C
Giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh biết sử dụng mối quan hệ giữa các cạnh và đường cao trong tam giác thì bài toán trở nên rất đơn giản . 
Ta có : 2.S ABC = HA . BC = BE . AC = CK . AB
Mà AB BE ; AC AH AB BE > AH
 Mở rộng bài toán 3.1 ta có bài toán sau : 
Bài toán 3.2 : Cho tam giác ABC, gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác; ha, hb là độ dài các đường cao tương ứng với các cạnh a, b. Chứng minh rằng nếu a > b thì a + ha b + hb . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 
* Rõ ràng bài toán 3.2 là một bước nâng cao của bài toán 3.1. Vì thế giáo viên phải khéo léo gợi để học sinh tìm được cách giải hợp lí.
Nghĩa là để a + ha b + hb thì ( a + ha ) – ( b + hb ) 0
Ta xét mối quan hệ giữa a . ha và b . hb
 Rõ ràng 2.S ABC = a.ha= b.hb
Mà hb < a ( BK < BC )
Xét : ( a + ha ) – ( b + hb ) = ( a- b) + ( ha - hb )
 = ( a- b) + - = ( a- b) ( ) A
Vì a > b > 0 a – b > 0 ; a.b > 0 K c
ab > 2S ab – 2S 0 E hb
Hay ( a –b ) ( ) 0 	 b ha
 ( a + ha ) – ( b + hb ) 0
	a + ha b + hb C H a B
Dấu “=” xảy ra ab = 2S hay tam giác ABC vuông tại C.
Bài toán 3.3: Cho tam giác ABC. Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng độ dài các khoảng cách từ B và C đến AM là nhỏ nhất , lớn nhất .
Hướng dẫn : 
 Ta có :SABM +SACM = SABC A
 AM ( BD + CE ) = 2 S ABC	 D
 AM (BD + CE) không đổi 
Vậy để BD + CE lớn nhất 
AM nhỏ nhất . B H M C
M H là chân đường vuông góc hạ từ A đến BC.
Nếu góc B và góc C vuông thì M B hoặc M C
* Để BD + CE nhỏ nhất AM lớn nhất.	E
 Nếu AB > AC M B
Nếu AB < AC M C
Nếu AB = AC M B hoặc M C
Bài toán 3.4 : Hãy tìm điểm thuộc miền trong của tam giác sao cho các khoảng cách từ điểm đó đến 3 cạnh của tam giác là nhỏ nhất. 
Hướng dẫn : Giả sử M thuộc miền trong của tam giác ABC thoả mãn điều kiện bài toán, không mất tính tổng quát . A
 Ta giả sử :Â >B >C BC > AC > BA 
Ta có : MP. BC + MQ . AB + MR . AC = Q R
 = AH . BC = 2 S ABC M
MP . BC + MQ. BC + MR .BC > AH. BC
Hay MP + MQ + MR > AH B H P C
Mà MP + MQ + MR nhỏ nhất MP + MQ + MR = AH M A
Nếu ( bài toán 1.3) M tuỳ ý trong tam giác ABC
Nếu M B hoặc M C
Nếu M C
Bài toán 3.5 : Cho tam giác ABC và một điểm M thuộc miền trong của tam giác. Kẻ MA’ BC ; MB’ AC và MC’ AB . 
Đặt BC = a, AC = b ; AB = c . Tính giá trị nhỏ nhất của tổng : + +
Hướng dẫn : Đặt MA’ = a’ ; MB’ = b’ ; MC’ = c’ A
S là diện tích tam giác ABC B/ 
Gọi P = + + C / M 
Ta có : S = ( aa’ + bb’ + cc’ )
2S = aa’ + bb’ + cc’ B A/ C
2S . P = ( aa’ + bb’ + cc’ ) (+ +)
= a2 + b2 + c2 +ab (+ ) + ac (+ ) + bc (+ )
Mà + > 2 ; + > 2 ; + >2
2S . P ( a + b + c )2 P 
Vậy Pmin + + = 
Khi đó a’ = b’ = c’ M cách đều ba cạnh của tam giác ABC M là giao điểm ba đường phân giác .
Chương III : Một số biện pháp thực hiện 
Điều tra học lực của học sinh thông qua các bài kiểm tra học kì, các bài kiểm tra định kì và các giờ học hình trong năm học.
Điều tra tâm lí học để biết em nào có sở thích học toán .
Tổ choc ôn tập vào các buổi ngoại khoá nhằm tăng lượng giờ luyện tập về kĩ năng phân tích, kĩ năng vận dụng, kĩ năng vẽ hình, phân tích giả thiết kết luận 
Ra các bài tập có dạng toán giống như các bài toán đã nêu ở trên.
Khi ra các bài toán cho học sinh, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện các bước như sau :
+ Đọc kỹ bài toán nhiều lần.
+ Kiểm tra xem bài toán vừa đọc đề ra thuộc dạng toán nào.
+ Phân tích bài toán cho biết những số liệu, dữ liệu, yếu tố nào và yêu cầu chứng minh những yếu tố, đại lượng nào
+ Vẽ hình nghiên cứu xem những yếu tố đã cho có liên quan như thế nào với nhau. Những yếu tố đó cho ta biết được những điều kiện gì 
+Phân tích bài toán ghi vào vở nháp, thử chưng minh, kiểm tra các bước chứng minh đã sử dụng các yếu tố bài toán đã cho như thế nào.
+Tự mình rút ra bài học kinh nghiệm kho giải xong bài toán.
+Đối chiếu với cách giải của thầy và của bạn, so sánh cách giải, phân tích xem cách giải nào hợp lý và ngắn gọn khoa học hơn, từ đó rút ra kinh nghiệm cho bản thân mình về dạng toán trên.
Đối với giáo viên cần đưa ra các dạng toán nâng dần từ thấp lên cao, kể cả kỹ năng lẫn khối lượng kiến thức chú ý tới cách giải tổng quát cho các dạng toán.
 Kết luận 
 Trên đây là một số bài toán so sánh độ dài các đoạn thẳng có sử dụng khái niệm diện tích tam giác để chứng minh. Như vậy xét mối quan hệ giữa độ dài các đoạn thẳng, ta xét mối quan hệ giữa diện tích các tam giác mà các cạnh hoặc các đường cao là các đoạn thẳng ấy. Điều đó nhiều khi giúp chúng ta đi đến lời giải của bài toán ấy. Trên đây là một vài suy nghĩ nhỏ xung quanh việc hướng dẫn học sinh sử dụng diện tích tam giác để so sánh độ dài các đoạn thẳng. Quả thật nói về phương diện hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề như thế nào cho nhanh, gọn, đúng là một nghệ thuật sư phạm của mỗi giáo viên, vì vậy tôi không dám chắc rằng kinh nghiệm của tôi là tối ưu, là duy nhất. Nhưng dù ở khía cạnh nào đi chăng nữa phương pháp này đã giúp cho các em thực sự thực hiện thành công cách dùng dịên tích để so sánh độ dài các đoạn thẳng như các dạng toán mà tôi đã nêu ở trên. Hơn nữa các khái niệm diện tích còn giúp học sinh giải quyết các bài toán khác trong chứng minh hình học nói chung. Tuy nhiên vì điều kiện khả năng và khuôn khổ của đề tài có hạn nên tôi chỉ trình bày một số kinh nghiệm nhỏ này, mong rằng nó sẽ góp một phần nhỏ vào công cuộc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. Cũng không tránh khỏi những thiếu sót, những khiếm khuyết, những hạn chế trong quá trình trình bày SKKN này. Ngoài những nguyên nhân được nêu ở trên tôi cũng mạnh dạn đề xuất với các cấp lãnh đạo tạo điều kiện cho chúng tôi có đủ cơ sở vật chất để chúng tôi giảng dạy tốt hơn. Mong các bậc phụ huynh quan tâm hơn nữa tối việc học tập nâng cao kiến thức của các em học sinh đáp ứng với yêu cầu tình hình hiện nay.
 Rất mong ban giám khảo, hội đồng khao học các cấp xem xét bổ cứu để tôi áp dụng đề tài một cách có hiệu quả hơn , có tính sát thực hơn .
Xin chân thành cảm ơn .