Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 - Đề số 23

Thi học sinh giỏi lớp 9 bảng A
(Thời gian 150 phút , không kể giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm) : Rút gọn biểu thức sau :
A = 
Bài 2(2,0 điểm)
	1) Cho ba số hữu tỉ a ; b ; c thoả mãn điều kiện ab + ac + bc = 1. Chứng minh rằng ( a2 +1 )( b2 + 1)( c2 + 1 ) là bình phương của một số hữu tỉ
	2) Chứng minh rằng nếu c2 + 2(ab – ac – bc ) = 0 với b ạ c , a + b ạ c thì
Bài 3( 2,0 điểm)
	Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ³ 0:
( m+1 )x2 – 2x + (m-1 ) = 0 (1)
Bài 4 (2,0 điểm)
	Cho hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp đại số và phương pháp đồ thị
Từ đồ thị hãy tìm xem có thể thay số hạng –1 của phương trình thứ nhất bằng số nào để hệ đã cho chỉ có một nghiệm. Có thể thay đổi hệ số của x và y của phương trình thứ nhất sao cho hệ đã cho vô nghiệm được không ?
Bài 5 (2,0 điểm)
	Giải phương trình : (1)
Bài 6 (2,0 điểm)
	Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc Oxy , cho parabol (P) có phương trình:
 y = và diểm I ( 0 ; -2) ; gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc m.
	1) Vẽ (P) . Chứng tỏ với mọi m , (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B 
	2) Tìm giá trị của m để đoạn AB là ngắn nhất .
Bài 7 (2,0 điểm )
	Cho a , b , c là ba số dương có tổng là hằng số. Tìm a , b , c sao cho ab +bc +ca là lớn nhất
Bài 8 (2,0 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a ( a > 0 ) cho trước và BC = 2AB .Gọitam giác DEF là nửa tam giác đều nội tiếp trong tam giác ABC ( D trên cạnh BC ; E trên cạnh AC ; F trên cạnh AB và góc EDF vuông ) . Tìm vị trí D , E , F để diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ nhất , tính theo a giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 9 ( 2,0 điểm) 
	Cho hình thang cân ABCD ( AB > DC ) . , có một đường tròn tâm O nội tiếp hình thang tiếp xúc với các cạnh AB , BC , CD , DA , lần lượt tại M , N , P , Q .
Chứng minh AD , MP , BC đồng quy tại điểm S.
Chứng minh QN là đường trung bình của 
 Gọi S1 là diện tích hình QNCD , S2 là diện tích tứ giác ABNQ .Tính.
Bài 10 ( 2,0 điểm )
	Cho điểm P cố định nằm trong đường tròn tâm O , bán kính r . Một dây cung AB của đường tròn (O) nhưng luôn đi qua P. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại C . Tìm quỹ tích điểm C .