Khai thác – Phát triển các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

A - đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài :
	Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí góp phần tạo nên nguồn chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nước – toán học không chỉ cung cấp cho con người những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học . Toán học là tiền đề, là then chốt của mọi ngành khoa học khác
	Để có thể phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì tìm ra kết quả một bài toán chưa thể coi là kết thúc được mà phải tiến hành khai thác “ mổ xẻ ” và phát triển bài toán đó .
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán nói riêng người dạy cũng như người học cần tạo cho mình một thói quen là: Sau khi tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề đó để tìm đễn kết quả mới hơn . Hãy luôn suy nghĩ đến việc khai thác bài toán để sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã cho .
Chính vì lý do trên tôi chọn đề tài : “ Khai thác – phát triển các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ” .
II. Mục đích :
Nhằm phát triển tư duy logic và phương pháp luận khoa học, phát triển óc thế giới quan duy vật biện chứng và duy vật lịch sử . Thông qua đề tài hình thành cho học sinh những năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tế để tự chủ, tự lập trong lao động, trong cuộc sống . Kích thích trí tưởng tượng gây hứng thú học tập toán, góp phần rèn luyện phương pháp học tập và rèn luyện có kế hoạch, khoa học, chủ động, sáng tạo và linh hoạt .
III. Nội dung :
III.1. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Từ ta suy ra với b ≠ d; b ≠ -d
	Từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra :
III.2. Hệ thống các bài tập áp dụng :
A. Dạng 1: Các bài toán chứng minh :
1. Bài toán 1: ( Bài 73/14/SBT) :
	Cho a,b,c ≠ 0 . Từ tỉ lệ thức hãy rút ra tỉ lệ thức 
 Lời giải :
	Từ tỉ lệ thức 
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 
	Từ ta suy ra : 
	Từ đâyta có thể phát biểu và chứng min bài toán tương tự sau :
2. Bài toán 2 :
	Cho a,b,c,d ≠ 0 . Từ tỉ lệ thức hãy suy ra tỉ lệ thức :
 Sau khi giải bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau :
3. Bài toán 3 :
 Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
	 Lời giải :
 Từ . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
 Từ 
 Cũng từ bài toán 1 và 2 ta có thể giải bài toán :
4. Bài toán 4 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( a – b ≠ 0; c – d ≠ 0 ) 
	Ta có thể suy ra tỉ lệ thức : 
 	Lời giải :
	Từ 
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 
	Từ 
	Đến đây ta có bài toán đảo của bài toán 4 :
5. Bài toán 5 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ≠ 1
	Ta có thể suy ra tỉ lệ thức 
	Lời giải
 Ta có ≠ 1 
 Và c + d ≠ c – d ≠ 0
	Ta có 
 Từ với b ≠ 0 ; d ≠ 0 ta suy ra 
	Đặc biệt hoá bài toán 4; 5 khi a=d ta lại có bài toán sau :
6. Bài toán 6 :
	Chứng minh rằng nếu a2= bc thì : 
	Điều đảo lại có đúng không ?
7. Bài toán 7 :
	Cho chứng minh rằng ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
	Lời giải
	Từ 
	Ta có : 
	Từ đó ta có thể tổng quát hoá thành bài toán sau :
8. Bài toán 8 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
	Lời giải
	Từ 
	Từ 
9. Bài toán 9 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
	Lời giải
	Từ tỉ lệ thức 
	Bài toán 9 tương tự bài toán sau :
10. Bài toán 10 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức :
	 và ta có bài toán đảo của bài toán 10 .
11. Bài toán 11 :
	Chứng minh rằng:Từ tỉ lệ thứcta có thể suy ra tỉ lệ thức 
	Lời giải
	Ta có 
 Suy ra hay 
	Khai thác bài toán 11 dẫn đến bài toán tổng quát sau :
12. Bài toán 12 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ( kN )
	Ta suy ra được 
13. Bài toán 13 : 
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức 
 Ta có thể suy ra được tỉ lệ thức : 
	Lời giải
	Từ 
	Suy ra 
	Từ tỉ lệ thức : 
	Bài toán 13 lại là trường hợp đặc biệt của bài toán sau :
14. Bài toán 14 :
	Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra được tỉ lệ thức
	( Cách giải tương tự bài 13 )
15. Bài toán 15 :
	Chứng minh rằng từ dãy tỉ số bằng nhau 
 Ta có thể suy ra được 
	Lời giải
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
	Tương tự ta có bài toán sau :
16. Bài toán 16 :
	Cho bốn số a,b,c,d khác 0 thoả mãn : b2 = ac ; c2 = bd
	Chứng minh rằng : 
17. Bài toán 17 :
	Cho Với a1+a2+a3+a4+...+a9 ≠ 0
	Chứng minh rằng a1=a2=...=a9 .
	Lời giải
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Do đó a1=a2 ; a2=a3 ; ... ; a9=a1
	Hay a1=a2=...=a9 .
18.Bài toán 18 :
	Chứng minh rằng nếu có dãy tỉ số bằng nhau :
 thì ta có thể suy ra được đẳng thức :
	Lời giải
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Ta có : 
	Vậy : 
 ( Lưu ý các bài toán trên có thể giải theo nhiều cách ).
B. Dạng 2 : các bài toán tìm ẩn :
1. Bài toán 1 : ( Bài 61 trang 31 – SGK )
	Tìm ba số x ; y ; z biết rằng : và x+y-z=10
	Lời giải
	Từ 
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Do đó : x = 8.2=16
	 y= 12.2=24
	 z= 15.2 =30
	Vậy x=16 ; y=24 ; z=30
	Bài tập tương tự 
2. Bài toán 2 : Tìm ba số x ; y ; z biết rằng :
	a) và 2x-3y+z=6
	b) và x+y-z=69
	c) 3x=2y ; 7y=5z và x-y+z=32
3. Bài toán 3 :
	Tìm ba số x ; y ; z biết rằng : và x2-y2+2z2=108
	Lời giải
	Từ 
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Do đó : a2 = 16 
	b2 = 36 
	c2 = 64 
	Vậy a=4; b=6; c=8 và a=-4; b=-6; c=-8
	Các bài tập tương tự 
4. Bài toán 4 :
	Tìm ba số x ; y ; z biết rằng : và x2+y2+z2=217
5. Bài tập 5 :
	Tổng các lập phương của ba số là 99 . Tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là , giữa số thứ nhất và số thứ ba là . Tìm ba số đó .
6. Bài toán 6 : 
	Tìm ba số x ; y ; z biết rằng : và x2+y2+z2=14
	Lời giải
	Từ 
	áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau :
	Do đó : 
	Vậy x=1; y=2; z=3 và x=-1; y=-2; z=-3
	Ta tiếp tục với bài 62/31 – SGK để giải quyết các bài toán với giả thiết tương tự .
7. Bài toán 7 : ( Bài 62/31 – SGK ) 
	Tìm hai số x và y biết : và xy=10
	Lời giải :
	Ta có 
	Do đó :
	Vậy : x=2; y=5 và x=-2; y=-5
8. Bài toán 8 :
	Tìm hai số x và y biết : và x4.y4=16
	Lời giải
 Ta có 
	Do đó :
	Vậy x=1; y=2 và x=-1; y=-2
9. Bài toán 9 :
	Tìm hai số x và y biết : và x10.y10=1024 .
	Lời giải
	Ta có : 
	Vậy : 
	Do đó : 
	Vậy và 
10. Bài toán 10 :
	Một bể chứa nước hình chữ nhật, chiều rộng và chiều dài tỷ lệ với 4 và 5. Chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 5 và 4 . Thể tích của bể là 64 m3 . Tính chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể .
	Lời giải :
	Gọi x, y, z lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể chứa nước ( x, y, z >0 ) .
	Theo bài ra ta có : và x.y.z=64
	Từ : 
	Do đó :
IV. Kết luận
Trong quá trình thực hiện chuyên đề tôi thấy :
- Học sinh không còn bị lúng túng khi gặp phải các dạng bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cả về cách tìm lời giải và trình bày lời giải .
- Học sinh thực sự có hứng thú và say mê học bài , làm bài tập và sách tham khảo để tìm thêm các bài toán dạng này .
- Tạo cho học sinh thói quen luôn suy nghĩ một bài toán theo những hướng khác nhau .
- Với bản thân qua nghiên cứu chuyên đề tự mình được nâng cao về nhận thức, về trình độ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo .
- Chuyên đề này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định, tôi rất mong được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và của hội đồng khoa học các cấp . 
V. Tài liệu tham khảo :
1. Sách giáo khoa toán 7 tập 1
2. Sách bài tập toán 7 – tập 1 
3. Các dạng toán và phương pháp giải toán 7 –tập 1 .
4. Ôn tập và kiểm tra đại số 7