Một số gợi ý bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

một số gợi ý bồi giỏi toán 7
( Năm học 2008-2009 )
A- Đại số :
Chương I : Số hữu tỉ , Số thực.
 * Mục tiêu: Học sinh cần nắm vững :
 - Khái niệm số hữu tỉ .
 - Các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa số hữu tỉ .
 - Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ , một biểu thức .
 - Khái niệm , tính chất của tỉ lệ thức . Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau .
 * Một số bài tập :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức :
 a, 1.2 + 2.3 + 3.4 +.......+ 2007.2008
 b, 12 + 22 + 32 +............+ 20082
 c, - --.....-
 d, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +.........+ 8.9.10
 e, 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 +............- 299 - 300 + 301 + 302
 f, 22008- 22007- 22006-..............- 22- 21- 20
 g, 1 + 31 + 32 +33 +.........+ 3100
 h, 1 +21 +22 + 22 +23 +........+ 2100
 i, (30.4999.9499 + 4.21998.27333) - ( 121000 + 21000.6999 )
Bài 2 : Chứng minh :
 a, + + + ..... + 
 b, + + + ............ + = + + ...... + 
Bài 3 : Tìm x , y biết :
 a, = 3
 b, > 1
 c, 2 < 5
 d, 3 < 6
 e, - 2 = 6
 f, 2 + = x-3
 g, 2x + 2x+2 = 144
 h, (2x-2008)2008 + (2004-3y)2004 = 0
 i, = 
Bài 4: Tìm x , y Z biết :
 a, (x-2).(y+3) =15
 b, (x+3).(x-y+5 ) = 12
 c, (x-1)3.(x+y) = 8
Bài 5 : Tính giá trị biểu thức sau tại x=7 
	 (x+ 5)
	 (x+ 6)
	(x- 6)	
	 (x- 5)
 A=(x- 4)
Bài 6 : So sánh :
 a, 2300 và 3200
 b, 291 và 535
Bài 7 : Chứng minh : 
 A= 0,3.(19831983- 19171917) là một số nguyên
 B = (107 + 108 + 109) 222
 C = (76 + 75 - 74) 11
Bài 8 : Cho = và =. Tính x , y , z biết :
 a, x + y + z = 35
 b, 2x + 3y - 4z = 
 c, x2 + y2 + z2 = 
 d, x3 + 2y3 + 3z3 =
 e, x.y = 
........... 
Bài 9 : Người ta viết năm số hữu tỉ trên một vòng tròn , trong đó tích hai số cạnh nhau luôn bằng . Tìm các số đó .
Chươg II : Hàm số và đồ thị .
 * Mục tiêu: Học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản của chương .
 - Đại lượng tỉ lệ thuận và bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận.
 - Đại lượng tỉ lệ nghịch và bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch .
 - Khái niệm hàm số , đồ thị hàm số y=f(x).
 * Một số bài tập :
Bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận , tỉ lệ nghịch . Toán chia tỉ lệ.
 Bài 1: Chia số 92 thành ba phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3 , phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 5 và 7 .
 Bài 2 : Lúc rời nhà đi , bạn Tùng xem giờ thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và khi 
 đến trường thì thấy hai kim đồng hồ đã đổi vị trí cho nhau ( trong thời 
 gian này hai kim đồng hồ không chập với nhau lần nào ) . Tính thời gian
 Tùng đi từ nhà đến trường , lúc Tùng rời nhà và lúc Tùng đến trường .
 Bài 3 : Một ôtô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định . Sau khi đi được nửa
 quãng đường thì ôtô tăng vận tốc them 20% , do đó đến B sớm hơn dự 
 định 10 phút . Tính thời gian ôtô đi từ A đến B .
 Bài 4 : Tìm một số có ba chữ số , biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số 
 của nó tỉ lệ với ba số 1 , 2 và 3 .
...........
Vẽ đồ thị hàm số : y=a.x ; y= ; hàm số chứa giá trị tuyệt đối ; hàm số kép ...
y =
a, 2x với x0
 	 x với x<0
b, y = 2x
c, y = 
d, y = 2.
e, y = ( x + )
f, y = 
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối .
 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 A = 5 - 
 B = 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 C = + 
 Trong mặt phẳng toạ độ , cho biết A(-1 ; 2) ; B( 2; -3) và C (4 ; 3) . Tính diện tích tam giác ABC .
Chương IV : Biểu thức đại số .
 * Mục tiêu: Học sinh cần nắm chắc về :
 - Khái nệm biến số , hằng số .
 -Khái niệm đơn thức , đa thức .
 - Các phép toán về đơn thức , đa thức một biến . 
 - Nghiệm của đa thức một biến .
 * Một số bài toán ví dụ :
Bài 1 : Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c với a , b , c là các số thực . Biết rằng f(0) ,
 f(1) , f(2) có giá trị nguyên . Chứng minh rằng :
 a, 2a và 2b có giá trị nguyên .
 b, f(3) , f(4) , f(5) cũng có giá trị nguyên .
Bài 2 : Tìm các hệ số a và b của đa thức f(x) = ax + b biết rằng f(1) = 1 ; f(2) = 4 .
Bài 3 : Cho đa thức f(x) thoả mãn f(x) + x.f(-x) = x + 1 với mọi giá trị của x .
 Tính f(1) .
Bài 4 : Chứng minh rằng :
 a, Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3 .
 b, Tổng của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 .
 c , Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2k+1 ( kN ).
Bài 5 : Tìm các số có ba chữ số , sao cho hiệu của số ấy và số gồm ba chữ số ấy 
 viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương .
Bài 6 : Rút gọn các biểu thức : 
 a, 10n+1- 6.10n
 b, 2n+3 + 2n+2 - 2n+1 +2n
 c, 90.10k - 10k+2 + 10k+1
 d, 2,5.5n-3.10 + 5n -6.5n-1
Bài 7 : Tìm số tự nhiên abc ( abc0 ) sao cho : abc + bca + cab = 666. 
Bài 8 : Tìm x biét rằng :
 a, ( 0,4x - 2 ) - ( 1,5x + 1 ) - ( -4x - 0,8 ) = 3,6
 b, ( x + 5 ) - ( x - 4 ) - ( x + 1 ) = ( x +4 ) - ( x - 3 )
Bài 9 : Tìm nghiệm của da thức :
 a, f(x) = 2x+
 b, g(x) = x2 - 3x
Bài 10 : Cho đa thức : f(x) = ( 3x-1 )2 - (x2 - 4) - ( 8x2 + 2x - 3)
 g(x) = ax2 + bx - 4 
 a, Thu gọn đa thức f(x)
 b, Tìm a và b của đa thức g(x) biết rằng g(x) = 0 tại x = 1 ; x = 4
 c, Chứng minh g(x) = ( 1-x).(x - 4)
 d, Viết đa thức h(x) = f(x) + g(x) thành tích số
 e, Tìm nghiệm của h(x).
Bài 11 : Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện : x.f(x+1) = ( x+2 ). f(x).
 Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm là 0 và -1.
Bài 12 : Cho đa thức f(x) thoả mãn điều kiện : x.f(x-2) = (x- 4).f(x) . 
 Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm .
B - hình học :
 Chương I : Đường thẳng vuông góc , đường thẳng song song .
 * Mục tiêu: HS phải nắm được :
 - Định nghĩa : hai góc đối đỉnh , hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc .
 - Tính chất : hai góc đối đỉnh , hai đường thẳng vuông góc , hai đường thẳng song song .
 - Các dấu hiệu nhận biết .
 - Tiên đề Ơ clit.
 * Một số ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.
A
B
C
D
E
F
700
300
1400
Bài 2 : Cho hình vẽ . Hãy chứng minh : AB // CD.
	400	
 Chương II : Tam giác 
 * Mục tiêu: HS cần nắm được :
 - Tổng 3 góc của tam giác , các hệ quả .
 - Các trường hợp bằng nhau của tam giác.( Định nghĩa, hai tam giác bằng nhau , các trường hợp bằng nhau của hai tam giác )
 - Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác đều .
 - Định lý Pytago .
 - Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông .
 * Kỹ năng cần đạt được :
 - Vạn dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác để từ đó suy ra các yếu tố bằng nhau về góc , đoạn thẳng .
 - ứng dụng tính chất , dấu hiệu nhận biết các tam giác đặc biệt ( cân , đều, vuông cân )
 - Lưu ý các bài tập có vẽ thêm đường phụ .
 * Một số bài tập ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 900 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C , vẽ tia Ax vuông góc với AB , trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC . Trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC . Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC . Chứng minh: AM = DE . 
Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm D , trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE . Nối DE . Gọi I là trung điểm của đoạn DE . Chứng minh rằng ba điểm B , I , C thẳng hàng .
Bài 3: Cho tam giác ABC ( AB AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt AB tại D và AC tại E . Chứng minh rằng : DB = CE.
Bài 4 : Cho tam giác ABC , các đường cao AH và BK cắt nhau tại M . Vẽ các đường trung trực NE và NF của cạnh AC và BC . Chứng minh rằng :
 EN + FN = 
Bài 5 : Cho tam giác ABC có = 450 ; = 150 . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 2AB . Tính .
 Chương III : Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác , các đường đồng quy 
 trong tam giác . 
 * Mục tiêu: HS cần nắm được :
 - Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác .
 - Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên , đường xiên và hình chiếu . 
 - Bất đẳng thức tam giác .
 - Tính chất ba đường trung tuyến ,ba đường phân giác , ba đường cao , ba đường trung trực của tam giác .
 * Một số bài tập ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC có = 900 , = 540 , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho = 180 . Chứng minh rằng : BD AC.
Bài 2 : Cho cân tại A . Trên cạnh AB lấy điểm d , trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE . Nối D với E . Chứng minh rằng : BC DE.
Bài 3 : Cho góc nhọn xOy và điểm H ở trong góc đó . Kẻ HD vuông góc với Oy căt Ox tại A . Kẻ HE vuông góc vơi Ox căt Oy tại B . Kẻ đường vuông góc với Ox tại A và đường vuông góc với Oy tại B cắt nhau ở K . Tính và biết rằng : = .
Bài 4 : Cho tam giác ABC , =300 , đường cao AH = BC, gọi D là trung điểm của AB . Tính .
Bài 5 : Cho ABC có =750 , = 350 . Phân giác góc A cắt cạnh BC tại D . Đường thẳng qua A và vuông góc với AD cắt tia BC tại E . Gọi M là trung điểm của DE . Chứng minh rằng :
 a, ACM là tam giác cân .
 b, Chu vi tam giác ABC bằng độ dài đoạn thẳng BE .