Nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
Lương Sơn: 4- 2011
 bài tập toán 7 (bồi dưỡng học sinh khá giỏi)
Phần thứ nhất: Đại số
Chương I: Số nguyên
1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; . . . và các số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên.
* Biểu diễn trên trục số:
	Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a
* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; ... là các số đối nhau. Số đối của số 0 là chính nó.
2. Các bài toán:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dưới đây:
Hà Nội
180C
Bắc Kinh
-20C
Huế
200C
Matxcơva
-70C
TP Hồ Chí Minh
250C
Pari
00C
Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn chúng trên trục số.
Bài 4: Một chú ốc sên ở vị trí gốc O trên một cây cột cách mặt đất 2 mét (hình 1). Ban ngày chú ốc sên bò lên được 3 mét. Ban đêm chú ta mệt quá "ngủ quên" nên bị tuột xuống dưới:
a) 2 mét;	b) 4 mét
Hỏi sáng hôm sau chú ốc sên cách O bao nhiêu mét trong mỗi trường hợp a, b?
2 Đ. Thứ tự trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Cho a, b ẻ Z
	a nhỏ hơn b điểm a ở bên trái điểm b trên trục số
* Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào.
* a < 0 a là số nguyên âm
 a > 0 a là số nguyên dương
Số 0 không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dương
* Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a|
	|a| = |-a| ³ 0 với mọi a.
2. Các bài toán:
Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai:
a. Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dương.
b. Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên.
c. Số tự nhiên là số nguyên dương
d. Số tự nhiên không phải là số nguyên âm.
e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dương.
g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên.
h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm.
Bài 6: Cho biết a < b (a ạ 0, b ạ 0). Có tất cả bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về thứ tự của ba số a, b, 0?
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:
a. -3 3	d. x 3
Bài 8: Tìm số nguyên a biết:
a. |a| = 2000	b. |a| = -2001	c. |a| = 1999 (a < 0).
Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000
Đ3. Phép cộng trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z.
b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối với nhau còn dấu là dấu chung của chúng.
c) Cộng hai số khác dấu:
	- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0.
	- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trước hiệu tìm được.
2. Các bài toán:
Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:
a. Tổng của hai số dương là một số dương.
b. Tổng của hai số âm là một số âm.
c. Tổng của một số âm và một số dương là một số âm.
d. Tổng của một số âm và một số dương là một số dương.
Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0	b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bài 12: Tính:
a. |a| + a nếu a ³ 0	b. |a| + a nếu a < 0.
Đ4. Tính chất của phép cộng
1. Tóm tắt lý thuyết:
	Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z.
	Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z.
	Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z.
Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát:
	a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b = ...
2. Các bài toán:
Bài 13: Tính:
a. 1 + (-3) + 5 + (-7) + 9 + (-11) + 13 + (-15) +17 + (-19).
b. (-2) + 4 + (-6) + 8 + (-10) + 12 + (-14) + 16 + (-18) + 20.
Bài 14: Tính tổng các số nguyên x, biết:
a. -10 < x < 10	b. -10 < x Ê 10	c. -10 Ê x Ê 10
Bài 15: 
Hãy điền các số nguyên vào ô trống (hình 2) sao cho tổng các số trong 3 ô liền nhau bất kỳ theo cột dọc cũng như hàng ngang đều bằng 12.
5
1
6
2
Đ6. Phép trừ trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của số nguyên a ký hiệu là -a
	Ta có: -(-a) = a
	|a| = 
* Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b ẻ Z
2. Các bài toán:
Bài 16: Chứng minh rằng số đối của
	a - b là b - a (a, b ẻ Z)
Bài 17: Tìm x, biết:
a. |x| + 5 = 7	b. |x| - 3 = 5	c. 3 - |x| = 5
	d. |x + 3| = 0	e. |x - 3| = 1 	g. |x + 5| = -3.
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng:
	1996 < |x + 2| < 2000.
Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc"
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của một tổng bằng tổng các số đối
	-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tổng đại số:
	Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên được gọi là một tổng đại số. Trong một tổng đại số:
	a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và:
	- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng.
	- Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -.
	b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:
	- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu +.
	- Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -.
2. Các bài toán:
Bài 19: Tính tổng đại số sau:
	S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 99 - 100 + 101 + 102
Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc:
a. (a + b) - (-c + a + b)	b. -(x + y) + (-z + x + y)	c. (m - n + p) + (-m + n + p)
Bài 21: Tìm x, biết:
a. 15 - (3 + x) = 4	b. -11 - (19 - x) = 50
	c. (7 + x) - (21 - 13) = 32	d. (7 - x) + (3 - 10) = 0
Bài 22: Tìm các số nguyên x, biết:
a. |x - 2| = 3	b. |x - 3| > 1	c. 2 < |x| < 5
Bài 23: Chứng minh đẳng thức sau:
a. (a - b) + (c - d) - (a + c) = -(b + d).
b. (a - b) - (c - d) + (b + c) = a + d.
Đ7. Phép nhân trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Nhân một số với 0: a.0 = 0.a = 0 với mọi a thuộc Z.
* Nhân hai số nguyên khác 0:
	a.b = (với mọi a, b thuộc Z)
* Chú ý:
	+ Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0.
	+ Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu
	(-a).b = a.(-b) = -a.b
	+ Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không đổi dấu:
	(-a) . (-b) = a.b
2. Các bài toán:
Bài 24: Cho a là một số nguyên dương. Hỏi b là số nguyên dương hay nguyên âm nếu:
a) a.b là một số nguyên dương.
b) a.b là một số nguyên âm.
Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống:
a) -105 . 48  0	 b) -250 . (-52) . 7  0	 c) -17 . (-159) . (-575)  125 . 72
Bài 26: Tìm x, biết:
a. -x . (x + 3) = 0	b. (x - 2)(3x - 9) = 0	c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của hai số liền nhau luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số như vậy thì kết quả ra sao?
Đ8. Tính chất của phép nhân
1. Tóm tắt lý thuyết:
	a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z.
	b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z.
	c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z.
	d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
	a(b + c) = ab + ac
	(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z.
`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:
	+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
	+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 28: Bỏ dấu ngoặc:
a. (-a) (b - c + d)	a, b, c, d ẻ Z
b. (a + b) (1 + x + y)	a, b, x, y ẻ Z
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b 	a, b ẻ Z.
Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ;	a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ;	a, b, c, d ẻ Z.
c. (a + b) (c + d) - (a + d) (b + c) = (a - c) (d - b);	a, b, c, d ẻ Z.
Bài 30: Tìm x, biết:
a. |2x + 1| = 7	b. 3|x + 1| + 1 = 28
Đ9. Bội và ước của một số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* a, b ẻ Z nếu có q ẻ Z : a = bq. Ta nói:
	a là bội của b Hoặc b là ước của a
	a chia hết cho b (a b) hoặc b chia hết a (b\a)
* Tính chất: a, b, c, m ẻ Z , b ạ 0:
	+ a b, bc => a c;
	+ a c, b c => (a ± b) c
	+ a b => am b
2. Các bài toán:
Bài 31:
a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì?
Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì có số nguyên t để a = b + ct và ngược lại.
Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho 6
a. a + 5b;	b. a + 17b;	c. a - 13b.
Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết:
a. (x + 3)(y + 2) = 1	b. (2x - 5)(y - 6) = 17	c. (x - 1)(x + y) = 33.
Ôn tập chương I
Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + ... Hỏi tổng ở vế phải của đẳng thức có bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là bao nhiêu?
Bài 36: Cho 5 số nguyên a1, a2, a3, a4, a5. b1, b2, b3, b4, b5 là một hoán vị của 5 số đã cho. Chứng minh rằng tích (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hết cho 2.
Bài 37: Tìm số nguyên x, biết rằng:
a. (x - 3)(x + 2) > 0	b. (2x - 4)(x + 4) < 0
Bài 38: Tìm các số nguyên x, y sao cho
	(x - 2)2 . (y - 3) = -4
Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho
	(x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4
Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:
	(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0
Chương II:
Số hữu tỷ
Đ1. Phân số
1. Tóm tắt lý thuyết
* là một phân số với a, b ẻ Z; b ạ 0
*
* (m ạ 0, a m, b m)
2. Các bài toán:
Bài 41:
a) Các phân số sau đây có bằng nhau không?
	 và; và ; và 
b) Cho a và b là hai số nguyên (b ạ 0). Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng bằng nhau:
	 và ; và 
Bài 42:
a) Viết các phân số sau dưới dạng phân số có mẫu dương: ; ; 
b) Viết tập hợp các phân số bằng: ; 
Bài 43:
a) Không cần tính toán có thể khẳng định ngay các cặp phân số sau đây không bằng nhau, tại sao?
	 và ; và ; và 
b) Quy đồng mẫu các phân số: và ; , và 
Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ.
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ.
 Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng với b ạ 0 và a, b ẻ Z
* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:
 	- Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi phần là .
	- Nếu a > 0 thì số được biểu diễn bằng một điểm bên phải 0 và cách 0 một đoạn bằng a lần của .
	- Nếu a < 0 thì số được biểu diễn bằng một điểm bên trái điểm 0 và cách 0 một đoạn bằng |a| lần của .
2. Các bài toán:
Bài 44: Điền các ký hiệu N, Z, Q vào ô trống cho hợp nghĩa (trong mỗi trường hợp xét các khả năng có thể xảy ra).
a. 2000 ẻ 	b. -2000 ẻ 	c. ẻ 	d. ẻ 	
Bài 45: 
a. Tìm |x| , biết: x = -7; x = ; x = ; x = 0
b. Tìm x, biết:
	|x| = ; |x| = 0; |x| = ; |x| = 
Bài 46: Cho các số hữu tỷ: 
x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 
a. Hãy so sánh các số hữu tỷ đó.
b. Viết tập hợp các số hữu tỷ bằng các số hữu tỷ trên.
Đ3. Thứ tự trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y ẻ Q; x = , y = (m > 0)
	x a < b
	x y > x
 ...  bậc?
	A = ;
	B = ;
	C = a là hằng số ;
	D = ;
	E = .
Bài 168: Các đơn thức sau có thể có cùng giá trị dương được không?
a) -3xy2 và 2x3y2 ; 	b) x2y3 , -xy2 và 16x5y .
	_________________________________________________________
Đ6. Đơn thức đồng dạng
1. Tóm tắt lý thuyết:
Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống nhau.
Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
2. Các bài toán:
Bài 169: Cho các đơn thức:
	ax2y ; -5ax2y4 ; -a2x2y .
	Hãy xét xem các đơn thức nào là đồng dạng, nếu:
a) a là hằng số; x, y là biến số.
b) x là hằng số; a, y là biến số.
c) y là hằng số; a, x là biến số.
d) a, x là hằng số; y là biến số.
e) a, y là hằng số; x là biến số.
g) x, y là hằng số; a là biến số.
Bài 170: Cho các biểu thức:
	x2y3 ; 2ax2y3 ; (a + 1)x2y3 ; y3 ; x2 .
a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đơn thức và các đơn thức có đồng dạng không?
b) Cũng hỏi như trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; Nếu a, y là hằng số, x là biến số.
Bài 171: Tính:
a) (92x3y + 51x3y) - (105x3y - 7x3y) .
b) xy2z3 + xy2z3 - 6xy2z3 với a là hằng số khác 0. Xác định a để kết quả thu được luôn đồng nhất 0 với mọi x, y, z.
Bài 172: Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) [-a5(-a)5]2 + [-a2(-a)2]5 = 0 .
	b) (-1)n an + k = (-a)n ak .
	________________________________________________________
Đ7. Đa thức nhiều biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức nhiều biến x, y, ... , z là một biểu thức nguyên trong đó các chữ x, y, ..., z là các biến.
Thu gọn đa thức: mọi đa thức nhiều biến đều có thể thu gọn thành tổng đại số của nhiều đơn thức từng đôi một không đồng dạng với nhau.
Bậc của đa thức đã được thu gọn:
- Bậc của đa thức một biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến đó.
- Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với tập hợp các biến.
2. Các bài toán:
Bài 173: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức:
a) axy + x - xy(x + y) (a là hằng số; x, y là biến số).
b) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
c) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
d) (y là hằng số; a, x, z là biến số).
e) ab2xy + + x2 + y2 (x, y là hằng số; a, b là biến số) .
Bài 174: Hãy viết các đa thức sau đây dưới dạng tổng các đơn thức. Thu gọn trong trường hợp có các đơn thức đồng dạng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 - a (a là hằng số).
b) xy(x2 + y2 + 1) - 3x3y + 3xy3 - 3y(x + y) .
c) 3x(x2y + xy2) -7xy(x2 - y2) + 2x2y2 - 3xy3 .
Bài 175: Tìm bậc của đa thức sau đối với mỗi biến x, y, z và đối với tập hợp các biến:
a) 6x7 - 15x2y3z5 - 2000xy3 - 7y6 + z8 .
b) xy3 - x4 + 3x2y4 + 12y5 - 9z8 - y2z5.
c) 3x2y3 - 2xy2(x2 + y2) + xz2.
Bài 176: Cho đa thức Q = 2(x + 1) - |x + 5|
a) thu gọn đa thức Q.
b) Với giá trị nào của x thì Q = 4?
Bài 177: 
a) Tìm giá trị của đa thức biết x + y = 0
	3x2y + 3xy2 + 5x3y2 + 5x2y3 + 2.
b) Cho a, b, c là những hằng số sao cho a + b + c = 2000.
	Tìm giá trị của đa thức sau với x = 1; y = 1; z = 1.
	axy3z2 + bx3z + cxyz.
	_______________________________________________________
Đ8. Cộng và trừ đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Để cộng hai đa thức ta viết các số hạng cùng với dấu của chúng kề nhau rồi thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
Để tìm hiệu hai đa thức ta viết các số hạng của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết các số hạng của đa thức thứ hai với dấu ngược lại dấu của chúng sau đó thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có).
2. Các bài toán:
Bài 178: Cho các đa thức:
	M = 3x2 - 2y - 2 ; N = x2 + 2y + 1 ; P = 1 - 4x2 .
Tính a) M + N + P ; 	b) M + N - P ;	c) N - P .
Bài 179: Cho 	x + y - z = a - b
	x - y + z = b - c
	-x + y + z = c - a
	Chứng minh rằng: z + y + z = 0 .
Bài 180: Cho hai đa thức : P = 3m2 + 2mn - 4n2
	Q = -2m2 - 2mn + 5n2 .
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m và n để hai đa thức cùng có giá trị âm.
Bài 181: Cho hai đa thức A = 5x + y + 1 ; B = 3x - y + 4. Chứng minh rằng nếu x = m; y = n với m ẻ Z, n ẻ N thì P = A.B là một số chẵn.
Bài 182: Chứng minh rằng nếu x + y + 1 = 0 thì giá trị của các đa thức sau là hằng số:
a) M = x3 + x2y - x y2 - y3 + x2 - y2 + 2x + 2y + 3.
b) N = x3 + 2x2y + xy2 + x2 + xy + x + y + 5.
	_________________________________________________________
Đ9. Đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Đa thức một biến là đa thức trong đó chỉ có chứa một chữ là biến.
Đa thức một biến sau khi thu gọn các số hạng đồng dạng ta có thể sắp xếp theo hai cách:
Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến.
- Bậc của đa thức f(x) là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến x.
- Một đa thức đã thu gọn, các đơn thức có mặt trong đa thức không đồng dạng. Hệ số của mỗi đơn thức này là lũy thừa của biến số trong đơn thức đó. Hệ số nằm trong đơn thức có số mũ cao nhất gọi là hệ số cao nhất.
2. Các bài toán:
Bài 183: Thu gọn và cho biết bậc của các đa thức sau:
a) x5 - x + 7x3 - 2x + x3 + 3x4 - x5 + x4 + 15 .
b) 3x2 - 10 + x3 + 7x - x2 + 8 + 7x2 .
Bài 184: Cho đa thức f(x) = ax + b. Tìm điều kiện của hằng số b để có:
	f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2 ẻ Q .
Bài 185: 
a) Cho đa thức ax2 + bx + c. Tìm giá trị của đa thức tại x = 1. Có nhận xét gì?
b) Tìm tổng của các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: (2 - 3x + x2)1999 . (2 + 3x + x2)2000 .
	________________________________________________________
Đ10. Cộng và trừ đa thức một biến
1. Tóm tắt lý thuyết:
Cộng trừ đa thức một biến ta có thể cộng trừ như đa thức nhiều biến.
Ngoài ra ta có thể sắp xếp đa thức cùng theo lũy thừa giảm hoặc tăng của biến và đặt phép tính như trường hợp cộng hoặc trừ các số.
2. Các bài toán:
Bài 186: Tính tổng f(x) + g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm:
a) 	f(x) = 2 + 4x + 6x3 + 8x5 + 10x7 .
	g(x) = 1 + 3x2 + 5x4 + 7x6 + 9x8 .
b) 	f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 ;
	g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bn - 1xn - 1 + bnxn .
Bài 187: Tính hiệu f(x) - g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng:
a)	f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 ;
 	g(x) = 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1.
b) 	f(x) = a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an - 1xn - 1 + anxn ;
	g(x) =anx + an - 1x2 + an - 2x3 + ... + a2xn - 1 + a1xn .
Bài 188: Cho đa thức P(x) là một đa thức bậc bốn:
	P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 .
	Sao cho P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2). Chứngminh rằng P(x) = P(-x) với mọi x ẻ Q.
Bài 189: Cho đa thức : f(x) = ax2 + bx + c, biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh rằng f(-2).f(3) Ê 0 .
	________________________________________________________
Đ11. Nghiệm của một đa thức
1. Tóm tắt lý thuyết:
Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x).
Một đa thức có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ... hoặc không có nghiệm nào.
Số nghiệm của đa thức khác 0 không vượt quá bậc của đa thức đó.
2. Các bài toán:
Bài 190: tìm nghiệm của đa thức:
a) 3x2 - 2x + 1	;	b) x3 -4x	;	c) 2x2 + 2x + 1 .
Bài 191: 
a. Cho các đa thức : f(x) = x2 - 4x + 3
	 g(x) = 3x2 - 4x + 1
	 h(x) = -x2 - 2x + 3
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của ba đa thức trên. Hãy tìm nghiệm còn lại của mỗi đa thức.
b. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax2 + bx + c nếu có a + b + c = 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức đó.
Bài 192: Chứng minh rằng đa thức 
	ax2 + bx + c với a ạ 0
	 Không thể có ba nghiệm khác nhau.
	_________________________________________________________
Ôn chương IV
Bài 193: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c.Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) bằng 1 khi x = 1998 và bằng 2 khi x = 2000.
 Bài 194: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	 (a < b)
Bài 195: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với mọi x, y ta đều có
a. ac + b2 - 2x4y4 = 0	b. ay2 + cx2 = 2xyb
c. abc + b3 ³ 0
Bài 196: Cho đa thức M = 1 + x + x2 + ... + x1999
Chứng minh rằng : Mx - M = x2000 - 1.
Bài 197: Cho đa thức :
	f(x) = x17 - 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 + ...+ 2000x - 1
Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
Bài 198: Cho f(x) là một đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn : xf(x + 1) = (x2 - 4) f(x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
Bài 199: Cho đa thức N = 2x (1 - x - y) - y2 + 2
a. Chứng minh rằng N = - (x + y)2 - (x - 1)2 + 3
b. Với giá trị nào của x, y thì N có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị đó.
Bài 200: Chứng minh rằng với mọi giá trị cue x, y, z giá trị của đa thức :
	A = xy + yz + zx không vượt quá giá trị của đa thức B = x2 + y2 + z2.
Phần thứ hai:
Hình học
Chương I:
Bổ sung về đoạn thẳng, góc, tam giác
Đ1. Trung điểm của đoạn thẳng
1. Tóm tắt lý thuyết:
A
M
B
Hình 1
Trung điểm của một đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu đoạn thẳng ấy. (H. 1)
M là trung điểm của đạon thẳng AB Û Û 
Trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng có một đầu là đỉnh của tam giác, một đầu là trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh trên.
2. Các bài toán:
Bài 201: Chứng minh rằng nếu có ba điểm A, I, B mà IA = IB = thì I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 202: Chứng minh rằng nếu có ba điểm A, B, M thẳng hàng và MA = MB thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 203: Cho một điểm C nằm trên đoạn thẳng AB. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CB.
a) Chứng minh điểm C nằm giữa hai điểm A và I.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AI nếu AB = 10cm và AC = 4cm.
Bài 204: Cho đoạn thẳng Ab và một điểm C của đoạn thẳng này. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AC và K là trung điểm của đoạn thẳng CB.
a) Chứng minh điểm C nằm giữa hai điểm I và K.
b) Tính độ dài đoạn thẳng IK nếu AB = 10cm, AC = 6cm.
Bài 205: Cho đoạn thẳng MN, P là điểm nằm giữa hai điểm M và n, Q và R lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng MP và PN. Biết QR = 3,5cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Bài 206: Cho 4 điểmA, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Giả sử AB = CD. Chứng minh :
a. AC = BD
b. AD và BC có chung trung điểm.
Bài 207: Trên tia Ox lấy hai điểm A, B sao cho OA = a, OB = b (b > a). Gọi I là trung điểm của AB. Tính OI. Cho b = 3a. Chứng minh rằng A là trung điểm của OI.
Bài 208: Trên hình cho biết :
	AB = AC = a
	AM + MN + NA = 2a
	BN = CD
Chứng minh : MN = MD.
Bài 209: Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD, trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC, trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CA = CF.
a. Tìm các tam giác nhận các cạnh của tam giác ABC làm trung tuyến.
b. Tìm các tam giác có trung tuyến mà một đầu là điểm D; điểm E; điểm F.
Đ2. Tia phân giác của góc
1. tóm tắt lý thuyết :
	* Tia phân giác của một góc
	 là tia nằm giữa hai cạnh của
 góc và tạo với hai cạnh của 
 góc ấy hai góc bằng nhau (H.9a)