Quy tắc tam giác đối với bài toán tính tổng của một dảy các phân số được viết theo quy luật

Trường THCS 
 Nghĩa Lâm 
 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2008 - 2009
Tên sáng kiến : 
QUY TẮC TAM GIÁC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TÍNG TỔNG CỦA MỘT DẢY CÁC PHÂN SỐ ĐƯỢC VIẾT THEO QUY LUẬT
I. Lí do chọn đề tài : 
 Trong chương trình toán lớp 6,7 có một số bài toán tính tổng của một dảy cộng , mà các số hạng của nó là những phân số được viết theo một quy luật nhất định .
 Đây là những bài toán hay giúp ích nhiều cho học sinh trong việc rèn luyện tư duy từ cụ thể đến phức tạp , từ rời rạc đến tổng hợp . Các bài toán loại này thuọc đối tượng học sinh khá giỏi , trong các kì thi học sinh giỏi tước đây ta thờng hay gặp . Trong quá trình dạy toán 6,7 tôi củng đã tìm hiểu , nghiên cưu nhiều về dạng bài toán này và đã tập hợp từ nhiều bài toán rời rạc thành một số bài toán mang tính hệ thống , từ bài toán đơn giản đến bài toán phức tạp .
 Tôi đã đưa ra một cách giải " Chuẩn '' bằng một quy tắc mà tôi tự gọi là ''Quy tắc tam giác "
II. Nội dung 
A ,Lý thuyết : 
 Quy tắc tam giác là gì : Trong quá trình nghiên cứu , tôi đã chứng minh 
được mệnh đề sau Với a,b,c ẻ N* . N ếu b + a = c thì 
Chứng minh: Ta có: (1)
Từ giả thiết c = b + a ị a = c - b (2) . T ừ (1) v à (2) 
v ậy : Với a,b,c ẻ N* . N ếu b + a = c thì (Mệnh đề này tôi tạm gọi là qui tắc tam giác ) 
B. Vận dụng quy tắc tam giac để giãi các bài toán tinh tổng cua một dảy cộng mà các số hạng là những phân phân số được viết theo một quy luật nhất định .
1 . Ví dụ : Thu gọn các tổng sau : 
 1, A = với n = (1;2;3;4;...)
2, B = với n = (1;3;5;7;...)
3, C = . với n = (1;4;7;...) 
 4, D = với n = (1;5;9;...)
	Bài giải
 Ta cónhận xét sau cả 4 bài toán trên các số hạng đều có ‘qui tắc tam giác’ : thừa số thứ nhất cộng với tử số bằng thừa số thứ hai ở mẩu (b + a = c) . Vậy ta áp dụng quy tắc tam giác để giải các bài toán này 
1, A = 1- = 
 =
2, B = = = 
3, C = = =
4, D = = =
Như vậy những bài toán đã có sẳn qui tắc tam giác thì vạn dụng trực tiếp qui tắc này để giải .
2 . Các bài toán xuất phát từ 4 bài toán trên :
 * Trường hợp 1 :Bài toán 1 – 1
Nếu a + b > c thì sao ? 
Trong trường hợp này ta phải đặt thừa số chung để giải quyết vấn đề a+b>c làm thế nào để tạo a/ sao cho b+a/ = c.
Ví dụ tính tổng : A= 
 2() = 2()
Ta nhận thấy phần ở trong dấu ngoặc là bài toán 1 
 Vậy A = 2()
Trường hợp 2 : Nếu a+b < c thì sao 
Ta củng phải tạo ra quy t ắc tam giac . Bằng cỏch biến đổi để cú : b+a/ = c 
Vớ dụ : Tớnh tổng B = với n = (1,3,5,7,...)
kiểm tra quy tắc 1=1=2<3, 3=1=4<5, 5=1=6<7 ...
Để tạo ra quy tắc tam giỏc ta nhõn cả hai vế với 2 ta cú 
 2.B = 2= 
 2B = = B = 
Đõy thực chất là bài toỏn 2.
Ta cú thẻ phỏt biểu bài toỏn này dưới dạng khỏc : thực hiện cỏc phộp tớnh ở mẩu số ta cú bài toỏn sau :
 Tớnh tổng B= 
để giải bài học lại phải đưa về bài toỏn 2 
3 . Một số bài toỏn phức tạp hơn : 
1, Tớnh tổng sau :
 A = kiểm tra quy tắc tam giỏc ta thấy 
1+4=5<7, 7+4=11<13, 13+4=17<19 ... n+4<n+6 vậy chưa có quy tắc tam giỏc 
Bõy giờ ta phải tạo a/ sao cho b + a/ = c . Ở đõy ta cần phải có tử số là 6 thỡ mới cú quy tắc tam giỏc .
Như vậy ta cần nhân hai vế với 1,5 
 Ta có : 1,5.A = 1.5()
 = đến đây ta thấy có quy tắc tam giác (bài toán đã đưa về dạng cơ bản ) 
 2, Tìm x biết : đầu tiên ta nhìn thấy hơi khó 
 Giải
Nhân tử và mẩu của các phân số ở vế trái với 2 ta có 
 1+
 2() = (đây chính là bài toán 1)
Ap dụng quy tắc tam giác vào đây ta có 
 2(1 - ) = 
 (Năm học này là 2008—2009) ta có thể thay để có bài 
 toán phù hợp
III. Kết quả áp dụng 
 Trong nhiều năm giảng dạy , tôi đã áp dụng đề tài này cho học sinh khối 6,7 các em tiếp thu rất tốt , rất hứng thú say mê . nhiều em đã tỏ ra say mê , tự mình ra được các đề toán hay , tôi thường nói đùa với các em là chúng mình đã tốt nghiệp dạng toán này rồi .
 Trên đây là nội dung của “quy tắc tam giác” . Tôi đã trình bày một cách hết sức ngắn gọn , chắc sẻ không tránh phần sai sót đặc biệt là vấn đề tin học bản thân còn hết sức ấu trỉ . Kính mong được các đồng nghiệp góp ý chân thành .
 Nghĩa Lâm ngày 24/04/2009
 Binhdangthuc@yahoo.com.vn