Sáng kiến kinh nghiệm Vẽ thêm yếu tố phụ là sự “sáng tạo nghệ thuật” tuỳ theo yêu cầu bài toán

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Thế giới chung quanh chúng ta là thế giới hình học.”
Viện sĩ A.D.Alecxandrow đã chỉ ra như vậy và ông cũng nêu rõ các nhiệm vụ của môn hình học ở trường phổ thông: hình học về bản chất là sự thống nhất trí tưởng tượng sinh động và lôgíc chặt chẽ; vì vậy dạy học hình học phải kết hợp logic và trực quan; hình học bắt nguồn từ thực tế và ứng dụng vào thực tế nên việc dạy học hình học phải liên hệ chặt chẽ với các môn học khác, với mỹ thuật, với kiến trúc
 Trong trường phổ thông, hình học 7 là sự tiếp nối và phát triển các kiến thức mở đầu của hình học 6, lâu nay theo đánh giá chung là “nặng” nhất so với phân môn hình học ở cấp THCS. Trong việc dạy học hình học 7 không thể tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh- một cách rất hay và cũng rất khó.
Trên thực tế việc dạy các nội dung có vẽ thêm yếu tố phụ là rất khó khăn, cả về phía giáo viên lẫn học sinh. Nếu giáo viên làm không tốt việc phân tích tại sao phải làm như vậy thì ngay cả học sinh khá, giỏi cũng chỉ “lơ mơ” về việc làm đó, thực hiện một cách thụ động mà không biết phân tích, tìm cơ sở cho việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Chính vì lẽ đó khi dạy hình học 7 giáo viên cần cho học sinh tiếp cận, làm quen, hiểu được mục đích, cũng như cách thức thực hiện và việc vận dụng vào các tình huống cụ thể khi đưa thêm yếu tố phụ vào hình vẽ.
“Vẽ thêm yếu tố phụ không theo một qui tắc chung nào, mà đó là sự sáng tạo “nghệ thuật” tuỳ theo yêu cầu bài toán, nó giúp:
 -Giải được một số bài toán hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ có thể sẽ bế tắc.
 -Trình bày lời giải một số bài toán hình học hay hơn, gọn hơn. 
 -Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức còn hạn chế, mặc dù sau này khi học đến có thể là đơn giản.
Trong khuôn khổ này tôi chỉ nêu một số ví dụ khi giảng dạy các nội dung có vẽ thêm yếu tố phụ trong SGK toán 7 - phân môn hình học.
PHẦN II: NỘI DUNG 
Ví dụ 1( bài 57 SGK tập 1 – Trang 104).
Cho hình 39( a//b), hãy tính số đo x của góc O.
Hưỡng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với a đi qua điểm O. 
Đây là bài tập đầu tiên trong SGK mà muốn giải được phải vẽ thêm yếu tố phụ. Chính vì vậy, sau khi nêu đề bài, người viết sách đã chủ ý đưa thêm phần hướng dẫn để học sinh làm quen. 
Thiết nghĩ, khi ôn tập (bài này nằm trong tiết 14 - 15 ôn tập chương I), giáo viên nên chọn bài này và cần thiết phải giới thiệu qua về phương pháp để học sinh được tiếp cận, bởi vì ở các bài tập sau này ( hoặc để chứng minh các định lý, tính chất) thì không có ( hoặc rất hiếm khi) còn có thêm phần hướng dẫn như trong bài toán trên. 
Trong khi hướng dẫn học sinh trình bày lời giải, phải làm thế nào để học sinh nêu rõ cách vẽ thêm yếu tố phụ trong lời giải của bài toán.
Giải: Vẽ đường thẳng c đi qua O và song song với đường thẳng a.
Do có a // b (gt)
Và a // c (cách vẽ )
Suy ra c // b ( tính chất 3 đường thẳng song song)
Vì a // c suy ra Ô1 = 380 (hai góc so le trong)
Vì c // b suy ra Ô2 + 1320 = 1800 ( hai góc trong cùng phía )
Suy ra Ô2 = 1800 - 1320 = 480
Mặt khác Ô1 + Ô2 = x nên x = 380 + 480 = 860.
Sau bài này có thể đưa ra các bài tập tương tự cho học sinh làm về nhà tuỳ theo từng đối tượng. 
Ví dụ:
Bài 1: ( Cho học sinh đại trà): 
Cho hình vẽ bên, biết mn // pq; OAn = 400 ; AOB = 900 .Tính OBq.
Bài 2: (Cho học sinh khá giỏi): 
Hình bên cho biết:	
 xAc = a0 , 
 yBc = b0, ACB = a0 + b0 .
Chứng minh rằng: Ax// By.
O
n
p
q
40o
m
	A
?
B
Ví dụ 2.Hướng dẫn chứng minh định lý: “Tổng ba góc của một tam giác bằng1800”. 
Việc chứng minh định lý này được hình thành qua việc cắt ghép hình theo ?2 SGK tập 1 trang 106.
?2
 Cắt một tấm bìa hình tam giác ABC, cắt rời góc B ra rồi đặt kề nó với góc A, cắt rời góc C ra rồi đặt kề nó với góc A như hình vẽ. Hãy nêu dự đoán về tổng các góc A, B, C của tam giác ABC. 
Việc cắt ghép theo gợi ý trên đã cho thấy: góc B ở vị trí mới so với vị trí cũ là hai góc so le trong; góc C cũng tương tự. Học sinh sẽ thấy được muốn có các góc so le trong thì phải làm thế nào.
Khi trình bày phần chứng minh định lý cũng nên trình bày mẫu mực như sách giáo khoa, nhưng để học sinh làm quen dần giáo viên chuẩn bị sẵn bảng phụ có ghi lời chứng minh chưa đầy đủ rồi yêu cầu học sinh hoàn thành bằng cách điền vào chỗ trống. Nội dung bảng phụ như sau: 
Hoàn thành chứng minh định lý bằng cách điền vào chỗ trống:
Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC
xy // BC B =. (hai góc so le trong)
xy // BC C =. (hai góc so le trong)
Từ trên suy ra:
BAC + B +C = BAC +  + =..
Ngoài cách vẽ đường phụ theo hướng dẫn trên, tuỳ theo từng điều kiện, từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể hướng dẫn thêm hoặc chỉ hướng dẫn theo cách thứ hai như trong gợi ý cắt ghép hình sau đây:
Trong cách này học sinh sẽ thấy vị trí mới và cũ của góc B là đồng vị của góc C là so le trong. Khi đã nắm chắc và hình dung được như vậy thì hướng chứng minh được mở ra. 
Chứng minh:
Kéo dài tia BA, qua A vẽ đường thẳng a song song với BC 
 a // BC B = A1 (hai góc đồng vị)
a // BC C =A2 (hai góc so le trong)
Suy ra A + B +C = BAC + A1 + A2 =1800.
Ngoài ra trong cách thứ hai này ta còn chứng minh được tính chất góc ngoài của tam giác: “ Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó”. Trong hình vẽ trên có: 
xAC = A1 + A2 = B + C.
Tuy vậy muốn kết hợp cả hai định lý trong chứng minh này thì phải giới thiệu định nghĩa góc ngoài trước.
Như vậy việc vẽ thêm yếu tố phụ không chỉ có một cách duy nhất, giống như có rất nhiều con đường đi đến một đích, mà trên mỗi con đường ấy đều có những cái hay, cái đẹp và những phát hiện lý thú khác nhau.
Ví dụ 3: Bài 38-SGK tập 1 trang 124.
Trên hình 104 ta có AB // CD, AC // BD. Hãy chứng minh : AB = CD; AC = BD. 
(sau khi học xong bài trường hợp bằng nhau 
g-c-g của tam giác).
Khi dạy phần này giáo thường nhắc học sinh: Để chứng các đoạn thẳng bằng nhau ta thường gắn chúng vào hai tam giác rồi tìm cách chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau. Vậy mà trên hình vẽ chưa có tam giác nào. Làm thế nào để xuất hiện các tam giác? Học sinh dễ dàng phát hiện ra: Chỉ cần nối A với D hoặc B với C. Đến đây ta thấy rằng việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể chỉ đơn giản là nối các điểm đã sẵn có trên hình vẽ như bài này.
Chứng minh: Nối A với D.
XétADC và DAB:
Có AB // CD 
 A1 = D1 (hai góc so le trong)
AD là cạnh chung
Có AC // BD A2 = D2 (hai góc so le trong)
 ADC = DAB (g-c-g)
 AB = CD (hai cạnh tương ứng) Và AC = BD (hai cạnh tương ứng).
Ví dụ 4: Hướng dẫn chứng minh định lý: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì đó là tam giác cân”.
Trong phần giới thiệu định lý có “ Mở ngoặc”: Xem bài tập 44. Như vậy trong tiết luyện tập (tiết 33, 34) giáo viên nên chọn bài tập 44 để chữa cho học sinh,và hơn nữa nên hướng dẫn học sinh kháI quát: “Nếu tam giác ABC có góc B bằng góc C thì AB = AC ”; hoặc nếu phát biểu được bằng lời văn thì càng tốt: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau”. Giáo viên cũng có thể giới thiệu: tam giác ABC như vậy được gọi là tam giác cân, chúng ta sẽ học ở tiết 35, để tạo sự hứng khởi, niềm vui đón chờ kiến thức mới ở học sinh.
Đến tiết 35, sau khi giới thiệu định nghĩa tam giác cân, cho học sinh nhắc lại kết luận đã khái quát của bài 44: “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó có hai cạnh bằng nhau”, nhưng thay cụm từ “tam giác đó có hai cạnh bằng nhau” bởi cụm từ “tam giác đó là tam giác cân”.
So sánh đề bài 44 và định lý 2 có thể thấy: Bài 44 là một định lý rất chi tiết để chứng minh định lý này.
Bài 44 ( SGK) trang 125.
Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C.Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh:
a) ADB = ADC;
b) AB = AC.
Định lý 2: 
A
C
B
“Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì đó là tam giác cân”.
Chứng minh:
Xét ADB và ADC có:
B = C (gt)
BAD = CAD (tính chất tia phân giác)
 BDA = CDA
AD là cạnh chung 
 ADB = ADC (g-c-g)
b) ADB = ADC (chứng minh trên)
 AB = AC (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh: Vẽ tia phân giác AD của góc A (D thuộc BC).
Xét ADB và ADC có:
B = C (gt)
BAD = CAD(tính chất tia phân giác)
 BDA = CDA
AD là cạnh chung 
 ADB = ADC (g-c-g)
 AB = AC (hai cạnh tương ứng).
 Vậy ABC cân tại A.
Cũng chú ý rằng muốn chứng minh định lý phải biết cách chuyển định lý với cách phát biểu bằng lời thành một bài toán với hình vẽ và các kí hiệu hình học cụ
thể. Giáo viên phải định hướng cho học sinh: Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta đi chứng minh hai cạnh bằng nhau. Bài 44 đã gợi ý điều đó, nhưng xét trên một phương diện nào đó điểm xuất phát và đến của bài 44 và định lý 2 là khác nhau.
Đối với giáo viên nên biết rằng có những cách chứng minh rất đơn giản không cần vẽ thêm yếu tố phụ, nhưng đối với học sinh để hiểu được nó là điều khó khăn. Chẳng hạn, định lý 2 trên đây được chứng minh như sau:
A
C
B
Chứng minh: Xét ABC và ACB có:
 B = C (gt)
BC = CB
C = B (gt)
 ABC = ACB (g-c-g)
 AB = AC (hai cạnh tương ứng)
Vậy ABC là tam giác cân.
Rõ ràng xét hai tam giác nhưng hình vẽ lại chỉ có một. Rất đơn giản nhưng cũng rất khó hình dung.
Trong trường hợp này vẽ thêm yếu tố phụ làm cho học sinh dễ hiểu bởi nó trực quan hơn, phù hợp với đặc điểm nhận thức của lứa tuổi. Mặt khác học sinh còn thấy được sự liên hệ, móc nối giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, thấy được ta có thể giải quyết được những vấn đề chưa biết bằng vốn kiến thức ít ỏi thông qua việc vẽ thêm yếu tố phụ, những vấn đề mà sau này khi đã học đến thì thật là đơn giản.
Ví dụ 5 Hướng dẫn chứng minh định lý: “Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn”.
Hoạt động trực quan của học sinh ở ?2 giúp cho học sinh hiểu được cách chứng minh của định lý này.
?2
 Gấp hình và quan sát: 
Cắt một tam giác bằng giấy có AC > AB (hình 1). Gấp tam giác ABC từ đỉnh A sao cho cạnh AB chồng lên cạnh AC để xác định tia phân giác AM của góc BAC. Khi đó điểm B trùng với điểm B’ trên cạnh AC (hình 2). Hãy so sánh góc AB’M với góc C.
Hình 1
Hình 2
Khi cho học sinh gấp hình giáo viên nên chú ý cho học sinh vuốt mạnh các nếp gấp AM, MB’ để khi mở hình rat a còn có thể nhìn rõ các nếp gáp như ở hình 3, đồng thời hướng dẫn học sinh đánh dấu các đoạn thẳng, các góc bằng nhau trên hình gấp.
Hình 3
Việc so sánh các góc AB’M và góc C là khá đơn giản, nhưng để chứng minh định lý thì không phải với học sinh nào cũng dễ dàng.
Sau khi làm xong nội dung ?2 phải dẫn dắt để học sinh phát biểu được định lý, chuyển nội dung định lý thành bài toán với hình vẽ và các kí hiệu hình học. Nhìn vào hình 3 học sinh có thể nêu được cách chứng minh (có thể nêu không được đầy đủ). Giáo viên sẽ là người hướng dẫn để chứng minh hoàn chỉnh định lý.
Chứng minh ( SGK - tập 2 trang 54 ):
Trên AC lấy B’ sao cho AB’ = AB.
Do AC > AB nên B’ nằm giũa A và C. 
Kẻ tia phân giác AM của góc A (M )
Hai tam giác ABM và AB’M có : 
AB = AB’ ( theo cách lấy điểm B’ )
 BAM = CAM (vì AM là tia phân giác góc A)
AM là cạnh chung
 ABM = AB’M (c-g-c)
 AB’M = B ( hai góc tương ứng ) (1)
Lại có AB’M là góc ngoài của MB’C nên theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có AB’M > C ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra B > C .
Đây là tiết học lí thuyết, trọng tâm không phải là cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không vì thế mà bỏ qua cách thực hiện để có thể chứng minh định lí, bởi một lẽ là nó không có sẵn mà ta phải “vẽ thêm”.
Sau khi chứng minh định lí có thể giới thiệu ngay bài tập 7 SGK ( 56) để học sinh về nhà chứng minh định lí bằng cách khác theo gợi ý của bài này. 
Bài 7: Một cách chứng minh khác của định lí 1.
Cho tam giác ABC với AC > AB. Trên tia AC lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB.
a) Hãy so sánh góc ABC với góc ABB’;
b) Hãy so sánh góc ABB’ với góc AB’B;
c) Hãy so sánh góc AB’B với góc ACB;
Từ đó suy ra ABC > ACB.
Chứng minh :
Lấy B’ trên tia AC sao cho AB’ = AB
a) Vì AC > AB nên B’ nằm giữa A và C .Suy ra tia BB’ nằm giữa hai tia BA và BC. Ta có:
ABC = ABB’ + B’BC
 hay ABC > ABB’. (1) 
B’
C
B
A
b)tam giác ABB’ có AB = AB’( theo cách lấy điểm B’) nên là tam giác cân tại A.
Suy ra: ABB’ = AB’B ( hai góc ở đáy ). (2)
c)Từ (1) và (2) suy ra ABC > AB’B. (3)
Nhưng AB’B là góc ngoài của tam giác BB’C nên theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có: 
 AB’B > C. (4)
Từ (3) và (4) suy ra ABC > C.
Ví dụ 6: Hướng dẫn chứng minh định lí : “Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại”. 
Trong các ví dụ trên, trước khi chứng minh định lí, tính chất thường có các hoạt động trực quan như cắt, ghép, gấp hình, hoặc giới thiệu bài tập tương tự đã làm trước đó, còn ở bài này hoạt động trên do giáo viên tự thiết kế. Giáo viên vừa là người xây dựng “kịch bản” vừa là người “biên đạo” kiêm luôn “diễn xuất”.
 Ta đã áp dụng những cách vẽ đường phụ như sau:
-Nối hai điểm sẵn có trên hình để tạo ra một cạnh chung của hai tam giác 
( VD 3 ).
-Vẽ đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước ( VD1, VD2 ). 
-Vẽ tia phân giác của một góc ( VD4 ).
- Trên một tia, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước ( VD5 ).
_...
Có thể thấy cách “trên một tia, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước” khó hơn các cách đã nêu. Khó nữa là việc phân tích, định hướng như thế nào để bài chứng minh được nhẹ nhàng, tự nhiên, học sinh không cảm thấy bị “ép”. Ý tưởng sau đây là hoạt động trực quan dẫn dắt chứng minh định lí trên.
Giáo viên dùng một tam giác ghép bởi ba thanh kim loại gắn trên bảng từ (hình 1). Các đỉnh A,B được bắt vít, đỉnh C đã tháo rời vít. Quay đoạn AC theo hướng mũi tên đến điểm D sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng (hình 2). Dùng phấn tô đoạn thẳng AC và nối C với D (hình 3).
D
C
B
A
D
C
B
A
C
A
B
Hình 2
Hình 3
Hình 1
Yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau ( bảng phụ):
a) Tam giác ADC là tam giác gì?
b) So sánh góc D với góc BCD?
c) Trong tam giác, góc và cạnh đối diện có mối liên hệ như thế nào?
d) So sánh cạnh BD và cạnh BC?
 e) Rút ra kết luận gì về mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác ABC?
Từ đó hãy nêu cách chứng minh định lí.
Chứng minh: 
Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC (hình 3).Trong tam giácBCD, ta sẽ so sánh BD với BC.
Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên BCD > ACD. (1)
Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên 
 ACD = ADC = BDC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
 BCD > BDC (3)
Trong tam giác BDC, từ (3) suy ra:
AB + AC = BD > BC ( theo định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác).
Hai bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự.
Cũng tương tự như ví dụ 5, sau khi chứng minh định lí, giáo viên nên giới thiệu bài tập 20-SGK tập 2 trang 64.
Bài 20 SGK tập 2 trang 64: ( Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức trong tam giác):
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC).
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông để chứng minh AB + AC > BC.
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức còn lại.
Với học sinh trung bình chỉ cần chứng minh được yêu cầu bài này là đủ, còn với học sinh khá giỏi cần hướng dẫn các em trình bày thêm phần (*) để bài toán trở thành cách 2 trong chứng minh định lí trên.
Chứng minh: Giả sử tam giác ABC có cạnh BC là cạnh lớn nhất ta có BC > AB; BC > AC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). (*)
Trong tam giác vuông ABH có BH < AB (BH là cạnh huyền)
Trong tam giác vuông ACH có HC < AC (HC là cạnh huyền) 
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta có: 
BH + HC < AB +AC hay BC < AB +AC.
Từ BC > AB ta có BC + AC > AB
Từ BC > AC ta có BC +AB >AC. 
A
C
H
B
Càng về sau, bài tập cần vẽ thêm yếu tố phụ càng phong phú, càng nhiều cách vẽ. Có đièu kiện nên cho bài tập vào các tiết học buổi 2 để học sinh được luyện tập nhiều hơn.
 Bài 30 SBT toán 7 tập 2 trang 27.
 Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng
 AM < (AB +AC) : 2.
A
B
C
M
D
Chứng minh: Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
AM = MD ( theo cách vẽ)
AMB = CMD (hai góc đối đỉnh)
MB =MC (giả thiết)
 AMB = DMC (c-g-c)
Suy ra AB = CD (hai cạnh tương ứng) 
Trong tam giác ACD có AD < AC + CD nên AD <AC +AB
Vì AD = 2 AM nên 2AM < AC +AB hay AM < (AB +AC) :2
Bài 47 SBT toán 7 tập 2 trang 29.
Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Chứng minh:
Cách 1: Kéo dài AM đoạn MD = AM.
Xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
AM = DM (cách vẽ)
AMB = CMD (đối đỉnh)
 MB =MC (giả thiết) 
 AMB = DMC (c-g-c)
 A1 = D (hai góc tương ứng) (1)
Và AB = CD (hai cạnh tương ứng) (2) 
B
M
C
A
DS
Do AM là tia phân giác nên Â1 = Â2 (3)
Từ (1) và (3) ta thấy A2 = D , suy ra tam giác ADC cân tại C, nên AC = CD (4)
 Từ (2) và (4) AB = AC . Vậy tam giác ABC cân tại A.
Cách 2: Kẻ MH AB, MK AC
Xét MHB và MKC có: BM =MC (giả thiết)
 AM là tia phân giác của góc A nên MH = MK
BHM = CKM = 900
A
C
M
B
H
K
 MHB = MKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 B = C (hai góc tương ứng)
 ABC cân tại A.
KẾT QUẢ
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên trong hai năm giảng dạy toán 7 tôi thu được những kết quả như sau:
Áp dụng kinh nghiệm: Học sinh nắm được phương pháp, hiểu,biết cách trình bày bài toán và làm được một số bài tập khó cần vẽ thêm yếu tố phụ.
Không áp dụng kinh nghiệm: Học sinh không nắm được phương pháp, trình bày bài toán một cách thụ động khi có hướng dẫn của giáo viên, không hiểu cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ và chỉ làm được một số bài tập đơn giản.
Kết quả của việc áp dụng những kinh nghiệm trên đây còn có thể nhận thấy được khi quan sát học sinh làm bài:
 “Bạn ơi! bài này có phải vẽ thêm yếu tố phụ không?’’
 “Thưa cô! có cần phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập này không?’’
Đó là tín hiệu đáng mừng, học sinh mỗi khi bế tắc trước hình vẽ thường tìm đến nó như một cứu cánh. Tuy nhiên cũng đừng nên lạm dụng vì có khi nó làm bài toán phức tạp hơn .
PHẦN III: KẾT LUẬN
Đề tài này có phạm vi áp dụng giảng dạy cho các đối tượng học sinh đại trà với trình độ phổ thông, chỉ mong rằng các em sẽ dành cho phương pháp này chỉ một góc nhỏ thôi trong trí nhớ.
Với kinh nghiệm còn ít ỏi nhưng với tinh thần trách nhiệm chúng hãy làm thế nào để những học sinh chưa yêu toán thì ít ra cũng phải thấy được toán học rất gần gũi, bởi ở quanh ta là thế giới hình học; để cho những học sinh đã yêu toán có thêm niềm đam mê hứng khởi khi khám phá thế giới hình học. Và biết đâu trong số các học sinh kia, có em nào đó sẽ trưởng thành nhờ duyên nợ với toán xuất phát từ những cách gấp hình, cắt, ghép hình. Từ chính bài giảng hôm nay của thầy.
Học sinh lớp 7 dễ quên nhưng cũng dễ nhớ nếu người thầy biết tác động một cách phù hợp. Hãy bằng cách riêng của mình để các em sau khi học xong lớp 7 phải nhớ được có phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học.
Nội dung này không nằm trong một bài, một chương mà nằm rải rác nên nó rất dễ bị lãng quên, học sinh cũng sẽ không biết, không nhớ nếu thầy không thường xuyên chỉ ra mỗi khi gặp nó. Vì vậy người thầy phải luôn luôn chủ đạo dẫn học sinh đi theo một cách chủ động, sáng tạo, bởi lẽ: vẽ thêm yếu tố phụ là sự “sáng tạo nghệ thuật” tuỳ theo yêu cầu bài toán.
 ngµy th¸ng n¨m 20
	Ng­êi thùc hiÖn
X¸c nhËn cña nhµ tr­êng
 HiÖu tr­ëng