Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

 Toỏn Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
  QUAN HỆ GIỮA GểC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Quan hệ giữa đường vuụng gúc và đường xiờn
 Định lý 1. Trong cỏc đường vuụng gúc và đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một 
 đường thẳng đến đường thẳng đú, đường vuụng gúc ngắn hơn mọi đường xiờn.
 AH ^ a ị AH < AC,AH < AD 
 2. Quan hệ giữa cỏc đường xiờn và cỏc hỡnh chiếu của chỳng
 Định lý 2. Trong hai đường xiờn kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường 
 thẳng đú:
 A
 a) Đường xiờn nào cú hỡnh chiếu lớn hơn thỡ lớn hơn.
 AH ^ a,HD > HC ị AD > AC. 
 b) Đường xiờn nào lớn hơn thỡ cú hỡnh chiếu lớn hơn. 
 D B H C a
 AH ^ a,AD > AC ị HD > HC.
 c) Nếu hai đường xiờn bằng nhau thỡ hai hỡnh chiếu bằng nhau; nếu hai hỡnh chiếu bằng 
 nhau thỡ hai đường xien bằng nhau. AB = AC Û HB = HC. 
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, kẻ AH  BC H BC . Trờn cỏc đoạn thẳng HD và 
 HC, lấy cỏc điểm D và E sao cho BD CE. So sỏnh cỏc độ dài AD, AE bằng cỏch xột hai 
 hỡnh chiếu.
 Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh Bc lấy cỏc điểm D và E sao cho 
 BD DE EC. Gọi M là trung điểm của DE.
 a. Chứng minh AM  BC b. So sỏnh cỏc độ dài AB,AD,AE,AC. 
 à à
 Bài 3: Cho DABC cú B < C , D nằm giữa A,C ( BD khụng vuụng gúc với AC). Gọi E, F 
 là chõn cỏc đường vuụng gúc kẻ từ A, C đến đường thẳng BD. So sỏnh AE + CF với AB 
 và AC.
 Bài 4: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC, 
 điểm D thuộc cạnh BC (D khỏc H). Chứng minh rằng AH AD AB. 
 Bài 5: Cho tam giỏc ABC khụng vuụng. Kẻ BD vuụng gúc với AC tại D, kẻ CE vuụng 
 gúc với AB tại E. Chứng minh rằng BD CE AB AC. 
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 1 Toỏn Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Bài 6: Cho DABC vuụng tại A, M là trung điểm BA. Vẽ AI ^ MC tại I, BK ^ MC tại 
 K. Chứng minh:
 CI + CK
 a. AB + AC > 3BK b. AC < < BC 
 2
 ả
 Bài 7: Cho DMNP cú M = 90° , I là điểm nằm giữa N, P.
 a) Chứng minh MI bộ hơn ớt nhất một trong 2 cạnh gúc vuụng.
 b) Vẽ MH ^ NP tại H . Trờn cạn NP lấy điểm E sao cho NE = NM , trờn cạnh MP lấy 
 điểm F sao cho MF = MH . Chứng minh DMHE = MFE 
 c) Chứng minh rằng trong một tam giỏc vuụng tổng độ dài hai cạnh gúc vuụng nhỏ hơn 
 tổng độ dài cạnh huyền và chiều cao tương ứng.
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 2 Toỏn Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: Đường xiờn AB AC nờn hỡnh chiếu HB HC. 
 Ta lại cú BD CE nờn HD HE. Hỡnh chiếu HD HE nờn 
 đường xiờn AD AE. 
 Bài 2: a) AMB AMC c.c.c ãAMB ãAMC . 
 Ta lại cú ãAMB ãAMC 1800 suy ra ãAMB 900. 
 Vậy AM  BC. 
 b) Hỡnh chiếu MD ME nờn đường xiờn AD AE . Hỡnh 
 chiếu MD MB nờn đường xiờn AD AB . Ta cú 
 AD AE AB AC
 Bài 3: Vỡ DEDA vuụng tai E nờn AD > AE (1)
 Vỡ DCFD vuụng tại F nờn CD > CF (2)
 A
 Cộng theo vế (1)và (2)ta được 
 AD + CD > AE + CF hay AC > AE + CF 3 F
 ( ) D E
 à à C
 Mặt khỏc DABC; B < C ị AC < AB (4) B
 A
 Từ (3)và (4) suy ra AB > AC > AE + CF .
 Bài 4: Ta cú AH AD (quan hệ đường vuụng gúc, đường xiờn).
 Nếu D thuộc đoạn HC HD HC, do đú AD AC AB. 
 Nếu D thuộc đoạn HB HD HB AD AB. B H D C
 Bởi vậy AH AD AB. 
 Bài 5: 
 A
 DABD vuụng tại D nờn BD AB 
 D
 DAEC vuụng tại E ,CE AC.
 E
 Do đú BD CE AB AC.
 B C
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 3 Toỏn Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Bài 6: 
 a) Chứng minh được DKMB = DIMA (cạnh huyền – gúc nhọn) ị AI = KB;IM = MK 
 DKMB vuụng tại K ị BK < BM 1 
 ( ) C
 DAIM vuụng tại I ị AI < AM (2)
 Cộng theo vế của (1)và (2)được AI + BK < BM + AM 
 ị AI + BK < AB ị 2BK < AB (3) I
 A M B
 Vỡ DIAC vuụng tại I nờn AI < AC ị BK < AC (4)
 K
 Cộng theo vế cuả (3)và (4)được AB + AC > 3BK 
 IK CI + (CI + IK ) CI + CK
 b) DAMC vuụng tại M cú AC < CM = CI + IM = CI + = = 
 2 2 2
 (5)
 ỡ
 ù IC < AC
 DAIC;DABC lần lượt vuụng tại I, A ị ớ ị IC < BC 6
 ù AC < BC ( )
 ợù
 Mặt khỏc DBKC vuụng tại K nờn CK < BC (7)
 CI + CK
 Cộng theo vế của (6)và (7)được < BC (8)
 2
 CI + CK
 Từ (5)và (8)suy ra AC < < BC (đpcm).
 2
 Bài 7: 
 ã
 a) Giải sử I thuộc NH khi đú MIH 90° 
 DMIN cú MIN > 90° suy ra MN > MI 
 M
 Tương tự nếu I thuộc NP suy ra MP > MI . 
 Vậy MI bộ hơn ớt nhất một trong 2 cạnh gúc vuụng.
 F
 ã ã ã
 b) Ta cú HMF = MNH (cựng phụ NMH )
 S
 N P
 DMNE cõn tại N. DMHF cõn tại M lại cú I H E
 HãMF = MãNH
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 4 Toỏn Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 ã ã
 Suy ra cỏc gúc ở đỏy bằng nhau: ị MEH = MHF 
 ã ã ã ã
 Cú MHF + FHE = 90° Û MEH + FHE = 90°
 ã ã ã
 Gọi S là giao điểm của ME và HF, DHSE cú SEH + SHE = 90°suy ra HSE = 90° hay 
 ME ^ HF tại S
 DHMS = DFMS ( cạnh huyền – cạnh gúc vuụng)
 Suy ra HS = SF 
 DHSE = DFSE (cạnh – gúc – cạnh). Suy ra HE = FE 
 DMHE = DMFE (cạnh – cạnh – cạnh) 
 c) Ta cần chứng minhAB + AC < BC + AH . Đặt BC = a;AB = c;AC = b;AH = h 
 Giải sử b + c < a + h
 Bỡnh phương 2 vế ta cú 
 2 2 A
 (b + c) < (a + h)
 b
 2 2 2 2
 ị b + c + 2bc < a + h + 2ah c
 h
 ị (b2 + c2)- a2 + 2bc - 2ah < h2 
 B C
 (pitago và 2bc = 2ah = SDABC ) H
 a
 ị 0 < h2 (luụn đỳng)
 Vậy b + c < a + h là đỳng hay (đpcm)
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 5