Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 6: Tính chất ba đường phân giác trong tam giác

 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 Bài 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lý 1: Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh 
đồng thời cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.
Xét VABC có
 VABC cân tại A và B· AD = D· AC Þ BD = DC .
2. Định lý 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua 
một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Trong hình bên, ta có
 µ µ µ ¶ µ ¶
 A1 = A2,B1 = B2,C1 = C2 Þ ID = IE = IF .
Nhận xét: Điểm chung của ba đường phân giác của một tam giác 
cách đều ba cạnh của tam giác và được gọi tâm đường tròn nội 
tiếp tam giác đó.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh định lý thuận và đảo của đường phân giác trong tam giác
 ▪ Dựa vào tính chất đường phân giác của một góc; của hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho VABC và điếm I nằm trong tam giác sao cho điểm I cách đều ba cạnh của VABC
. Chứng minh rằng điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Lời giải
Kẻ IK  AB;IH  BC;IL  AC
Ta có IK  AB;; IH  BC .
 I cách đều hai cạnh AB;BC .
Suy ra I thuộc đường phân giác của góc A (định lí) (1)
Ta có IH  BC;IL  AC
 I cách đều hai cạnh AC;BC .
Suy ra I thuộc đường phân giác của góc C (định lí) (2)
Ta có IK  AB;IL  AC
 I cách đều hai cạnh AB;AC . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Suy ra I thuộc đường phân giác của góc A (định lí) (3
Từ (1) và (2) và (3) Suy ra HK HLF .
Suy ra I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Ví dụ 2. Cho VABC . Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh 
rằng điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
Kẻ IK  AB;HI  BC;IL  AC
Ta có IK  AB;; HI  BC .
 BI là phân giác của A· BC .
Suy ra IK HI (định lí) (1)
Ta có HI  BC ; IL  AC .
CI là phân giác của B· CA .
Suy ra HI HL (định lí) (2)
Từ (1) và (2) Suy ra IK HI IL .
Suy ra I cách đều ba cạnh của tam giác ABC .
Dạng 2: Dựng hình theo yêu cầu bài toán
 ▪ Dựa vào cách dựng đường phân giác của một góc.
Ví dụ 3. Nêu cách dựng điểm K ở trong tam giác ABC sao cho khoảng cách từ điểm K đến ba 
cạnh của tam giác đó đều bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Lời giải
Dựng đường tròn (B;r ) cắt AB;BC lần lượt tại H;K .
Dựng đường tròn (H;r ) cắt đường tròn (K ;r ) tại I .
Nối BI .
Dựng đường tròn (C;r1) cắt AC;BC lần lượt tại E;F .
Dựng đường tròn (E;r1) cắt đường tròn (F;r1) tại D .
Nối CD .
 K là giao điểm của BI và CD . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 4. Cho VABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , BC , CA . Nêu cách dựng 
điểm K cách đều ba cạnh của VMNP .
Lời giải
Dựng đường tròn (M ;r ) cắt MP;MN lần lượt tại H;K .
Dựng đường tròn (H;r ) cắt đường tròn (K ;r ) tại I .
Nối MI .
Dựng đường tròn (N;r1) cắt NM ;NP lần lượt tại E;F .
Dựng đường tròn (E;r1) cắt đường tròn (F;r1) tại D .
Nối CD .
 K là giao điểm của BI và CD .
Dạng 3: Tính số đo góc
 ▪ Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc.
 ▪ Tính chất ba đường phân giác trong của một tam giác cùng đi qua một điểm.
 ▪ Tính chất tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.
Ví dụ 5. Cho VABC có B· AC a . Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc Bˆ và 
Cˆ . Tính số đo góc B· IC theo a .
Lời giải
Ta có BI là phân giác của A· BC .
 1
Suy ra I·BC  A· BC .
 2
Ta có CI là phân giác của B· CA .
 1
Suy ra I·CB  B· CA .
 2
 1 1
Xét VIBC có: B· IC I·BC I·CB 180 B· IC  A· BC  B· CA 180
 2 2
 1 1
 B· IC  (A· BC B· CA) 180 B· IC 180  (A· BC B· CA)
 2 2
 1 1
 B· IC 180  (180 B· AC) B· IC 90  B· AC
 2 2 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 1
Suy ra B· IC 90 a 
 2
Ví dụ 6. Cho VABC . Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc Bˆ và Cˆ . Tính góc 
 B· IC trong trường hợp
a) B· AC 80 . b) B· AC 120 .
Lời giải
a) B· AC 80 .
Ta có BI là phân giác của A· BC . Suy ra 
 1
 I·BC  A· BC .
 2
 1
Ta có CI là phân giác của B· CA I·CB  B· CA .
 2
 1 1
Xét VIBC có: B· IC I·BC I·CB 180 B· IC  A· BC  B· CA 180
 2 2
 1 1
 B· IC  (A· BC B· CA) 180 B· IC 180  (A· BC B· CA)
 2 2
 1 1
 B· IC 180  (180 B· AC) B· IC 90  B· AC 
 2 2
 1 1
 B· IC 90 a 90  80 130 .
 2 2
b) B· AC 80 .
 1 1
Ta có B· IC 90 a 90 120 150 .
 2 2
Dạng 4: Chứng minh các yếu tố bằng nhau khác (góc, độ dài)
 ▪ Dựa vào tính chất của ba đường phân giác cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 7. Cho VABC cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC , E và F lần lượt là chân đường 
vuông góc kẻ từ điểm D đến AB và AC . Chứng minh DE DF .
Lời giải
Xét VABC cân tại A có AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân giác của góc 
 A . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Ta có DE  AB;DF  AC (giả thiết).
Mà AD là đường phân giác của góc A . (chứng minh trên)
Suy ra DE DF (định lí).
Ví dụ 8. Cho VABC cân tại A . Hai đường phân giác BE và CF cắt 
nhau tại I . Chứng minh rằng BE CF .
Lời giải
 1
Ta có BI là phân giác của A· BC I·BC  A· BC .
 2
 1
Ta có CI là phân giác của B· CA I·CB  B· CA .
 2
Mà A· BC A· CB (do VABC cân tại A ).
Suy ra I·BC I·CB .
Xét VBFC và VCEB Ta có
+ I·BC I·CB . (chứng minh trên)
+ BC là cạnh chung.
+ A· BC A· CB (do VABC cân tại A ).
Vậy VBFC VCEB (cạnh huyền- góc nhọn).
Vậy BE CF (hai cạnh tương ứng).
Dạng 5: Chứng minh các điểm thẳng hàng
 ▪ Dựa vào tính chất của ba đường phân giác cùng đi qua một điểm.
 ▪ Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác.
 ▪ Dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
Ví dụ 9. Cho VABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là 
giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh ba điểm A , 
G , I thẳng hàng.
Lời giải
Gọi D là trung điểm của BC .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AD . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Xét VABC cân tại A .
Có AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân giác của góc A .
Mà AI cũng là đường phân giác của góc A .
Suy ra A;I ;D thẳng hàng.
Mà G thuộc AD .
Suy ra A;G;I thẳng hàng.
Ví dụ 10. Cho VABC cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC , I là giao điểm các đường phân 
giác của tam giác. Chứng minh ba điểm A , D , I thẳng hàng.
Lời giải
Gọi D là trung điểm của BC .
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AD .
Xét VABC cân tại A .
Có AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân 
giác của góc A .
Mà AI cũng là đường phân giác của góc A .
Suy ra A;I ;D thẳng hàng.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) VABC cân tại A thì đường trung tuyến AM cũng đồng thời là đường phân giác của góc BAC
.
b) VABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Lời giải
 VABC cân tại A thì đường trung tuyến AM cũng đồng thời là đường phân giác của góc BAC .
 Xét VABM và VACM ta có
+ AM là cạnh chung.
+ A· BC A· CB (do VABC cân tại A ).
+ AB AC (do VABC cân tại A ).
 Vậy VABM VACM (cạnh - góc - cạnh). Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 Vậy B· AM C· AM (hai góc tương ứng).
 Mà tia AM nằm giữa hai tia AB và AC .
 Suy ra AM là tia phân giác của góc BAC .
 VABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Kẻ MH  AB;MK  AC
 AM là phân giác của góc A .
Suy ra MH MK (định lí)
Xét VBHM vuông tại H và VCKM vuông tại K Ta có
+ MH MK (chứng minh trên)
+ MB MC (do AM là đường trung tuyến).
Vậy VBHM VCKM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Vậy H· BM K· CM (hai góc tương ứng).
Suy ra VABC cân tại A .
Bài 2. Cho tam giác ABC . Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường 
thẳng AB,BC,CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Lời giải
 Gọi I là điểm cần tìm.
 Vì khoảng cách từ I đến AB,BC,CA là bằng 
nhau.
 Nên I cách đều ba đoạn thẳng AB,BC,CA .
 Suy ra I là giao điểm ba đường phân giác trong 
của VABC .
 Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên I 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 3. Hai đường phân giác BI và CI của VABC cắt nhau tại I . Tính
góc BAI biết góc BIC 125 .
Lời giải
 1
Ta có BI là phân giác của A· BC . Suy ra I·BC  A· BC .
 2 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Ta có CI là phân giác của B· CA . Suy ra 
 1
 I·CB  B· CA .
 2
Xét VIBC có: B· IC I·BC I·CB 180
 1 1
Suy ra B· IC  A· BC  B· CA 180
 2 2
 1
Suy ra B· IC  (A· BC B· CA) 180
 2
 1
Suy ra B· IC 180  (A· BC B· CA)
 2
 1 1
 B· IC 180  (180 B· AC) 90  B· AC 
 2 2
 1
 125 90  B· AC B· AC 70 .
 2
Bài 4. Cho VABC có B· AC 60 . Hai đường phân giác BE và CF cắt nhau tại I . Tính số đo 
góc EIC .
Lời giải
Ta có BE là phân giác của A· BC . Suy ra 
 1
 E· BC  A· BC .
 2
Ta có CF là phân giác của B· CA . Suy ra 
 1
 F· CB  B· CA .
 2
Xét VIBC có: B· IC I·BC I·CB 180
 1 1
Suy ra B· IC  A· BC  B· CA 180
 2 2
 1
Suy ra B· IC  (A· BC B· CA) 180
 2
 1
Suy ra B· IC 180  (A· BC B· CA)
 2
 1
Suy ra B· IC 180  (180 B· AC)
 2 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 1
Suy ra B· IC 90  B· AC 
 2
Suy ra B· IC 120
Ta có B· IC E· IC 180 120 E· IC 180 E· IC 60
Bài 5. Cho VABC cân tại A và AD là đường phân giác trong của góc
 BAC . Từ D kẻ DE  AB,DF  AC . Chứng minh BE CF .
Lời giải
Ta có VABC cân tại A có AM là đường phân giác của góc BAC đồng thời cũng là đường trung 
tuyến.
Suy ra BD DC 
Ta có DE  AB;DF  AC (giả thiết).
Mà AD là đường phân giác của góc A . (chứng minh trên)
Suy ra DE DF (định lí).
Xét VBDE vuông tại E và VCDF vuông tại F Ta có
+ BD DC (chứng minh trên).
+ DE DF (chứng minh trên).
Vậy VBDE VCDF (cạnh huyền- cạnh góc vuông).
Vậy BE CF (hai cạnh tương ứng).
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A . Đường phân giác BD,CE của góc B và C cắt nhau tại O . 
Từ O , kẻ OH  AB,OK  AC . Chứng minh:
a) VBCD VCBE ; b) OB OC ; c) OH OK .
Lời giải
 1
a) Ta có BD là phân giác của A· BC . Suy ra D· BC  A· BC .
 2
 1
Ta có CE là phân giác của B· CA . Suy ra E· CB  B· CA .
 2
Mà A· BC A· CB (do VABC cân tại A ).
Suy ra D· BC E· CB . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Xét VBCD và VCBE Ta có
 D· BC E· CB (chứng minh trên)
 BC là cạnh chung.
 A· BC A· CB (do VABC cân tại A ).
Vậy VBCD VCBE (góc - cạnh - góc).
b) Ta có D· BC E· CB (chứng minh trên)
Suy ra VOBC cân tại O .
Suy ra OB OC .
c) Xét VABC có: BD;CE là phân giác của góc B;C 
Và BD cắt CE tại O .
Suy ra AO là phân giác góc A .
Mà OH  AB,OK  AC (giả thiết)
Suy ra OH OK (giả thiết)