Một số công thức tính cạnh tam giác vuông bằng số nguyên theo định lý Pytago

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH CẠNH TAM GIÁC VUÔNG BẰNG SỐ NGUYÊN THEO ĐỊNH LÝ PYTAGO
1/ Bài toán:
Tìm ba số nguyên dương x,y,z sao cho x2+y2= z2
Ta có thể biến đổi về phương trình nghiệm nguyên như sau :
x2+y2= z2 x2= z2-y2 với điều kiện Z>x và Z >y
 x2= (z+y)(z-y) (1)
* Trường hợp 1
 Đặt z –y = ax, với a nguyên dương z= ax + y
(1)x2=ax(ax+y) x= a(ax +y) x=a2x +2ay (1 –a2 )x=2ay vì a, x, y là ba số nguyên dương 
Nên 1 –a2 a2 | a| do đó không thể tồn tại a sao cho a nguyên dương.
* Trường hợp 2
 Đặt z+y=ax với a nguyên dương z= ax – y
(1)x2=ax(ax-y) x= a(ax -y) x=a2x -2ay (a2 – 1 )x=2ay vì a, x, y là ba số nguyên dương 
Ta có thể chọn:
 x= 2a y=a2 – 1 và z= 2a2 –a2+1= a2+1
Xét điều kiện x2+y2= z2 ta có :
(2a)2 + (a2 – 1 )2 = 4a2+a4 – 2a2 +1 = a4 +2a2 +1 = (a2+1)2 vậy điều kiện x2+y2= z2 được thỏa mãn
Do đó : x= 2a ; y=a2 – 1 ;z= a2+1 thì luôn có x2+y2= z2 với mọi a nguyên dương và lớn hơn 2
* Trường hợp 3
Đặt z+y = k(z –y ) với k nguyên dương và lớn hơn hoặc bằng 2 (k-1)z=(k+1)y
x+y= 2k+z
2k(k+z)=xy
 (1)x2=k(z –y )2
Mặt khác : x2+y2= z2 (x+y+z)(x+y –z)= 2xy
a/ Chọn x+y-z= 2k suy ra x+y= 2k+z và ta có 
z=2(m-k)+x
(m-k)x=2mk-k2
z=2(m-k)+x
z-x=2(m-k)
kz-mx=-k2
z-x=2(m-k)
mx=k2+kz
+Cho y= 2m ta có :
z=2(q-1)k+x
Đặt m=qk ta có 
x=2q-1
y= 2q(q-1)
z= 2q(q-1)+1
Chọn k= q -1 khi đó ta có : 
(m-k)y=2mk-k2
z=2(m-k)+y
z-y=2m-2k
kz-my=-k2
z-y=2(m-k)
k2+kz=my
+Cho x=2m ta có
y=2q-1
x= 2q(q-1)
z= 2q(q-1)+1
Tương tự trường hợp trên ta có:
x+y=2a-z
a(2a-z)=xy
b/ Chọn x+y+z= 2a 	 x+y=2a-z và ta có:
z=2(a-b)+y
+Cho x=2b ta có:
(a-b)y=a2-2ab
z=2(a-b)+y
y+z=2(a-b)
by+az=a2
z=2(q-1)+y
x=2b
z=2(a-b)+y
Đặt a=qb ta có :
x=2(q-1)
y= q(q-2)
z= q(q-2)+2
Chọn b=q-1 ta có :
x=q(q-2)
y= 2(q-1)
z= q(q-2)+2
+Cho y=2b tương tự ta có :
2/ Kết luận:
*x=2a ; y=a2-1 ; z=a2+1 với mọi số nguyên dương a>1
*x=2q-1 ; y= 2q(q-1) ; z=2q(q-1)+1 với mọi số nguyên dương q>1
*x=2(q-1) ; y=q(q-2) ; z=q(q-2)+2 với mọi số nguyên dương q>2
Luôn luôn thỏa mãn : x2+y2= z2